天津市2025届高三下学期高考押题预测数学试题（01）

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一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
10．
11． 12． 13．
14．；.15． 4
三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题14分）
【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，
又由，得
即，----------------------------------2分
∴，∴，∴．
又因为，可得；----------------------------------5分
（2）在中，由余弦定理及，，，
有，故；----------------------------------10分
（3）由，可得，
因为，所以，故为锐角，故，
因此，．----------------------------------11分
所以，-------------------------------14分
17．（本小题15分）
【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以，
又因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.-----------------------------5分
（2）解：取的中点，连接，因为且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，
又因为平面，平面，所以，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，则,-----------------------------8分
所以，则
可得，所以，
则点到直线的距离为.-----------------------------10分
（3）解：由（2）中的空间直角坐标系，可得，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，-----------------------------12分
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.-----------------------------15分
18．（本小题15分）
【详解】（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；------------------------------4分
（2）所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，
即，------------------------------7分
两式相减得
------------------------------10分
（3）由（2）可知
，
得恒成立，
令，------------------------------12分
则，
可得；当时，，当时，，
所以的最大值为，
故------------------------------15分
19．（本小题15分）
【详解】（1）设椭圆的焦距，
所以的周长为，即.
又椭圆的离心率为，所以，
所以，所以，所以，
所以的标准方程为.--------------------------------4分
（2）是定值.
由（1）得，
设，，--------------------------------5分
又三点共线，所以，化简得，
则直线的方程为，直线的方程为，
由，化简得，--------------------------------7分
由根与系数关系可知，，
所以，
同理，--------------------------------9分
又
，
所以.--------------------------------15分
20．（本小题16分）
【详解】（1）函数的定义域为，当，函数，
由对勾函数性质可知，单调递减；单调递增；
且，所以不等式的解集为 .-------------------------------4分
（2）因为.
所以当时，当时，，单调递增；
当时，在区间上，单调递减，-------------------------------6分
在区间上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.-------------------------------9分
（3）由题意可得，
①时，在区间上恒成立，故在上单调递增，
若不等式在区间上有解，则，即得.------------------------11分
②当时，当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以若不等式在区间上有解，则，
设，单调递减，所以
所以当时，单调递增，在区间单调递减；
且，
所以此时不等式在区间上无解，-------------------------------14分
③当时，在上恒成立，故在间上单调递减，
所以若不等式在区间上有解，则，则；
所以；
综上：若不等式在区间上有解，求的取值范围或.-------------------------------16分1
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C
A
D
C
B
C