2022-2023学年河南省南阳市六校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省南阳市六校高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则的子集的个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】B

【分析】由题知，再根据公式求解即可.

【详解】解：因为集合，，

所以，

所以，的子集的个数为个.

故选：B

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定是全称命题形式，可得答案.

【详解】命题“，”为特称命题，其否定为全称命题，

即，，

故选：D

3．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的解析式可得且，结合其定义域为，即可确定的取值范围，即得答案.

【详解】由可知且，又的定义域为，

故，否则 ，则 ，不合题意，

故选：A.

4．已知函数若，则实数（    ）

A． B．2 C．4 D．6

【答案】B

【分析】由题知，再根据时，得，再解方程即可得答案.

【详解】解：由题知，

所以，

因为时，，所以，，

所以，解得.

故选：B

5．已知，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以b<a<c.

故选A.

点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.

6．已知函数为偶函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题知函数图像关于对称，，再依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：因为函数为偶函数，

所以，函数图像关于对称，

所以，，故A选项正确，C选项错误；

对于B选项，由得图像关于对称，由已知无法得出，故错误；

对于D选项， 由得图像关于对称，由已知无法得出，故错误；

故选：A

7．已知函数的定义域为，且满足：，，，则（    ）

A． B．

C．为偶函数 D．为奇函数

【答案】C

【分析】利用赋值法令，求得，判断A; 令，可求得，继而求出，判断B; 令,可推得，判断C；举特例说明，可判断D.

【详解】令，则，即有，

则，A错误；

令，则，

令，则，即，

则，B错误；

令，则，即，

故，为偶函数,C正确；

令，则，即，

由于，故不是奇函数，D错误，

故选：C.

8．已知，定义在上的函数满足，且当时，.若在区间上单调递增，则的最小值为（    ）

A． B． C．4 D．8

【答案】B

【分析】由题知函数在上单调递增，在上单调递减，进而结合题意得或，再根据集合关系求范围即可得答案.

【详解】解：因为定义在上的函数满足，

所以，函数为周期函数，周期为，

因为当时，.

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，

因为在区间上单调递增，

所以，即，

所以，要使在区间上单调递增，则或，

所以，或，解得或，

所以，实数的最小值为.

故选：B

二、多选题

9．如图，函数的图像与轴交于，两点，且对称轴为直线，点的坐标为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】结合二次函数的图像与性质依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：因为，函数的对称轴为直线，

所以，故A选项错误；

因为，函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，

所以，故B选项正确；

因为函数开口向下，在上单调递增，在上单调递减，且图像关于直线对称，

所以，故C选项错误；

对于D选项，由于有两个不相等的实数根，故，D选项正确.

故选：BD

10．不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】解指数不等式得解集为，再根据充分不必要条件求解即可.

【详解】解：令，

所以，不等式，解得或

所以，或，解得或，

所以，不等式的解集为，

因为所求的是不等式成立的一个充分不必要条件，

故只需满足是真子集即可，

所以，只有AB选项满足，CD选项不满足.

故选：AB

11．已知实数，，满足，，则（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】由题意判断，结合条件可得，判断A;举反例可判断B,D;利用作差法可判断C.

【详解】由于实数，，满足，，

故，否则 ，则，则，不合题意；

故由，可得，A正确；

取 满足，，

但，故B错误；

若，则，则，

即，C正确；

取，满足且，，

但，D错误；

故选：AC

12．已知函数，设， ，则（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【分析】作出函数的图象，时，由于，可得到，化简可判断A，结合基本不等式可判断B;数形结合，结合函数的单调性，可判断C,D.

【详解】作出函数的图象，如图示：

当时，由于，可知，

则，则 ，即，A正确；

由于，则，即 ，B正确；

当时，单调递增，当时，有 ，

即，不符合C,D选项；

当时，，由于，则，即，

当时，递增，若，则即，

当时，递减，

若，则，即 ；

若，则由 ，令，

由于此时，则，

由，可得，即 ，故C错误，D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．若，，则______.

【答案】

【分析】根据指数式化为对数式，结合对数的换底公式，即可求得答案.

【详解】由可得，

由可得 ，

故，

故答案为：.

14．已知集合，，若，，则______.

【答案】

【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到或，即可得到答案.

【详解】解：因为，所以或或，

解得或或，

因为，所以或或，

解得或或，

又因为，所以或，即.

