2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高二上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高二上学期12月月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共12小题，共60分。
1.在四面体PABC中，PB−AB−CA=( )
A. PCB. APC. ABD. AC
2.圆C:x2+2x+y2−1=0的圆心C的坐标为( )
A. (1,0)B. (−1,0)C. (2,0)D. (−2,0)
3.设P是椭圆x25+y23=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A. 2 2B. 2 3C. 2 5D. 10
4.设直线l的方向向量为a，两个不同的平面α,β的法向量分别为n,m，则下列说法中错误的是( )
A. 若n⊥m，则α⊥βB. 若n//m，则α//β
C. 若a//n，则l⊥αD. 若a⊥n，则l//α
5.若直线l与椭圆x26+y23=1交于点A，B，线段AB的中点为P(1,1)，则直线l的斜率为( )
A. 12B. −12C. 2D. −2
6.已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点，点P满足QP=1,−3，记P的轨迹为E，则( )
A. E是一个半径为 5的圆B. E是一条与l相交的直线
C. E上的点到l的距离均为 5D. E是两条平行直线
7.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0，且|a|=2,|b|=3,|c|=4，则cs⟨a,b⟩=( )
A. 12B. 22C. 32D. 14
8.设点F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y22=1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点.若△ABF2的面积为2 6，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=± 3xB. y=± 33xC. y=± 2xD. y=± 22x
9.由直线y=x+1上的点向圆(x−3)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为( )
A. 17B. 3 2C. 19D. 2 5
10.已知直线l1:mx−y=0m∈R过定点A，直线l2:x+my+4−2m=0过定点B,l1与l2的交点为C，则▵ABC面积的最大值为( )
A. 10B. 2 5C. 5D. 10
11.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC=−35,AB⊥BD，则E的离心率为( )
A. 52B. 173C. 102D. 5
12.如图，已知菱形ABCD的边长为2，且∠A=60∘,E,F分别为棱AB,DC中点.将▵BCF和▵ADE分别沿BF,DE折叠，若满足AC//平面DEBF，则线段AC的取值范围为( )
A. [ 3,2 3)B. [1,2 3)C. [2,2 3)D. [2,2 3]
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
13.已知直线l的一个方向向量为−1,3，则直线l的斜率为 ．
14.已知双曲线C的一个焦点F1(2,0)，渐近线为y=± 3x，则C的标准方程是 ．
15.已知a=(1,2,2),b=(3,1,−1),c=(−1,3,n)，且a,b,c共面，则n= ．
16.若方程x2m+2+y24−m=1表示的曲线为双曲线，则实数m的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m的取值范围是 ．
17.在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA=VB=VC=1(单位：dm)，小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积(单位：dm2)的最大值是 ．
18.椭圆E:x24+y23=1，左焦点是F，过F的直线与椭圆交于A,B两点(不同于长轴的端点)，已知点P−4,0,则下列说法中正确的是 .(写出所有正确命题的序号)
①直线PA与直线PB的斜率的和为0；②△PAF与▵PBF的面积之比为|PA||PB|;
③点A到直线x=−4的距离等于12|AF|；④S▵ABP≤92．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.已知空间向量a=x,4,1，b=−2,y,−1，c=3,−2,z，a//b，b⊥c．
(1)求向量a，b，c的坐标;
(2)求a+c与b+c夹角的余弦值．
20.如图，在四棱锥P−OABC中，PO⊥平面OABC，AB//OC，AC= 5，OP=OC=2，OA=AB=1，E为PC中点，F在棱PB上.
(1)求证：平面OPC⊥平面OPA；
(2)求B到平面OAE的距离；
(3)F在平面OAE内，求线段PF的长．
21.已知圆C的半径为3，圆心C在射线y=−2xx≥0上，直线x+y−1=0被圆C截得的弦长为3 2.
(1)求圆C方程;
(2)过点P(2,0)的直线l与圆C交于M、N两点，且▵OMN的面积是6(O为坐标原点)，求直线l的方程．
22.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B,|AB|= 5，且焦距为2 3．
(1)求椭圆E的方程和离心率；
(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于C,D两点，设直线CD,BC,BD的斜率分别为k,k1,k2，若k1+k2=−3，求k的值．
23.已知集合A中至少有三个元素，如果∃x,y,z∈A，同时满足①x