河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】 “，”的否定为“，”.
故选：D
2. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，故，解得，
故，
故选：B
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由不等式，可得，即，解得，
因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 为偶函数，且在上单调递减
B. 为偶函数，且在上单调递增
C. 为奇函数，且在上单调递减
D. 为奇函数，且在上单调递增
【答案】C
【解析】设幂函数，又因为幂函数的图象经过点，
所以，解得,
所以，定义域为，定义域关于原点对称，
且，所以为奇函数，
又因为，所以在上单调递减，故C正确.
故选：C.
5. 设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A选项，当时，，故A错误；
B选项，当，时，满足，此时，，，
故B错误；
C选项，由，可得，所以，故C正确；
D选项，当时，，故D错误.
故选：C.
6. （ ）
A. 8B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A
7. 若函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】由函数，
所以当时，有最小值，
当时，即，解得或，
又因为时，单调递减，时，单调递增，
所以的最大值为，的最小值为，所以的最大值为.
故选：D.
8. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数为偶函数且在上单调递减，且，
所以，且在上单调递增，
当时，，则，所以；
当时，，则，所以；
当时，，则，所以；
当时，，则，所以；
当时，，则，所以.
综上所述：不等式的解集为.故B正确.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，空集中不含有任何元素，故A正确；
对于B，空集是非空集合的子集，可知，故B正确；
对于C，应该用 “”符号，即，故C错误；
对于D，是集合中的元素，即，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列各式的值等于6的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，
，D错误.
故选：BC
11. 已知正实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】A：由，可得，因为，
所以，即，得，当时取等号，故A正确；
B：由，当时取等号，又因为，当时取等号，
所以，故B错误；
C：由，可得，所以 ，当，即时取等号，故C正确；
D：，因为，所以，所以，当时取等号，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
【答案】
【解析】因为，
即，所以.
故答案为：.
13. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为函数是上的减函数，
所以，解得，即a的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数在上具有单调性，且，则_______.
【答案】
【解析】令，则，
中，令得，故，
显然单调递增，且，故，
所以，.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算
（1）；
（2）已知，比较和的大小.
解：（1）原式.
（2）由，所以，
所以，因为，所以，
又因为，所以，所以.
16. 已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）由题意可得，
当时，，此时，不符合题意；
当时，，由，可得；
当时，，由，可得；
综上所述：的取值范围为.
（2）当时，，此时，故符合题意；
当时，，由，可得，解得；
当时，，由，可得，解得；
综上所述：的取值范围为.
17. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）讨论关于的不等式的解集.
解：（1）由题意得且为方程的两个根，
故，，解得；
（2），
若，则，解得，
若，解得，
若，则，解得，
若，此时，解得或，
若，此时，解得或，
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为或.
18. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
（2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
解：（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有
，
当且仅当，即时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
（2）设月利润为万元，则有，
由题知，整理得，解得.
所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
19. 已知函数.
（1）若，求在区间上的值域；
（2）若方程有实根，求实数的取值范围；
（3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
令，因为，所以，所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，所以.
所以时，在区间上的值域为.
（2）由（1）知当令，，，
则，即有实数根，此时实数根大于零，
所以可得，解得：.
所以方程有实根，实数的取值范围为.
（3）由题意得，
若对任意的，总存在，使得，可得,
由函数可得当时单调递减，当时单调递增，
函数为增函数，所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增，所以当时，有最小值，
由（2）知当令，，，所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为函数在时均单调递增，
所以函数在时单调递增，所以，
所以，.