湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期期中考试数学（B卷）试卷（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
（考试范围：必修第一册，必修第二册第六、七章及第八章1~4节）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，那么（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 水平放置的矩形的直观图是平行四边形
C. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
5. 若向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ）
A 4B. C. 2D.
6. 如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在区间上有零点，则k取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是周期为2的函数
B.
C. 函数为奇函数
D. 函数有5个零点
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，令，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域是
B. 的解集为
C. 是奇函数
D. 在区间上单调递增，在区间上单调递减
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的单调递增区间为
B. 在区间上的值域为
C. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
D. 若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是
11. 如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）

A. 四点，，，在同一平面内
B. 三条直线，，有公共点
C. 直线与直线不是异面直线
D. 直线上存在点使，，三点共线
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 计算：______．
13. 如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______．
14. 如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是______；若，则的值是______．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知平面向量，，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的最小值及此时x的值．
16. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是．
（1）求顶点D的坐标；
（2）求的面积．
17. 如图，在三棱锥A-BCD中，为三棱锥的高，，点M是AC的中点，且，点E，F分别在，上，且，．
（1）线段上是否存在一点N，使得M，N，E，F四点共面？若存在，请确定点N位置并证明；若不存在，请说明理由；
（2）求三棱锥的外接球的体积．
18. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且．
（1）判断的形状；
（2）若D为AC的中点，且，求面积的最大值及此时的三边长．
19. 将函数的图象整体沿x轴正方向平移m个单位长度，再沿y轴方向平移个单位长度（时沿y轴正方向平移，时沿y轴负方向平移），得到新函数的图象，若新函数图象与原函数图象重合，称原函数在方向上具有平移不变性．是函数在方向上具有平移不变性的充要条件．例如：在方向上具有平移不变性．
（1）判断以下三个函数否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向．
①；
②（其中表示不超过x的最大整数）；
③．
（2）已知点关于直线对称的点是，点关于点对称的点是，现函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，当时，．
（ⅰ）求点先关于直线对称再关于点对称的点坐标；
（ⅱ）证明在方向上具有平移不变性；
（ⅲ）求．