2022年广东省广州市白云区中考数学二模试卷（含解析）

2022年广东省广州市白云区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 根据第七次全国人口普查结果，至年月日零时，广州个区中，人口超过万的区有个，为白云区．将万用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

2. 为了解全班名同学对新闻、体育、动画、戏剧四类电视节目的喜爱情况，对他们最喜爱的电视节目进行问卷调查后每人选一种，绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的电视节目是

A. 新闻 B. 体育 C. 动画 D. 戏剧

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 在中，点是斜边上的中点，连接若，则

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法正确的是

A. 从正面观察球体所得到的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 从正面观察球体所得到的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 从正面观察球体所得到的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 从正面观察球体所得到的图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

6. 反比例函数的图象经过点，，，其中，则

A.  B.  C.  D.

7. 中，，，，以点为圆心，为半径作，当与相切时，

A.  B.  C.  D.

8. 往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为，则圆柱形容器的截面直径为．

A.
B.
C.
D.

9. 若直线经过点，则下列关于的方程的说法正确的是

A. 两实数根的和为 B. 两实数根的差为
C. 两实数根的积为 D. 两实数根的商为

10. 如图，在正方形中，过点作直线，分别交延长线和延长线于点，，使得，点是线段上一点，若的面积为，则正方形的面积为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 已知，则的余角等于______
12. 计算：______．
13. 方程的解是______．
14. 如图，矩形的对角线与交于点，过点作，交于点，过点作，垂足为，，，，则矩形的面积为______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，，，，按如图所示的方式放置，其中点，，，，均在一次函数图象上，点，，，，均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．

16. 如图，点为等边外一点，，，点，分别在和上，且，，，则的边长为______．
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 解方程组：．
18. 如图，已知，求证：．
    
    
     

19. 已知．
    化简；
    若一次函数，当时，函数图象与轴相交；当时，函数图象与轴相交，求的值．
20. 某班为了解学生某学期做义工的时间情况，对全班名学生进行调查，按做义工的时间单位：小时，将学生分成五类：类，类，类，类，类，绘制成尚不完整的统计图如图．
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    类学生有______人，补全折线统计图；
    类学生人数占被调查总人数的______；在扇形统计图中，类对应扇形的圆心角为多少度？
    从该班做义工时间在的学生中任选人，求这人做义工时间都在的概率．
21. 如图，平面直角坐标系中，▱的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．
    求的值和点的坐标；
    ▱是菱形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．

22. 团体购买某博物馆门票票价如表所示：
    今有甲、乙两个旅行团共人，已知甲旅行团人数少于人，乙旅行团人数不超过人．若分别购票，两旅行团共计应付门票费元．

甲、乙两个旅行团各有多少人？
如果乙旅行团有人因有其他活动不能参加该公园的游玩，已知那么，应该如何购票，才能使两旅行团共计应付的门票费最少？

23. 已知：如图，，是半圆上的两点，是的直径，，是的中点．
    在上求作一点，使得最短；
    若，求的最小值．
24. 在菱形中，，点是平面内一动点，以为边作等边，其中，，按逆时针方向排列．
    如图，当点在线段上，点在菱形内部时，连接，则线段与的数量关系是______；与的夹角度数是______；
    如图，当点在线段上，点在菱形外部时，连接，求证：；
    如图，当点在线段的延长线上时，连接，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______．

25. 如图，已知抛物线经过原点和轴上另一点，它的对称轴与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、．

求的值及该抛物线对应的函数关系式；
求证：；是的中点；
若是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使得？若存在，试求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：由图可知，喜欢戏剧类电视节目的人数最多，
最喜欢的电视节目是戏剧．
故选：．
根据条形统计图即可得出结论．
本题考查了条形统计图，能根据图形得出正确的信息是解此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的减法的法则，单项式乘多项式的法则，二次根式的乘法，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的减法，二次根式的乘法，单项式乘多项式，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】

