上海市虹口区2024-2025学年八年级下学期期末数学复习试题解答

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一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，落地后正面朝下B．打开电视机，正在播放广告
C．篮球运动员投篮，把球投进篮筐D．从地面往上抛出的足球会落下
【答案】D
【分析】在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，根据必然事件的定义对选项一一分析即可．
【详解】解：A. 抛掷一枚硬币，落地后正面朝下是随机事件，故选项A不符合题意；
B. 打开电视机，正在播放广告是随机事件，故选项B不符合题意；
C. 篮球运动员投篮，把球投进篮筐，是随机事件，故选项C不符合题意；
D. 从地面往上抛出的足球会落下是必然事件，故选项D符合题意．
故选择D．
2．一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据一次函数的解析式，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，此题得解．
【详解】解：∵k=-2＜0，b=1＞0，
∴一次函数y=-2x+1的图象经过第一、二、四象限，
∴一次函数y=-2x+1的图象不经过第三象限．
故选：C．
3．下列方程中，有一个根是的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解方程再检验，或把x=2代入选项中的每个方程，再逐个判断．
【详解】A.解方程，
方程两边都乘以x-2，得x=2，
检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2是增根，
即x=2不是原方程的解，故A选项不符合题意；
B.当x=2时，分母不等于0，
方程的左边=， 右边=0，
即左边=右边，
所以x=2是原方程的解，故本选项符合题意；
C．当x=2时，中x-3＜0，
所以x=2不是方程的解，故本选项不符合题意；
D．当x=2时，中x-6＜0，
所以x=2不是方程的解，故本选项不符合题意；
故选：B．
如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，且，，
联结．下列结论不正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质条件题目条件一一判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=2EB，CF=2FD，
∴AE=CF，DF=EB，
∴，，∥，故选项A，B，C正确，
∵++=++，故D错误，
故选：D．
5．．已知四边形中，，下列判断中的正确的是（ ）
A．如果，那么四边形是等腰梯形
B．如果，那么四边形是菱形
C．如果AC平分BD，那么四边形是矩形
D．如果，那么四边形是正方形
【答案】C
【分析】根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A． 如果BC=AD，那么四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误；
B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是矩形，错误；
C． 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形，正确；
D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是正方形，错误；
故选：C．
6．甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（ ）

（1）山的高度为340米
（2）甲乙二人不同时出发
（3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟
（4）乙出发分钟后登顶
（5）甲出发5分钟后追上乙
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A
【分析】（1）由函数图象可直接判断；
（2）由两函数图象与y轴的交点坐标作出判断；
（3）由山的高度及甲的登山速度分析求解；
（4）由函数图像分析乙的登山速度，从而求出其登山时间；
（5）通过求函数解析式的交点坐标进行分析计算．
【详解】解：（1）由函数图象可得山的高度为340米，故此说法正确，符合题意；
（2）由题意，甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，

由图象可得，，
∴甲出发时，乙已经距离地面米，即甲乙二人不同时出发，故此说法正确，符合题意；
（3）由图象可得甲出发1分钟时，距离地面米，
∴甲在出发2分钟内的登山速度为米/分，
又∵已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，
∴甲在出发2分钟后的登山速度为米/分，
（分钟），
（分钟），
∴甲登顶的时间为自己出发后7分钟，故此说法正确，符合题意；
（4）由图象可得乙的登山速度为米/分
∴乙的登山时间为（分），即乙出发42.5分钟后登顶，故此说法正确，符合题意；
（5）设直线的函数解析式为，把，代入，
，解得，
∴直线的函数解析式为，
设直线的函数解析式为，把，代入，
，解得，
∴直线的函数解析式为，
联立方程组，解得
∴甲出发5分钟后追上乙，故此说法正确，符合题意，
正确的有5个，
故选：A．
填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，
解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键．
【详解】解：根据二次根式的意义，有，
解得，
故自变量x的取值范围是，
故答案为：．
已知一次函数，、均为常数的图象如图所示，
那么关于的不等式 的解集是 ．