故答案为：

15．若正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】5

【分析】利用已知条件将变形为，利用基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意正实数，满足，

可得，

当且仅当时取得等号，

即的最小值为5，

故答案为：5.

16．已知函数，，若对于任意的，总存在，使得或，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】记函数的值域为，的值域为，进而转化为求解即可，再分别研究函数，的值域即可得答案.

【详解】解：记函数的值域为，的值域为，

因为对于任意的，总存在，使得或，

所以，

因为，，

所以，即函数的值域为，

当时，时，，当且仅当时等号成立，

所以，根据对勾函数的性质可知，的值域为，

因为，

所以，有，解得，

当时，的值域为，满足，故时成立，

综上所述，实数的范围为.

故答案为：

四、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)9

(2)0

【分析】（1）根据指数幂的运算法则运算求解即可；

（2）根据对数运算法则运算求解即可.

【详解】(1)解：

(2)解：

18．已知集合，.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，再求集合并集运算即可；

（2）由题知，进而分，，三种情况讨论求解即可.

【详解】(1)解：若，则，

因为

所以

(2)解：因为，

所以，若，则，不满足条件，

若，则，因为，所以，所以；

若，则， ，此时，

综上，实数的取值范围是

19．已知函数.

(1)若的图象与轴交于两点，且，求实数的值；

(2)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设，，由根与系数的关系可得的表达式，列出方程，即可求得答案；

（2）根据特称命题的否定可知“，”为真命题，结合二次函数的性质可得相应不等式组，即可求得答案.

【详解】(1)设，，则 是方程的两根，

由已知可得，可得或,

由根与系数的关系可得，，

所以，

解得，符合题意;

(2)由题意可知，命题：“，”为真命题，

又因为的图象开口向上，所以 ，

即 ，解得或，

所以实数的取值范围是.

20．已知函数.

(1)若是幂函数，求实数，，的值；

(2)如果，，且在区间上单调递减，求的最大值.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）由题知或，再分别讨论求解即可；

（2）当时得，当时，结合二次函数性质得，再根据基本不等式求解即可得答案.

【详解】(1)解：因为是幂函数，

所以或

若，则，，；

若，则，，.

(2)解：①若，则，

因为在区间上单调递减，所以，得，

所以；

②若，则图像的开口向上，对称轴为 ，

因为在区间上单调递减，所以，整理得 ，

所以，所以，当且仅当，时取等号，

综上，的最大值为.

21．为了激励销售人员的积极性，某企业根据业务员的销售额发放奖金（奖金和销售额的单位都为十万元），奖金发放方案要求同时具备下列两个条件：①奖金随销售额的增加而增加；②奖金金额不低于销售额的5%.经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案.

(1)若，，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由.

(2)若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)不满足，理由见解析

(2)

【分析】（1）由题知，再依次分析两个条件即可；

（2）由题知，再将问题转化为在时恒成立求解即可.

【详解】(1)解：当，时，，

因为在上单调递增，且也在上单调递增，

所以在上单调递增，满足条件①；

若奖金金额不低于销售额的5%，则，

当时，不等式左边右边，不等式不成立，不满足条件②；

故，时不满足条件.

(2)解：当时，函数，

因为，所以在上单调递增，奖金发放方案满足条件①.

由条件②可知，即在时恒成立，

所以，在时恒成立，

当时，取得最小值，

所以，

所以要使奖金发放方案满足条件，的取值范围为.

22．已知函数为奇函数.

(1)判断在上的单调性并用函数单调性的定义证明；

(2)若存在，，使得在上的值域为，求实数的取值范围.

【答案】(1)单调递减，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据为奇函数，求出，然后利用单调性的定义法证明即可.

（2）根据在上是减函数，得到在上有两解，取，化简得到在上有两解，最后利用数形结合即可求解.

【详解】(1)的定义域为，因为为奇函数，

所以，所以，

在上单调递减

证明如下：

任取，，且，则，

则

因为，，，故，

所以，所以在上单调递减

(2)由（1）知在上是减函数，

所以在上的值域为，

所以所以在上有两解

所以在上有两解，

令，则关于的方程在上有两解，

即在上有两解，

所以解得，

所以实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：利用定义法进行证明函数单调性，一定要注意解题步骤：（1）设元；（2）作差；（3）化简；（4）判号；（5）结论，其中的判号这一步骤，尽可能化简成因式分解的形态进行判断.