湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二下学期期中考试数学（A卷）试卷（Word版附解析）

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时量：120 分钟 满分：150 分
得分：__________
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的，
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 复数 ，其中 为虚数单位，则 的共轭复数为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数 的最小正周期为 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 1 D.
5. 小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为 0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概
率为 0.5，在长沙去徒步爬山的概率为 0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（ ）
A. 0.54 B. 0.56 C. 0.58 D. 0.6
6. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点，点 是双曲线 上在第一象限内
的一点，若 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 棱长为 3 的正方体 中， 为棱 靠近 的三等分点， 为棱 靠近 的三等分
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点，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知各项均不为零 数列 ，其前 项和为 ，且 .下列结论中错误
的是（ ）
A.
B. 不存在实数 ，使 为递减数列
C. 存在实数 ，使得 为等比数列
D. ，使得当 时，总有
二､多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 相关变量 的线性回归方程为 ，若样本点中心为 ，则
B. 的展开式中二项式系数和为 32
C. 在独立性检验中，随机变量 观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
D. 甲、乙两个模型的决定系数 分别约为 0.95 和 0.8，则模型甲的拟合效果更好
10. 已知抛物线 的焦点为 ，过焦点的直线 与抛物线 交于 两点（点 在第二象限），
则（ ）
A. 可能为等边三角形
B.
C. 若直线 的倾斜角为 ，则
D. 若直线 的倾斜角为 ，则 的面积为
11. 已知函数 ，其中 为正整数， 且为常数， 是函数 大于 的零点，
其构成数列 ，则（ ）
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A. 函数 不可能有三个零点
B. 函数 的减区间为
C. 对于任意的 ，函数 在区间 内均存在零点，则
D. 存在实数 使得数列 的部分项 构成无穷等比数列
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知离散型随机变量 ， ，则 __________.
13. 某班一天上午有 4 节课，下午有 3 节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、政治，
体育 7 堂课的课程表，要求数学课、物理课都排在上午，且数学课、物理课不连排，体育课排在下午，不
同排法种数是__________.用数字作答）
14. 已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 取值范围
是__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 人工智能（简称 ）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的 软
件主要有四项功能：“视频创作”“图像修复”“语言翻译”“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款 软件的使
用情况，从该地区随机抽取了 100 名大学生，统计他们最喜爱使用的 软件功能（每人只能选一项），统
计结果如下：
软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计
大学生人数 30 20 30 20
假设大学生对 软件的喜爱倾向互不影响.
（1）从该地区的大学生中随机抽取 1 人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
（2）采用按比例分配的分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中随机抽取 5 人，再从
这 5 人中随机抽取 2 人，其中最喜爱“视频创作”的人数为 ，求 的分布列，数学期望以及方差.
16. 在 中， 分别为角 的对边， .
（1）求角 的大小；
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（2）若 为 的中点， ， 的面积为 ，求 的周长.
17. 已知函数 ， 为实数.
（1）若函数 在 处的切线经过点 ，求 的值；
（2）若 有极小值，且极小值大于 2，求 取值范围；
（3）若对任意的 ，且 恒成立，求 的取值范围.（ 为自然常
数）
18. 如图，矩形 中 为 中点，将 沿着 折叠至 .
（1）证明： 平面 ；
（2）设平面 平面 ，点 .
（i）当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（ii）在满足条件（i）的情况下，过 作一截面，与棱 分别交于点 ，且 平面
，记四棱锥 的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，求 .
19. 在平面直角坐标系 中，点 分别是椭圆 的右顶点、上顶点、左顶
点，若 的离心率为 .
（1）求椭圆 标准方程；
（2）已知 两点，其中点 在线段 上运动（不含端点）， 与 关于 点对称，直线 与椭
圆 的另一交点为 点，直线 与椭圆 的另一交点为 点，设直线 的斜率分别为 ，直
线 的斜率分别为 .
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（i）求 的面积 的最大值；
（ii）求证： 为定值，并求出该定值.
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