【答案】
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集．
【详解】解：函数的图象经过点，并且函数值随的增大而减小，
所以当时，函数值大于，即关于的不等式的解集是．
故答案为：．
9．方程的根是 ．
【答案】x＝4
【详解】先变形，将无理方程化为一元二次方程，然后解方程，再检验，即可解答本题．
【解答】解：∵，
∴＝x，
∴3x+4＝x2，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x﹣4＝0或x+1＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1，
经检验，x＝﹣1原无理方程无意义，
∴原无理方程的根是x＝4，
故答案为：x＝4．
10．直线y＝﹣2x＋3向上平移3个单位后，所得线的函数表达式是 ．
【答案】y=-2x+6
【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【详解】解：将一次函数y=-2x+3向上平移3个单位后，所得图象对应的函数表达式为：y=-2x+3+3，即y=-2x+6，
故答案为：y=-2x+6．
11．方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
根据解分式方程的步骤解方程即可．
【详解】解：原方程两边同乘得：，
整理得：，
因式分解得：，
解得：，
将代入中可得；
将代入中可得；
则是原方程的增根，
故原分式方程的解为：．
故答案为：．
12．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了向量的线性运算，根据向量的运算法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
13．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 边形．
【答案】十/10
【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和定理．解题的关键是熟练掌握多边形的内角和和外角和定理：边形的内角和为；边的外角和为．先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是，然后根据边的外角和为即可得到其边数．
【详解】解：一个多边形的每个内角都是，
这个多边形的每个外角都是，
这个多边形的边数．
故答案为：十．
布袋里有3个黄球、4个白球，5个绿球，它们除色外其它都相同，
从布袋里摸出一个球恰好是白球的概率是 ．
【答案】
【分析】白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】解：∵一共是3+4+5=12（个），4个白球，
∴从布袋里摸出一个球恰好是白球的概率是=．
故答案为：．
15．如图，在▱ABCD中，AC=AD，∠D=72°，BE⊥AC，垂足为E，则∠ABE = ．

【答案】18°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠ACD=∠D=72°，由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出∠BAE=∠ACD=72°，由直角三角形的性质即可得出∠ABE的度数．
【详解】∵AC=AD，
∴∠ACD=∠D=72°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠ACD=72°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=18°；
故答案为18°．
16．如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，
如果，那么BE：BC = ．

【答案】
【分析】根据平行线与等腰三角形证明，进而证明，得到AD=DF，再证明EF=CE，根据线段的和差关系求得CE，进而得到BE即可得出答案．
【详解】，，
∵梯形ABCD中，，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：
如图，已知矩形ABCD中AB＝3，BC＝5，E是的边CD上一点，
将△ADE沿直线AE翻折后，点D恰好落在边BC上的点F处，那么DE的长为 ．

【答案】
【分析】先根据翻折的性质得出，，然后在中由勾股定理求出，，设，则，，在中，由勾股定理求出列方程求出即可．
【详解】解：是沿翻折得到的，
，
，，
四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
设，则，，
在中，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
如图，现有一张矩形纸片ABCD，其中cm，cm，点E是BC的中点，
将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点，那么、C两点之间的距离是 ．

【答案】
【分析】如图所示：过点作，垂足为F，连接，设AE与交于点O，由折叠的性质可得，，先求出，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式求出，则，设，在中，，在中，，则，解得，则，，，，在中，．
【详解】解：如图所示：过点作，垂足为F，连接，设AE与交于点O，
由折叠的性质可得，，
∵点E是BC的中点，
∴，
在中，，
∵
∴，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解方程：．
【答案】
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，再用因式分解法求解，最后进行检验即可．
【详解】解：，
，
，
，
，，
检验：当时，；当时，；
∴是原分式方程的解．
20．解方程组：
【答案】，.
【分析】由①可得或，进而转化为2个二元一次方程组，解方程组求解即可．
【详解】解：，
由①得或，
所以原方程组化为或，
解两个方程组得或，
所以原方程组的解为，．
某物流公司送货员每月的工资由底薪和送货工资两部分组成，送货工资与送货件数成正比例．
现有甲、乙两名送货员，当送货件数量为时，甲的工资是（元），乙的工资是（元）．
如下图所示，已知甲的每月底薪是1000元，乙每送一件货物22元．