【解析】解：如图，

点是斜边上的中点，
，
，
故选：．
由直角三角形斜边上中线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可求解．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：从正面观察球体所得到的图形是圆，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：．
根据球的主视图是圆，再根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，，且，
反比例函数的图象经过点，，，
又时，反比例函数在每一象限内，随着增大而增大，
，
故选：．
根据题意可得，再根据反比例函数增减性即可比较的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：在中，，，
令，，
，
，即，
解得：，
，，
与相切于点，
．
故选：．
根据锐角三角函数求出的长，再根据切线的性质解答即可．
本题主要考查了锐角三角函数，根据三角函数值设出未知数，从而求出三角形的边长是解决问题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：如图所示：

由题意得，于，，
，
，
设半径为，则，
在中，
，解得，
所以，
故选：．
设半径为，则，在中，，解方程可得半径，进而可得直径．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意构造出直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：直线经过点，
，
，
原一元二次方程为．
，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
两实数根之和为，两实数根之积为．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出，利用根的判别式可得出，进而可得出该一元二次方程有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可得出两根之和及两根之积，对边四个选项后即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及根与系数的关系，利用一次函数图象上点的坐标特征及根与系数的关系，找出两根之和及两根之积是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：过作于，如图：

四边形是正方形，
，，
，
，，
是等腰直角三角形，
设正方形边长为，则，，
，
，
的面积为，
，即，
，
正方形的面积为，
故选：．
过作于，根据四边形是正方形，，可得是等腰直角三角形，设正方形边长为，由的面积为，即得，即可得到答案．
本题考查正方形性质及应用，涉及等腰直角三角形三边关系，解题的关键是用含的代数式表示的面积．
 

11.【答案】

【解析】解：的余角；
故答案为：．
根据余角的定义即可求出的余角．
此题主要考查了余角，解题的关键是掌握互为余角的两个角的和为度．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
先化简 ，再合并同类二次根式即可．
【解答】
解： ．
故答案为： ．   

13.【答案】

【解析】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
故答案为：．
方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形为矩形，，
，



，
故答案为：．
根据矩形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是矩形的性质、三角形的面积计算，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：的坐标为，点的坐标为，
正方形边长为，正方形边长为，
的坐标是，的坐标是，
代入得，
解得：，
直线的解析式是：，
点的坐标为，
在直线中，令，则；
，
正方形边长为，
的横坐标是：，
的纵坐标是：；
故答案为：．
首先求得直线的解析式，分别求得，，的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，涉及正方形性质等，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，延长到，使，连接，

是等边三角形，
，，
，，
，
，
即，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
即，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
即的边长．
故答案为：．
作辅助线，构建三角形全等，证明≌，得，，再证明≌，得，可得，则，即可得出的边长．
此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
 

17.【答案】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
所以原方程组的解为．

【解析】利用加减消元法解出方程组．
本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
 

18.【答案】证明：在与中，
，
≌，
．

【解析】已知两边和它们的夹角对应相等，由即可判定两三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答．
本题主要考查全等三角形的判定方法．证明全等寻找条件时，要善于观察题目中的公共角，公共边．
 

19.【答案】解：

；
根据题意，可得，，
解得，
．

【解析】根据完全平方公式和平方差公式化简即可；
根据题意，可得，，解出的值，然后将和的值代入中结果即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，涉及完全平方公式，平方差公式等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：类学生有人，
补全折线统计图如下：

故答案为：；
类学生人数为人，
类学生人数占被调查总人数的，
在扇形统计图中，类对应扇形的圆心角为，
故答案为：；
记内的为甲，内的人记为、、，
从中任选两人有：甲、甲、甲、、、这种可能结果，
其中人做义工时间都在中的有、、这种结果，
这人做义工时间都在中的概率为．
根据总人数为可求出类学生人数，再补全折线统计图即可；
用类学生人数除以被调查总人数，可得类学生人数占被调查总人数的百分比；用乘以类人数占被调查总人数的百分比，即可得到扇形统计图中，类对应扇形的圆心角度数；
列举所有等可能结果，根据概率公式求解可得答案．
本题考查统计与概率，涉及折线统计图与扇形统计图，解题的关键是用枚举法写出从做义工时间在的学生中任选人的所有情况，也可用树状图或列表的方式解答．
 

