河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】斜率为的直线的一个方向向量为，因此直线的一个方向向量为，
而ABC中向量与不共线，，
所以直线的一个方向向量的坐标为.
故选：D.
2. 抛物线C：的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】抛物线C：的焦点在轴上，其坐标为.
故选：C.
3. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】的中点坐标为，
所以边上的中线所在直线的方程为，
整理得.
故选：B.
4. 已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设双曲线：，点和在曲线上，
∴，两式相减可得，即.
∴渐近线方程为：，
故选：B.
5. “”是“直线与垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若直线与垂直，
则，解得或，
当时，直线无意义，舍去；
当时，与垂直；
所以“”是“直线与垂直”的充要条件.
故选：C.
6. 已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（ ）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
【答案】A
【解析】圆C：的圆心，半径，
圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
由，得圆心到直线的距离，
于是，解得或，
所以直线的方程为或.
故选：A.
7. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（ ）

A. 6.4mB. 6mC. 3.2mD. 3m
【答案】A
【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
依题意可知，抛物线过点，
所以，
所以抛物线方程为，
所以当时，，
解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为.
故选：A.

8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】连接交双曲线的渐近线于点，则（为原点），
而分别为的中点，则，，且，
由双曲线的一条渐近线为，得，则，
所以的面积为.
故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线表示椭圆
B. 若曲线表示双曲线，则
C. 无论取何值，曲线都不能表示圆
D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线
【答案】BD
【解析】A选项，若曲线表示椭圆，
则，解得，所以A选项错误.
B选项，若曲线表示双曲线，
则，解得，所以B选项正确.
C选项，由上述分析可知，当时，曲线方程可化为，
表示圆，所以C选项错误.
D选项，依题意可知且，
由上述分析可知：无论取何值，曲线C都不能表示抛物线，D选项正确.
故选：BD.
10. 在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线C，由曲线C构成的封闭图形记为Ω，则下列说法正确的是（ ）
A. 图形Ω为菱形
B. 图形Ω的面积为2
C. 若P为曲线C上的点，则
D. 曲线C与椭圆有四个公共点
【答案】ACD
【解析】依题意，当时，曲线C表示直线上两点间的线段，
当时，曲线C表示直线上两点间的线段，
当时，曲线C表示直线上两点间的线段，
当时，曲线C表示直线上两点间的线段，
对于AB，图形Ω是边长为的菱形，其面积为，A正确，B错误；
对于C，观察图形知，为菱形的中心，，，C正确；
对于D，椭圆的四个顶点分别为，是菱形的四个顶点，
且菱形除顶点外，都椭圆内，因此曲线C与椭圆有四个公共点，D正确.
故选：ACD.
11. 已知直线经过，两点，P为上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为M，N，且Q为圆C上一点，则（ ）
A. B. 的值可以为
C. 的最小值为D. 直线一定过坐标原点
【答案】AD
【解析】圆C：可化为，
其圆心，半径，直线，即，

对于A，，则，因此，A正确；
对于B，点到直线的距离，则，若，
即，解得，则，
，矛盾，B错误；
对于C，
，C错误；
对于D，设点，以线段为直径的圆，即，
与圆的方程相减得直线：，此直线恒过原点，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若双曲线的焦距为4，则实数的值为_________．
【答案】
【解析】由于方程表示双曲线，所以，
双曲线的焦距为，所以.
13. 已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_________．
【答案】
【解析】依题意，以线段为直径的圆的圆心为，
半径，
所以所求圆的标准方程为.
14. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆C的两个焦点分别为，．
（1）若光线由发出经椭圆C一次反射后到达，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则C的离心率为_________；
（2）若光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为，在上的射影H在圆上，则C的短轴长为_________．
【答案】
【解析】（1）令入射光线射到椭圆上的点，依题意，，
由椭圆的对称性知，点为椭圆短轴的端点，则，
所以椭圆C的离心率为；
（2）由光线由发出经椭圆C两次反射后回到经过的路程为，得，即，
延长交于点，由光的反射定律知垂直平分线段，连接，
则是的中位线，于是，
而点H在圆上，则，短轴长.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点．
（1）求直线方程；
（2）求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．
解：（1）由，解得，即，
显然轴，，点轴上方，则，
所以直线的方程为，即.
（2）由（1）知，，，线段的中点为，而直线的斜率为1，
因此线段的中垂线方程为，
即，
由，解得，
于是所求圆的圆心为，半径，
所以所求圆的标准方程为.

16. 在平面直角坐标系中，点P到点的距离比点P到直线的距离小2，记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）已知A，B是W上不同的两点，，若A，B，C三点共线，求的值．
解：（1）由点P到点的距离比点P到直线的距离小2，
得点P到点的距离等于点P到直线的距离，
因此点P的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以点P的轨迹W的方程为.
（2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，
由消去得，恒成立，，
所以.
17. 已知直线：．
（1）若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程；
（2）P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标．
解：（1）由直线m与平行，设直线m的方程为，
由m，之间的距离为，得，解得或，
所以直线m的方程为或.
（2）设点关于直线：的对称点为，
则，解得，即，
而，当且仅当三点共线时取等号，
直线的方程为，即，
由，解得，点，
所以取得最大值时点P的坐标.

18. 已知双曲线：的离心率为，且经过点．
（1）求的方程；
（2）若上两点，关于点对称，求直线的方程；
（3）过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示）
解：（1）依题意，双曲线：的离心率为，
且经过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）依题意，上两点，关于点对称，
由，两式相减并化简得，
所以直线的方程为.
由消去得，，
因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为.
（3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为，
设直线，其中，
因为均与的右支有两个交点，所以，所以，
将的方程与联立，可得.
设，则，
所以
，
同理，
所以,.

19. 已知抛物线的焦点与椭圆C：的一个焦点重合，且抛物线的准线被C截得的弦长为1.
（1）求C的方程.
（2）过点作两条直线，分别与C交于点A，D和点B，E，其中A在D的上方，B在E的上方.
①若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：；
②若A是的中点，且，求直线的方程.
解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
依题意，，由消去得，则，
联立解得
所以椭圆C的方程为.
（2）①直线不垂直于轴，设其方程为，，

由消去得，，
，轴，，
的面积
，解得，
而直线的倾斜角为钝角，则，由解得，
因此点，，
则，即，
所以.
②由及A是的中点，得，又点均在椭圆上，

则，整理得，
即，
设点，由，得点是的中点，则，
同理得，因此点，的坐标都满足方程，
所以直线的方程为.