(1)根据图中信息，分别求出和关于的函数解析式：（不必写定义域）
(2)如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，
求两人的月工资分别是多少元？（一个月按30天算）
【答案】(1)，
(2)甲、乙两人的月工资分别是8200元和9220元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象，利用待定系数法求直线的解析式，以及求函数值，读懂题目信息，理解函数图象是解题的关键．
（1）设关于的函数解析式为，将代入，利用待定系数法即可求出；根据乙每送一件货物22元，可设关于的函数解析式为，将代入，利用待定系数法即可求出；
（2）根据甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，得出甲、乙两人一个月送货量分别是件和件．再把代入，代入，计算即可求解．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，
将代入，得
，
解得：；
∴关于的函数解析式为；
∵乙每送一件货物22元，
∴设关于的函数解析式为，
将代入，得
，
解得：，
∴关于的函数解析式为．
（2）解：甲、乙两人一个月送货量分别是件和件．
把代入，得；
把代入，得；
答：甲、乙两人的月工资分别是8200元和9220元．
如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，
过A作交的延长线于点F，连结．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，四边形的面积是30，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形；
（2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，如图所示：
由（1）知
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∵四边形是菱形
∴
∵，菱形的面积是30，
∴
∴
∴．
23.某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，
工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，
那么能提早5天完成任务．
求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数；
在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，
目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求．
下 表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计：
请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到）；
结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产_______件产品才能完成订单的需求．
【答案】(1)工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件
(2)；41
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，
用频率估计概率，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程．
设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据平均每天比原计划多加工20件，
那么能提早5天完成任务，列出方程，解方程即可；
根据频率估计概率即可，设还需生产y件产品才能完成订单的需求，
根据题意列出不等式，求出至少还要生产的件数即可．
【详解】（1）解：设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据题意得：
，
解得：，，
经检验是原方程的解，
答：工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件；
（2）解：根据表格中的数据可知：模型报废的频率稳定在，
∴这批物理实验模型成品的报废率约为，
设还需生产y件产品才能完成订单的需求，根据题意得：
，
解得：，
∵y必须取整数，
∴至少还需生产41件产品才能完成订单的需求．
24.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于A，两点，
过点A的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)试在直线上找一点，使得，请求出点的坐标；
(3)若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，，或
【分析】（1）通过函数求出A、M两点坐标，由两点坐标求出直线AM的函数解析式；
（2）设点的坐标为，按照等量关系“”即可求出；
（3）设点N的坐标为，结合平行四边形的性质和中点坐标公式，分三种情况进行讨论即可．
【详解】（1）当时，，
∴点的坐标为，即，
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，即，
∵点为线段的中点，
∴，即点的坐标为．
设直线的函数解析式为，
将，，代入，
得：，
解得，
∴直线的函数解析式为；
（2）设点的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，，
即：，，
∴点的坐标为或；
（3）存在，理由如下：
设点的坐标为，
∵点的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，
分三种情况考虑：
①当AM为对角线时，，
解得：，
∴点的坐标为；
②当AB为对角线时，，
解得：，
∴点的坐标为；
③当BM为对角线时，，
解得：，
∴点的坐标为．
综上所述：在坐标平面内存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形，
点的坐标为，或．
25．在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图1，当平分时，求菱形的周长；
(3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理；
（1）根据垂直平分线的性质可得，根据轴对称的性质可得进而得出，即可得证；
（2）延长交于点，当平分时，，进而勾股定理求得，设，则，，在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解；
（3）过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，根据等面积法求得，进而求得，勾股定理求得，进而求得，即的长，中，勾股定理，即可求解；当在的下方时，同理可求．
【详解】（1）证明：∵直线垂直平分，点在直线上，
∴，
∵点与点关于点对称，
∴，
又，即垂直平分，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图所示，延长交于点，
∵，
当平分时，
∴，，
在中，，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，即，
∴菱形的周长为，
（3）解：如图所示，过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形为正方形
∴，
由（2）可得，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
如图所示，当在的下方时，
同理可得：，
，
在中，，
综上所述，或．
抽取模型数累计m（件）
50
100
150
200
250
300
400
报废模型数累计n（件）
0
3
4
5
5
6
8
模型报废的频率（精确到0.001）
0
0.03
0.027
0.025
0.02
0.02
0.02