北京市2025届高三下学期高考押题预测数学试题（03）

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．1812．2或13． 8 70
14．1 15．①②④
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题13分）
【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，
所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
因为⊥，，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，，平面，
所以平面；分
（2）由（1）知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，
设，，
因为，所以，
解得，则，
由（1）知，平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角的大小为，
则
故直线与平面所成角正弦值为分
17．（本小题13分）
【详解】（1）由点的纵坐标为，，可知，
又，所以；分
（2）因为，，所以，
于是由，可得．
=，
=，故点的坐标为．分
（3），．因，故．
因为平行四边形，故．
()．
当时，取最大值．分
18．（本小题14分）
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
的数学期望．分
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．分
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．分
19．（本小题15分）
【详解】（1）设（），由的离心率为，得，，①
在中，令，得，
则当垂直于轴时，，②
由①，②，解得，则，，
∴的方程为．分
（2）由题意，知，，
显然与轴不重合，可设：，设，，
联立，消去x并整理，得，
由韦达定理，得，，
则，
则面积，
而，当且仅当，即时等号成立，∴面积的最大值为．分
（3）设，，，
直线与椭圆联立可得，，
根据韦达定理可得，，∴，，
即，同理，，
根据对称性，直线过定点，
则，∵，，
∴，∴，解得，
即直线过定点．分
20．（本小题15分）
【详解】（1）函数的定义域是，，
又，则，令，解得：，令，解得：，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增分
（2）因为，
要证曲线在曲线的上方，即证恒成立，
即证，令，则，
当时，，当，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，所以恒成立，又恒成立，，
所以恒成立，即曲线在曲线的上方分
（3）因为，
又因为导函数在上存在零点，所以在上有解，
则有，即，
又当时，，则在区间上单调递减，
当时，，则在区间上单调递增，
所以，
设，，则，
令，，则，
所以在区间上单调递减，又，则在区间恒成立，
所以在区间上单调递减，
又，所以，
则根据不等式的传递性可得，当时，分
21．（本小题15分）
【详解】（1）由题意得，
所以．分
（2）由题得，
所以，，，，
因此中的数对必由中的数对经运算得到，
中的数对必由中的0或数对经运算得到，
因为是数组，其中有一半的项为0，即个0，经过两次运算能在中产生个数对，
因为中数对的个数为个，经过两次运算能在中产生个数对，
所以，即，
所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．分
（3）当为奇数时，，
累加得，
因为，所以（为奇数）．
当为偶数时，，
累加得，
因为，所以（为偶数）．
所以，
故．
因为当且为偶数时，
.
①当时，；
②当且为奇数时，
；
③当且为偶数时，因为对任意的都有，
所以
综上所述，对任意的都有．分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
D
B
B
C
C
A
A
B
0
1
2