2025年高考押题预测卷：数学（北京卷03）（考试版）

这是一份2025年高考押题预测卷：数学（北京卷03）（考试版），共8页。试卷主要包含了已知直线，设，则“”是“”的，2023年，深度求索，已知数列的前n项和为，且，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．若，、，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线：与圆：交于，两点，则（ ）
A．B．4C．D．2
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形
C．等边三角形D．钝角三角形
7．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：，，）
A．年B．年
C．年D．年
8．若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如图②，可近似看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知，，，现计划覆以小青瓦，覆盖面为“前”“后”两面，“前面”如图③阴影部分，则小青瓦所要覆盖的面积为（ ）

A．B．C．D．
10．已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．数列是等比数列B．C．D．数列是等比数列
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11． ．
12．双曲线C：的离心率为 ．
13．在的展开式中，第7项为常数，则 ，最大的二项式系数是 ．
14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ，函数的所有零点之和为 .
15．已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的有
①．数列是等比数列 ②．
③．当为奇数时，④．当为偶数时，
三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题13分）如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
17．（本小题满分13分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点和点都在单位圆上，且点的纵坐标为，，，，．
(1)求和的值；
(2)若，求点的坐标；
(3)若四边形为平行四边形且面积为，求的最大值．
18．（本小题满分14分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
19．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)记的左顶点为，求面积的最大值；
(3)设，直线分别交于两点，证明：直线过定点．
20．（本小题满分15分）设函数，其中．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)在（1）的条件下，证明曲线在曲线的上方；
(3)已知导函数在区间上存在零点,证明：当时，．
21．（本小题满分15分）已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为.
(1)写出，，以及，；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)若，证明：对任意的都有.