山东省滨州市滨城区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省滨州市滨城区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
B. 该选项是最简二次根式，故符合题意；
C. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
D. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．和不是同类二次根式，不能进行加减运算，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项不符合题意；
D．，故该选项符合题意．
故选：D．
3. 在中，，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，，
，
能判定是直角三角形，故A选项不符合题意；
B、，即，
根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、，设，
，
根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故C选项不符合题意；
D、，
，
，
，
不能判定是直角三角形，故D选项符合题意．
故选：D．
4. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A. 当时，四边形是菱形
B. 当时，四边形是矩形
C. 当时，四边形是菱形
D. 当时，四边形是正方形
【答案】D
【解析】A. 当时，四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
B. 当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D. 当时，四边形是矩形，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
5. 如图，菱形的对角线相交于点，若，则菱形边的长为（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故选：A．
6. 、是一次函数图像上的不同的两点，则（ ）
A. B.
C. D. 的符号无法判断
【答案】A
【解析】，
随的增大而减小，
当时，，当时，，
与异号，
，
故选：A．
7. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接，设直线与边的交点为P，
由折叠可知点P、E、G、N四点共线，且，
设正方形的边长为，则，正方形的面积为，
∵若正方形与五边形的面积相等
∴由折叠可知正方形的面积正方形的面积，
∴正方形的边长，
∴．
故选：A．
8. 在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（ ）
A. 为等腰直角三角形B. 点坐标为
C. 图象经过第一、三、四象限D. 点到的图象距离为1
【答案】A
【解析】在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，
当时，，则；
当时，，则；
A、、，
，且，
则为等腰直角三角形，
故该选项正确，符合题意；
B、，
点坐标为错误，不符合题意；
C、在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，
，且、，
则图象经过第一、二、四象限，
故该选项错误，不符合题意；
D、过点作于点，如图所示：
是等腰直角三角形，，
由勾股定理可得，
，
由等腰三角形三线合一性质可知，是斜边上的中线，
，即点到的图象距离为，
故该选项错误，不符合题意；
故选：A．
9. 若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论：
①；
②；
③若（其中为有理数）则；
④若，则．
以上结论正确的有（ ）
A 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】①，故①错误，不合题意；
②，故②正确，符合题意；
③
，
若，
则，
解得，
∴，故③错误，
④∵，
又∵，
∴，
故④正确，符合题意；
综上，结论正确的有个，
故选：．
10. 如图，是线段上一动点，分别是的中点，随着点的运动，的长（ ）
A. 随着点的位置变化而变化B. 保持不变，长为
C. 保持不变，长为D. 保持不变，长为
【答案】D
【解析】如图所示，过点作于点，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，点分别是的中点，
则是中位线，
∴，
∴随着点的运动，的长保持不变，长为，
故选：D．
二．填空题
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】且
【解析】∵式子在实数范围内有意义，
则，
解得且，
故答案为：且
12. 如图，在中，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，则的长为______．
【答案】
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为，的中点），若，则点B距离地面的高度为_____．
【答案】70
【解析】∵E，F分别为，的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：70．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为_________．
【答案】
【解析】如图，设正方形的边长为，与轴相交于，
则四边形是矩形，
，，．
由折叠的性质，得，．
点坐标为，点的坐标为，
，，
．
在中，，
，
解得，
，．
在中，，
，
解得，
，
点的坐标为．
故答案为：．
15. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为，则的面积是___________．
【答案】
【解析】如图，连接，
∵点、、分别是、、的中点，
，，
∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
故答案为：．
三．解答题
16. 如图是由边长为1的小正方形组成网格，小正方形的顶点为格点，图中的点A，B，C在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1） ；
（2）如图，作的平分线．
解：（1）∵，
故答案为：；
（2）如图，将点往右平移1格，得到点，将点往左平移1格，得到点，连接交于，则即为所求；
理由：∵，
∴，
四边形为矩形，
，
∴平分．
17. 计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18. 某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生成绩（满分：100分）如下：
八（1）班：92，86，85，85，77；
八（2）班：92，89，85，85，79．
两班前5名学生成绩的有关统计数据如表：
请解决下面问题：
（1）_______，_______，______．
（2）求该校八（1）班前5名学生成绩的方差．
（3）两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？
解：（1）八（2）班成绩重新排列为：79，85，85，89，92，
∴，
85出现次数最多，
∴，
八（1）班成绩重新排列为：77，85，85，86，92，
，
故答案为：86，85，85；
（2）由题意得：
八（1）班的方差为：，
八（1）班的方差为22.8；
（3）八（2）班的方差为：，
八（1）班的平均数小于八（2）班的平均数，且八（2）班的方差小于八（1）班的方差，
八（2）班前5名的整体成绩较好．
19. 如图，是平行四边形的对角线，作于E，作于F．求证：．
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，已知矩形．
（1）用直尺和圆规分别在、边上找点E、F，使得四边形是菱形；
（保留作图痕迹，不写作法，并给出证明）.
