湖南省名校联合体2025届高三下学期考前仿真模拟数学（一）试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 若 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的定义可求 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：A.
2. 复数 的模为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：利用复数除法求复数 ，再根据复数的几何意义求复数的模；
方法二：利用复数模的运算性质求复数的模.
【详解】方法一： ，
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所以 .
故选：D
方法二： .
故选：D
3. 若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式可求 即可.
【 详 解 】 由 两 角 和 的 正 切 公 式 得
.
故选：B
4. 函数 的图象可以由（ ）
A. 的图象向右平移 个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得到
B. 的图象向左平移 个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）得到
C. 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度得到
D. 的图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度得到
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可.
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【详解】对于 A：将 图象向右平移 个单位长度得到 ，
再将 各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得到 ，故 A 错误；
对于 B：将 的图象向左平移 个单位长度得到 ，
再将 各点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）得到 ，故 B 错误；
对于 C： 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得到 ，
再将 向右平移 个单位长度得到 ，故 C 正确；
对于 D： 的图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）得到 ，
再将 向左平移 个单位长度得到 ，故 D 错误.
故选：C
5. 已知直线 与圆 ： 相交于 两点，其中点 为圆心，若
，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】问题转化为圆心到直线的距离 ，结合点到直线的距离公式可求 的取值范围.
【详解】 化为 ，所以 的圆心为 ，半径为 2.
，其中 为圆心 到直线 的距离.
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
故选：B
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6. 在平行四边形 中，若 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断平行四边形 是菱形，求出 ，再根据投影向量的概念求解.
【详解】因为 ，所以 平分 ，所以平行四边形 为菱形，
如图：
由 两边平方得， ，所以 ，
所以 ，所以 在 上的投影向量为 .
故选：D
7. 已知点 在抛物线 上，记点 到 轴，到直线 的距离分别为 ，则 的
最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点 到直线 的距离为 ，利用抛物线的定义，得到 ，
即可求解.
【详解】易知抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
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设点 到直线 的距离为 ，
则 .
故选：A.
8. 如图， 三个区域有通道口两两相通，一质点从其所在的区域随机选择一个通道口进入相邻的区域，
设经过 次随机选择后质点到达 区域的概率为 ，若质点一开始在 区域，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】记质点经过 次随机选择后到达 区域的概率为 ，质点经过 次随机选择后到达 区域的概率
为 ，经过分析可得 ，整理得 ，通过构造等比数列即可求解.
【详解】记质点经过 次随机选择后到达 区域的概率为 ，
质点经过 次随机选择后到达 区域的概率为 ，
则有 ，消去 ，可得 ，
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则 ，因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
故 .
故选： .
二､多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 若函数 的定义域都为 ，且 为奇函数， 为偶函数，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是偶函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据偶函数定义判断 A，B，奇函数定义判断 C，D.
【详解】函数 的定义域都为 ，
对于 A，因为 ，所以 是偶函数，故 A 正确；
对于 B，因为 为奇函数，所以 ，则 是偶函数，故 B 正确；
对于 C，因 为偶函数，则 ，即 是偶函数，故 C 错误；
对于 D，因 ，则 为偶函数，又因为 为奇函数，则 是奇函数，故 D
正确.
故选：ABD.
10. 如图，在 中，若 为 边上的点（不包含 ），
，则（ ）
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A. 外接圆的半径为
B. 顶点 到 的最大距离为
C. 若 为 边的中点，则
D. 若 为 边的中点，则 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，根据正弦定理计算即可；对于 B，依题意可知顶点 在以 为弦长的圆弧上运动，当且
仅当 时顶点到 的距离最大；对于 C，利用面积相等即可求比值；对于 D，利用余弦定理及向
量结合基本不等式求解即可.
【详解】对于 A，设 外接圆的半径为 ，由正弦定理得， ，所以
，所以 A 错误；
对于 B，由 得，顶点 在圆弧上运动，当且仅当 时，顶点 到 的最大距离为
，所以 B 正确；
对于 C，若 为 边的中点，则 ，
所以 ，所以 ，C 正确；
对于 D，在 中，由余弦定理得 ，当且仅当 时取等号，
又 ，则 ，
因此当 时， 取得最大值 ，D 正确.
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故选：BCD.
11. 在三棱锥 中，已知 分别为 ， 的
重心，以下说法正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 若 ，则二面角 的大小为
D. 若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，由已知可证得 平面 ，进而得 ；对于 B，由已知可得 ，
进而得 平面 ；对于 C，作出二面角的平面角，利用勾股定理的逆定理可得二面角的大小为 ，
对于 D，判断出外接球的球心的位置，利用勾股定理可求得外接球的半径，即可求得外接球的表面积.
【详解】
对于 A，取 的中点为 ，连接 .
由已知得， ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B，因为 分别为 的重心，所以 ，
且 ，所以 ，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，故 B 正确；
对于 C，由 得二面角 的平面角为 ，
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因为 ，
则 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以二面角 的大小为 ，故 C 错误；
对于 D，取 的中点为 ，连接 ，由 得，三棱锥 外接球的球心 必在 的延
长线上，
设 ，外接球的半径为 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
由 得， ，
解得 ，所以外接球的半径 ，
所以外接球的表面积为 ，故 D 正确.
故选：ABD.
三､填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 高三 2 班第一组的数学期末考试成绩分别为 ，则该组成绩的中位数
与平均值之差的绝对值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】将成绩从小到大排列，根据中位数和平均值的计算方法求解即可.
【详解】将成绩从小到大排列为： ，
所以该组成绩的中位数为 ，
平均值为 ，
所以该组成绩的中位数与平均值之差的绝对值为 .
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故答案为： .
