山东省滨州市滨城区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份山东省滨州市滨城区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题（解析版），共35页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
A、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D、，与是同类二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】．和不是同类二次根式不能合并，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
3. 在中，所对的边分别为，则满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、，，
最大角为，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，∴，
C、，，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、设，
，
∴，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4. 如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ）
A. B. C. 6D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5. 点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在矩形中，，
，，
又点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，
，
，
点为的中点，，
．
故选：A．
6. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
，
故选：B．
7. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当时，平行四边形是菱形
B. 当时，平行四边形是矩形
C. 当时，平行四边形是菱形
D. 当且时，平行四边形是正方形
【答案】A
【解析】A．当时，无法确定平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意；
B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意．
故选：A．
8. 如图，在中，，点分别是的中点，顺次连接，在从逐渐增大到的过程中，四边形形状的变化依次是（ ）
A. 平行四边形→菱形→平行四边形
B. 平行四边形→矩形→平行四边形
C. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
D. 平行四边形→矩形→正方形→平行四边形
【答案】A
【解析】连接，
∵E、F、G、H是的各边中点，
∴，
∴，
当时，
∵中，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，是矩形，
∴，
∴，
∴是菱形，
当时，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形形状的变化依次是：平行四边形→菱形→平行四边形．
故选：A．
9. 如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：A．
10. 如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
二．填空题
11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】在实数范围内有意义，
故，
解得：．
故答案为：．
12. 如图，在中，，则______．
【答案】
【解析】，，
，
，
，
故答案为：．
13. 如图，在数轴上以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点．根据图中数据，则点所表示的数是______．
【答案】
【解析】由题意得：，
∵点位于数轴正半轴，
∴点所表示的数是，
故答案为：．
14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是_____．
【答案】
【解析】∵点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：．
15. 如图，若菱形的顶点、的坐标分别为、，点在轴正半轴上，则点的坐标是__________．
【答案】
【解析】菱形的顶点，的坐标分别为、，
，，
，
点，
，
，
点，
故答案为：．
16. 如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题：
①若，则．
②若，则是的中位线．
③若，则．
以上命题假命题有__________________(填序号)
【答案】③
【解析】命题①是真命题，理由：
证明：过点作交边于点，连接，
又，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
，，
，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，
命题②是真命题，理由：
证明：如图，作交的延长线于点，
∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
，．
∵，∴，
，
∵，
∴，
，
，，
∴，
是的中位线．
③是假命题，如图，满足，但．故③是假命题．
故答案为：③．
三．解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）
．
18. 已知，，求：
（1）的值．
（2）的值．
解：（1）∵，，
∴．
（2）∵，，
∴，，
∴．
19. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，
（1）求的长度；
（2）求的长．
解：（1）在中，
∵，，，
∴．
（2）∵垂直平分，
∴，
设，则，
在中，
∵，
∴，
解得．
∴．
20. 下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．
你选择方法______．
证明：
证明：选择方法一：
如图，连接，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
在与中，
，
，
，
即平行四边形的对角相等．
21. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
（1）证明：四边形是菱形，
且，
，
∴
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
22. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：
试按照以上步骤证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，在中，______．
求证：______．
证明：
解：已知：如图，在中，点、分别是、的中点，是边上的中线．
求证：与互相平分．
证明：如图，连接、，
是边上的中线，
点是的中点，
点、分别是、的中点，
、是的中位线，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
23. 数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题、演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务：
【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．
请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果_______________________，那么_______________________．
【任务2】推理建模：请补充完成任务1中逆命题的推理过程．
已知：如图1，在中，，_______________，
求证：_______________．
证明：延长到点，使，连接．
……
【任务3】模型应用：
动手操作：
第1步：如图2，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平；
第2步：如图3，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在上，再把这个正方形展平，连接．
第3步：如图4，延长交于点，连接．
数学思考：（1）图3中的_______________．
（2）图3中的是什么特殊的三角形？说明理由．
（3）图4中，若正方形的边长为，则_______________．
解：[任务1]
逆命题为：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边得一半，那么这条直角边所对的锐角等于．
故答案为：一条直角边等于斜边得一半，这条直角边所对的锐角等于；
[任务2]
已知：如图1，在中，，，
求证：．
证明：延长到点，使，连接．
则，
，
，
，且．
垂直平分．
，
，
则是等边三角形．
．
．
故答案为：，；
[任务3]
（1）如图3，由对折的性质可知，，，．
．
．
故答案为：30；
（2）是等边三角形，理由如下：
如图3，由对折的性质可知，，，．
垂直平分，
，
，
是等边三角形；
（3）是等边三角形，
，
四边形是正方形，
，，
，
由对折的性质可知，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
中，，
，
，，
由对折的性质知，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
24. 【探究问题】（1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：___________；
②在菱形中，设其边长为，则对角线和的数量关系有：
___________；
③在矩形中，设，则对角线和的数量关系有：
___________；
【解决问题】（2）如图1，在平行四边形中，设，猜想对角线和，的数量关系有：___________，并证明你的结论；
【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，点为的中点，求的长．
解：（1）①如图1.1，
四边形是正方形，
，，，
，，
；
故答案为：；
②如图1.2，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
；
故答案为：；
③如图1.3，
四边形是正方形，
，，，，
，，
；
故答案为：；
（2）；
证明：如图1，分别过点，作，，垂足分别为，．
，
四边形是平行四边形，
，．
，
在和中，
，
；
，，
设，，则，．
在中，，
在中，，
．
在中，，
．
；
（3）如图2，连接，延长至点，使，连接，，
，
四边形是平行四边形．
，
，
，
，
，
．平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．
方法一：
证明：如图，连接．

方法二：
证明：如图，延长至点E．

方法三：证明：如图，连接、，与交于点O．