21.【答案】解：过作轴于，过作轴于，如图：

把代入得：
，
解得，
；
四边形是平行四边形，
，
又轴，轴，
，
是的中位线，
，
在中，令得，
，
答：的值为，点的坐标为；
▱不是菱形，理由如下：
设，
由知：，，
是的中点，
，即，
，
，
，
而，
，
▱不是菱形．

【解析】过作轴，过作轴，由，用待定系数法可得，；根据四边形是平行四边形，可得是的中位线，，在中，令得；
设，由是的中点，有，即可得，，而，故，从而可知▱不是菱形．
本题考查反比例函数综合应用，涉及平行四边形性质及菱形判定，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，得到为中点．
 

22.【答案】解：设甲旅行团人数为，乙旅行团人数为，
由题意得：，
解得：，
答：甲旅行团人，乙旅行团人；
由得：甲旅行团人，乙旅行团人，如果乙旅行团减去人，
则乙旅行团，
总人数，两团人数和在之间，
合在一起作为一个团体购票，购小于张的，两旅行团共计应付门票费大于等于：元，门票费小于等于：元，
合在一起作为一个团体购票，购张的，两旅行团共计应付门票费：元
当时，购买张票；当时，购买张票；能使两旅行团共计应付的门票费最少．

【解析】设甲旅行团人数为，乙旅行团人数为，由“甲、乙两个旅行团共人，已知甲旅行团人数少于人，乙旅行团人数不超过人，门票的价格．若分别购票，两旅行团共计应付门票费元”，列出二元一次方程组，解方程组即可；
如果减去人，可得此时两团人数和在之间，进而可得出最省钱的方案．
本题考查了二元一次方程组的应用等知识；得出两团人数和在之间，用张票与之比较是解题的关键．
 

23.【答案】解：作，交圆于，然后连接，交于点，就是所求的点；

延长交圆于，连接，．

，
，是的中点，
．
，
又，
．
是圆的直径，
，
直角中，，
．

【解析】作出关于的对称点，连接，交于点，就是所求的点；
延长交圆与，连接，，可以根据圆周角定理求得的度数，根据等腰三角形的性质求得的度数，然后在直角中，解直角三角形即可求解．
本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，以及圆周角的性质定理，正确求得的度数是关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：如图，连接，延长交于点，与的交点为，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，；
是等边三角形，
，，
，
≌，
；
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
为菱形的对角线，
，
；
故答案为：，；

证明：如图中，连接，交于，
菱形，，
和都是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，
菱形的对角线与相交于，
，，
在中，，
；

解：．
理由：如图，连接，交于，
同的方法得，，
同的方法得，
．
连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明≌即可证得结论；
同的方法得出，再用含度角的直角三角形得出，即可得出结论；
结合的方法，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
 

25.【答案】解：点在直线上，
，
，
抛物线经过原点和点，对称轴为，
点的坐标为，
设所求的抛物线对应函数关系式为，
将点代入上式，得，
，
所求的抛物线对应的函数关系式为，
即；
证明：直线与轴、直线的交点坐标分别为，，
过点作轴，与轴交于、直线交于，
则直线，，
在中，，
，
；
过点作轴，交轴于，

则点的坐标为，
又点、的坐标为、，
，，，
≌，
，
即是的中点；
解：存在．
由于，
点在直线上，
符合条件的点是直线与该抛物线的交点，
设直线对应的函数关系式为，
将代入，得，
解得，，
直线对应的函数关系式为，
动点的坐标为，
，
解得，，
，，
符合条件的点的坐标为或

【解析】本题为二次函数综合题，考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、函数图象交点等知识．
可根据直线求出点的坐标，根据、关于直线对称，可得出点的坐标，已知了抛物线上三点坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式；
先求出、、、四点的坐标．
根据、、三点的坐标可求出，的长，判断它们是否相等即可；
本题可通过构建全等三角形来求解，过作轴于，过作轴于，根据、、三点坐标即可得出，，通过证两三角形全等即可得出即是中点的结论；
若，则点必在线段的垂直平分线上即直线上，可求出直线的解析式，联立抛物线即可求出点的坐标．