广东省广州市白云区2024年中考二模数学试题（解析版）

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一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】A、是无理数，符合题意；
B、0是有理数，不是无理数，不符合题意；
C、是有理数，不是无理数，不符合题意；
D、是有理数，不是无理数，不符合题意；
故选A．
2. 若代数式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，得：，
∴；
故选C．
3. 下列几何体中，其侧面展开图是扇形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在圆柱体，圆锥，三棱锥，长方体中，只有圆锥的侧面展开图是扇形；
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A中，故不符合要求；
B中，故不符合要求；
C中，故不符合要求；
D中，故符合要求；
故选：D．
5. 已知关于x的方程． 的一个根为2，则另一个根是 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】∵关于x的方程有一个根为2，设另一个根为m，
∴，
解得，，
故选：C．
6. 长方形的三个顶点的坐标是、、，那么点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵长方形的三个顶点的坐标是、、，
∴点的横坐标与点的横坐标相同，点的纵坐标与点的纵坐标相同，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为，
故选．
7. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】列表如下，
共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种，
∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是，
故选：A．
设甲、乙两人每小时分别走x、y千米，则可列出方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米，
根据题意得：
故选C
9. 如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】是的直径，，
，，，，
故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
10. 定义新运算：例如 ，则的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，得：，
∴当时，函数图象是过原点的向上的直线，当时，函数图象是过第三象限的双曲线；
故符合题意的是：C
第二部分 非选择题 (共90 分)
二、填空题(本大题共6 小题，每小题3分，满分18分．)
11. 因式分解：2-2=____．
【答案】2a(a+1)(a-1)
【解析】
故答案为：．
12. 甲、乙两人在米短跑训练中，某次的平均成绩相等，甲的方差是，乙的方差是，这次短跑训练成绩较稳定的是___（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是刻画数据的波动大小程度，方差越小，代表数据波动越小.因此，在本题中，方差越小，代表成绩越稳定，故乙的训练成绩比较稳定．
13. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题可以写成：_________，所写出的命题是_____命题(填“真”或“假”) ．
【答案】两个面积相等的三角形是全等三角形 假
【解析】由题意知，“两个全等三角形的面积相等”的逆命题为两个面积相等的三角形是全等三角形，该命题为假命题，
故答案为：两个面积相等的三角形是全等三角形，假．
14. 已知一次函数（k，b是常数）的图象上有两点，，若当时，，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵时，，
∴，
∴；
故答案为：．
15. 如图，在等腰中，，延长边到点D，延长边到点E，连接，若，则_____．
【答案】
【解析】过点作，，连接，
则：四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：．
16. 两块三角板 (中，，中，，)按如图方式放置，下列结论正确的是______(填写所有正确结论的序号)．
①；②；③；④．
【答案】①②④
【解析】如图，记的中点为，连接，
又∵，，
∴，
∴四点共圆，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，①正确，故符合要求；
由题意知，，，
∴，即，②正确，故符合要求；
如图，作于，
设，则，
∵，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，③错误，故不符合要求；
∵，，
∴，
∴，④正确，故符合要求；
故答案为：①②④．
三、解答题(本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17. 解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来．
解：
由①，得：；
由②，得：，
∴不等式组的解集为：，
数轴表示解集如图：
18. 如图，点D在上． 点E在上，．求证：．
证明：在和中：，
∴，
∴．
19. 已知
（1）化简T；
（2）若a满足，求T的值．
解：（1）；
（2）∵，∴，
∵，∴当时，．
20. 人工智能火遍全球，某校数学兴趣小组为了调查九年级学生对人工智能的了解程度，设计了一张含个问题的调查问卷，在该校九年级中随机抽取名学生进行调查，得到这名学生答对题数的情况如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的_____， _____；
（2）被抽取的九年级学生答对问题数量众数是_____，中位数是____；
（3）若答对7题及以上视为比较了解人工智能，该校九年级有名学生，估计该校九年级比较了解人工智能的学生总人数．
解：（1）由题意知，，，
故答案：4，；
（2）由题意知，众数是8，中位数为第位数的平均数为，
故答案：8，；
（3）∵，
∴估计该校九年级比较了解人工智能的学生总人数为人．
21. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年相同，销售总额比去年少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元?
解：设今年月份每辆车的销售价格是万元，
依题意得 .
解得.
经检验，是原方程的解，并且符合题意．
答: 今年1～5月份每辆车的销售价格是万元．
22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，正方形的顶点A，B分别落在y轴和x轴上．
（1）求k，n的值；
（2）求的正切值．
解：（1）将代入得，，
解得，，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴，；
（2）如图，作轴于，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴正切值为．
23. 如图，在中，，点O在边上，经过点B并且与相切于点D，连接．
（1）尺规作图：过点D作，垂足为点E； (保留作图痕迹，不写作法)
（2）在 (1)所作的图形中，
①求证：平分；
②若四边形的周长与面积均为18，求的长．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）①∵经过点B并且与相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
②∵平分，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形的周长与面积均为18，
∴，，
∴，
∴，
∴．
24. 已知抛物线，
（1）当时，求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）抛物线的顶点为A．
①若当时，都有y随x的增大而减小．求此时顶点A的纵坐标的取值范围；
②抛物线与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，直线与x轴交于点D，抛物线在①的条件下，求的面积与的面积满足的数量关系．
解：（1）当时，，
当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴交点的坐标为；
（2）∵，
∴，
①当时，都有y随x的增大而减小，
∴，
∴，
∵
∴；
②∵，
∴对称轴为直线，当时，，
∴，，
∵，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：
，解得：，
∴，
∴当时，，解得：，
∴，
∵，
∴点在点的左侧，
∴，
，
∴，即：．
25. 如图，在菱形中，，

（1）连接，求的值；
（2）点E以每秒2个单位长度的速度从B点出发向点C运动，同时点Q以每秒个单位长度的速度从D点出发向点B运动，当其中一点达到终点，另外一点随之停止运动．
①连接，能否为等腰三角形？如果能，求点E，Q的运动时间；如果不能，请说明理由；
② 连接，当时，求的值．
解：（1）连接，交于点，

∵在菱形中，，
∴，，
∴，
∴；
（2）①能，设点的运动时间为，则：，
∴，
如图，当时，过点作，则：，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：；
当时，则，
∴，
解得（舍去）；
当时，，
解得，
∴当点E，Q的运动时间为秒或秒时，为等腰三角形；
②过点作，则：，
∵菱形，，
∴，，，，
∴，，
∴，
将三角形绕点旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
在中，，
∴，，
设运动时间为，则：，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或，
∴，
∴．女
女
女
男
女
女，女
女，女
女，男
女
女，女
女，女
女，男
女
女，女
女，女
女，男
男
男，女
男，女
男，女
答对题数
5
6
7
8
9
人数
3
3
α
6
2
2
占总人数比例
b