河南省南阳市六校2025-2026学年高一上学期第一次月考（10月月考）数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳市六校2025-2026学年高一上学期第一次月考（10月月考）数学试题（解析版），共14页。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集运算求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：C
2. 已知函数，则（ ）
A. 7B. 14C. 17D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据自变量的取值范围，选择对应的函数表达式，代入进行计算即可.
【详解】因为函数，且，
所以.
故选：B
3. 是真命题，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分、讨论，当时结合二次函数的性质即可求出.
【详解】当时，成立；
当时，则且，得，
综上，a的取值范围是.
故选：D
4. 已知，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】将展开，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4，
故选：A
5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数性质可得，再利用计算即可得.
【详解】由是定义在上的奇函数，则，则，
则当时，，则.
故选：D.
6. 已知在上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，即可由分段函数的单调性求解.
【详解】由于在上是增函数，
所以，解得：，
故选：C
7. 已知函数满足，且，则的值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得函数的周期为4，利用周期求解.
【详解】由，得，
两式相减得，即，
所以函数的周期为4，又，，所以，
因为,，
，
.
故选：B.
8. 已知，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数，分，，分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式．
【详解】因为，
当时，，不合题意；
当时，，
不等式可得，解得，所以；
当时，，
所以不等式等价于，即得解得，
所以.
综上可得.
故选：A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列结论中正确的有（ ）
A. 的最小值是2
B. 的最小值是2
C. 已知，则的最小值是3
D. 已知，且，则的最小值是9
【答案】CD
【解析】
【分析】利用基本不等式逐一分析选项即可.
【详解】对于A，当时，，
当且仅当时取等号；
当时，，当且仅当时取等号；
所以无最小值；故A错误；
对于B，由于，则，
当且仅当时，即时等号成立，
又，故B不正确；
对于C，由于，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是3，则C正确；
对于D，由于，所以，
由于，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以当，且，则的最小值是9，故D正确.
故选：CD
10. 不等式解集为，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集性质，再结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】因解集为，
所以有，显然选项AB说法正确；
，则，
即，解得，选项C错误；
，则，
即，解得，选项D正确，
故选：ABD
11. 不等式对都成立，则下列数值可以为的值的是（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】AB
【解析】
【分析】分离参数得，结合基本不等式求解即可.
【详解】原不等式等价于对都成立，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，即时等号成立，
所以时，的最小值为，
故实数的取值范围为，
故AB满足题意，CD不满足题意.
故选：AB
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知，则________
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，为该集合元素，只需要使得等于集合中的某一元素，进行计算即可.
【详解】①当时，，，不符合集合元素的互异性，所以舍去；
②当时，即时，，此时集合为，符合题意；
③当时，即（舍去）或，所以，，，此时集合为，符合题意.
所以，或.
故答案为：或.
13. 已知，则________
【答案】
【解析】
【分析】令，换元法化简即可求出.
【详解】令，则，则，
故.
故答案：
14. 已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】设幂函数为，代入可得，
即，解得，所以，
由函数在上单调递增，得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知集合，集合.
（1）若，求;
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合，根据并集运算求解；
（2）由等价于，列出不等式求解.
【小问1详解】
当时，，又，
.
【小问2详解】
因为等价于，
当时，即，即，满足题意；
当时，则，解得；
综上，的取值范围为.
16. 如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成．（接头处不计）

（1）现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
（2）若使每间禽舍面积为12，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长最小？
【答案】（1）每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为；
（2）每间禽舍的宽，长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为.
【解析】
【分析】（1）设每间长方形禽舍宽为，长为，由题意得，，每间禽舍面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值；
（2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值.
【小问1详解】
设每间长方形禽舍宽为，长为，
由题得，，
设每间禽舍面积为，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为.
小问2详解】
由题意可得，
设钢筋网总长为，则，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以每间禽舍的宽,长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为.

17. 已知集合
（1）若，集合，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，且关于不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由“”是“”的充分不必要条件，可得是的真子集，从而可得出答案；
（2）由题意可得不等式的解集为，则方程的根为，再利用韦达定理求出，再分和两种情况讨论即可.
【小问1详解】
若，，
，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
所以，
所以实数的取值范围为；
【小问2详解】
因为，
所以不等式的解集为，
所以方程的根为，
由韦达定理得，所以，
则不等式即为的解集为，
当时，恒不成立，所以符合题意；
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
18. 已知是定义在上的函数，且满足，又当时，.
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）若，解不等式
【答案】（1）为奇函数，证明见解析；
（2）函数在上单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）令，求出，然后令，即可得到的关系，即可得到函数的奇偶性；
（2）令，即可得到，结合题意得到的正负，即可得到函数的单调性；
（3）由题意求得，再由题中关系式得到不等式，结合（2）中结论得到二次不等式，即可解得的范围.
【小问1详解】
令，则，解得，
令，即，则，
所以为奇函数.
【小问2详解】
令，则
∵，
∴，
∵当时，，
即，
∴函数在上单调递减.
【小问3详解】
由，
由题设，即，
由（2）可知，即，得，
∴.
19. 已知一元二次函数满足.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上单调，求取值范围；
（3）若是在区间上的最小值，求的表达式.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）易得函数的对称轴为，设，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的对称性和单调性求解即可；
（3）分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为，所以函数的对称轴为，
设，
由，
得，解得，
所以；
【小问2详解】
由（1）得函数的对称轴为，
因为在区间上单调，
所以或，解得或，
所以的取值范围为；
【小问3详解】
函数的对称轴为，且图象开口向上，
当时，在上单调递增，
则；
当，即时，在上单调递减，
所以；
当，即时，
，
综上所述，.