（2）若，，求菱形的周长．
解：（1）连接，利用直尺和圆规作线段的垂直平分线交，于点E，F，则点E，F为所求．如图，
证明如下：
设与交于点O，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴点E，F为所求作的点．
（2）设菱形的边长为x，则菱形的的周长为，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴菱形的的周长为．
答：菱形的周长为20．
21. 如图，已知一次函数（）与正比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）求k的值及点A的坐标；
（2）当时，求x的取值范围；
（3）观察图象，直接写出当时，x的取值范围．
解：（1）将点代入得，
，
解得，
所以点A的坐标为．
将点代入得，
，
解得；
（2）由（1）知，，
∴，即，
解得；
（3）由（1）可知，点A的坐标为，根据函数图象可知，
当时，函数的图象在函数图象的下方，即，
所以当时，x取值范围是．
22. 某校组织师生参加实践活动，现准备租用甲、乙两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．租车数量与载客人数（每辆车均坐满）的相关数据如下表：
（1）每辆甲型客车、乙型客车坐满后各载客多少人？
（2）该校计划租用甲型和乙型两种客车共10辆，并将全校420人载至目的地，若甲型客车每辆租金为500元，乙型客车每辆租金为600元，请计算出租车最省钱的方案．
解：（1）设甲型客车坐满后载客x人，乙型客车坐满后载客y人，
根据题意，得，
解得．
答：甲型客车坐满后载客40人，乙型客车坐满后载客55人．
（2）设租甲型客车辆，则租乙型客车辆．
根据题意，得，解得．
为整数，
的最大值为8．
甲型客车每辆租金为500元，乙型客车每辆租金为600元，
总租金为．
，
总租金随的增大而减小．
当时，总租金最少，此时．
管：租甲型客车8辆，乙型客车2辆最省钱．
23. 阅读材料，回答问题：
（1）补全帆帆同学证明过程中①②③所缺的内容；
（2）若，，，请用海伦-秦九韶公式求的面积；
（3）在（2）的条件下，设中边上的高为，边上的高为，求的值．
解：（1）如图，过点A作于点D，
则，
设，，则，
∴，
解得，
∴
，
∵，
∴
，
∴．
故：①，②，③；
（2），，，
，
；
（3），
，
，，
．
24. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程．
问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值．
（1）特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值；
（2）一般证明
①时，直接写出_____；
②求出的值；
（3）类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由．
解：（1）当，则；当，则，解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
则；
（2）①当，则；当，则，解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，
∴当，时，，
∴，
∴，
故答案为：1；
②由①知，，，，
则；
（3）设直线的表达式为：，
则，
解得，
∴，
设直线的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，则点，
由点、的坐标得，，
则，
同（2）可求点，
则，
，
即，
解得：，
则，
当时，，
即直线过定点．平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
85
b
85
八（2）班
a
85
c
19.2
租车数量/辆
载客人数
甲型客车
乙型客车
5
2
310
3
4
340
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式．帆帆同学对公式兴趣浓厚，以锐角三角形为例，证明过程如下：
如图，在锐角三角形中，，，．
求证：，其中．
证明：如图，过点A作于点D，则，
设，，则① .
∴② .
解得，
∴
，
∵，
∴
③ ，
∴．
中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，实质上是同一个公式，故这个公式又被称为海伦-秦九韶公式．