13. 已知双曲线 的半焦距为 ，过 的一个焦点 作 的一条渐近线的垂线，
垂足为 ，若 的面积为 ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由点到直线的距离公式可得 ，再由勾股定理可得 ，由三角形的面积可得 的关系，
结合离心率公式，即可得到结果.
【详解】不妨令渐近线方程为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 的面积为 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 ， ，
则离心率 .
故答案为：
14. 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，若 的图象与
的图象在 轴左侧至多有一个公共点，则 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先由函数的对称性可得 的解析式，然后将交点问题转化为方程的根，构造函数，
利用导数求解函数值域，即可得到结果.
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【详解】设点 为 上任意一点，
则其关于直线 的对称点为 ，且 在函数 的图象上，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又 的图象与 的图象在 轴左侧至多有一个公共点，
所以方程 在 上至多有一个解，
所以 在 上至多一个解，
记 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
由 的图象，易知 的取值范围为 .
故答案为：
四､解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤）
15. 在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为 （单位： ，下同），且 .
（1）若出产这样的成品圆钢 根，试估计长度在 内的圆钢根数；
（2）从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取 根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间 ，另一
根的长度在区间 内的概率（精确到 ）.
参考数据：若 ，则
.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件得到 ，即可求解；
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（2）根据条件，求出 和 的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率
公式，即可求解.
【小问 1 详解】
由已知得， ，
所以 ，
所以长度在 内的圆钢根数约为 .
【小问 2 详解】
圆钢的长度在区间 的概率为
，
圆钢的长度在区间 内的概率为
，
因此这两根圆钢其中一根的长度在区间 ，另一根的长度在区间 内的概率为
.
16. 在数列 中，已知 ，数列 为等差数列， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式：
（3）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的定义及通项公式求解；
（2）由等差数列的通项公式求解；
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（3）利用错位相减法求和.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）知， .
故 ，
设数列 的公差为 ，则 ，
所以 ；
【小问 3 详解】
，
即 ，
所以 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
17. 已知函数 .
（1）求 的图象在 处的切线方程；
（2）设 ，若 在区间 上有且只有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，得到函数在 处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；
（2）利用导数可求得函数 在区间 上的单调性，结合区间端点值通过讨论 可得 在区间上
的零点个数情况，进而求出 的取值范围．
【小问 1 详解】
函数 ，则 ，
所以 图象在 处的切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，
化简得， .
【小问 2 详解】
由已知可得 ，若 在区间 上有且只有两个零点，
则 在区间 上有且只有 1 个零点.
，
则 ，
令 ，
则 ，
因为 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上单调递增，
所以 最小值 的最大值 ，
①当 时，有 ，则 恒成立，
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则 在区间 上单调递增，
所以 ，
所以 在区间 上无零点，舍去；
②当 时， 成立，
则 在区间 上单调递减，
所以 ，
所以 在区间 上无零点，舍去；
③当 时，有 ，
又 在区间 上单调递增，
根据零点存在定理可得， ，使得 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
又 ，要使 在区间 上有且只有一个零点，
只需 ，解得 ，
又 ，所以 .
18. 在三棱锥 中， 的平分线交 于点 ，记
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所在平面为 .
（1）求直线 与 所成角的大小；
（2）设 .
（i）若 ，求点 到平面 的距离；
（ii）探究：在 内是否存在两个不同的定点 ，使得 为定值？若存在，求出该定值；若
不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）利用空间垂直关系把线面角转化为平面角 ，然后借助平面几何知识进行求解即可；
（2）（i）利用空间垂直关系先证明面面垂直，再作出点到面的距离，从而进行求解即可；
（ii）利用圆锥被一个斜平面所截，可通过空间向量的坐标运算得到椭圆方程，从而利用椭圆的焦点坐标来
找到两个定点.
【小问 1 详解】
因为 平面 ，
所以 平面 ，
所以直线 与 所成的角为 ，
因为 的平分线交 于点 ，
所以 ，
在直角三角形 中， ，
所以 ，
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所以 ，
所以 ；
所以直线 与 所成 角为 ；
【小问 2 详解】
（i）由（1）得 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面
所以平面 平面 ，过点 作 于点 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，则 的长度即为点 到平面 的距离，
所以 ，
即点 到平面 的距离为 ；
（ii）取 的中点为 的中点为 ，连接 .则 ，
由 得， ，
又 ，所以 ，
在 内过点 作 ，所以 ，
以 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示.
因为 ，所以 ，
设 ，又 ，
则 ，
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因为 ，
所以 ，
化简得， ，即 ，
所以点 在椭圆 上运动，
所以存在 ，使得
19. 已知椭圆 长轴长为 ，左、右焦点分别为 ，直线 与
交于 两点，且 面积的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 .
（i）证明： ；
（ii）若直线 经过原点，与椭圆 交于 两点，且 ，求四边形 面积的取值范
围.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据题意，当点 在短轴端点时 面积最大，再结合椭圆性质可解；
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（2）（i）设 ，联立方程组，根据根与系数的关系和 的坐标表示得证；
（ii）设 的中点为 ，因为 ，所以 ，则，从而
，再求其范围.
【小问 1 详解】
设椭圆 的半焦距为 ，
依题意得，
当点 在短轴端点时 面积最大，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
【小问 2 详解】
（i）由（1）知，椭圆 的方程可化为 ，
设 ，
由 消去 得 ，
则 ，
，
因为 ，所以 ，
整理得 ，则 ，
第 19页/共 20页
化简得， ，此时 成立，
所以 ；
（ii）设 的中点为 ，
因为 ，所以 ，
不妨设 .
又 .
由 ，得 点坐标为 ，则
所以 ，化简得 ，即 ，
所以 ，
所以四边形 面积的取值范围为 .
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