湖南省名校联合体2025届高三考前仿真模拟（一）数学试卷（解析版）

这是一份湖南省名校联合体2025届高三考前仿真模拟（一）数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了 若，则， 复数的模为， 函数的图象可以由， 已知直线与圆， 如图，在中，若为边上的点等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
2. 复数的模为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】方法一：，
所以.
故选：D
方法二：.
故选：D
3. 若，则（ ）
A. B. C. 1D. 7
【答案】B
【解析】由两角和的正切公式得.
故选：B
4. 函数的图象可以由（ ）
A. 的图象向右平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到
B. 的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到
C. 的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到
D. 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到
【答案】C
【解析】对于A：将图象向右平移个单位长度得到，
再将各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故A错误；
对于B：将的图象向左平移个单位长度得到，
再将各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，故B错误；
对于C：的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，
再将向右平移个单位长度得到，故C正确；
对于D：的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，
再将向左平移个单位长度得到，故D错误.
故选：C
5. 已知直线与圆：相交于两点，其中点为圆心，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】化为，所以的圆心为，半径为2.
，其中为圆心到直线的距离.
因为，所以，因为，所以.
故选：B
6. 在平行四边形中，若，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以平分，所以平行四边形为菱形，
如图：
由两边平方得，，所以，
所以，所以在上的投影向量为.
故选：D
7. 已知点在抛物线上，记点到轴，到直线的距离分别为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，
设点到直线的距离为，
则.

故选：A.
8. 如图，三个区域有通道口两两相通，一质点从其所在的区域随机选择一个通道口进入相邻的区域，设经过次随机选择后质点到达区域的概率为，若质点一开始在区域，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】记质点经过次随机选择后到达区域的概率为，
质点经过次随机选择后到达区域的概率为，
则有，消去，可得，
则，因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
故.
故选：.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. 是偶函数B. 是偶函数
C. 是奇函数D. 是奇函数
【答案】ABD
【解析】函数的定义域都为，
对于A，因为，所以是偶函数，故A正确；
对于B，因为为奇函数，所以，则是偶函数，故B正确；
对于C，因为偶函数，则，即是偶函数，故C错误；
对于D，因，则为偶函数，又因为为奇函数，则是奇函数，故D正确.
故选：ABD.
10. 如图，在中，若为边上的点（不包含），，则（ ）
A. 外接圆的半径为
B. 顶点到的最大距离为
C. 若为边的中点，则
D. 若为边的中点，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，设外接圆的半径为，由正弦定理得，，所以，所以A错误；
对于B，由得，顶点在圆弧上运动，当且仅当时，顶点到的最大距离为，所以B正确；
对于C，若为边的中点，则，
所以，所以，C正确；
对于D，在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号，
又，则，
因此当时，取得最大值，D正确.
故选：BCD.
11. 在三棱锥中，已知分别为，的重心，以下说法正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 若，则二面角的大小为
D. 若，则三棱锥外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，取的中点为，连接.
由已知得，，又，平面，
所以平面，又平面，所以，故A正确；
对于B，因为分别为的重心，所以，
且，所以，所以，
又平面平面，
所以平面，故B正确；
对于C，由得二面角的平面角为，
因为，
则，因为，所以，所以，
所以二面角的大小为，故C错误；
对于D，取的中点为，连接，由得，三棱锥外接球的球心必在的延长线上，
设，外接球的半径为，
在中，，则，
在中，，则，
由得，，
解得，所以外接球的半径，
所以外接球的表面积为，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 高三2班第一组的数学期末考试成绩分别为，则该组成绩的中位数与平均值之差的绝对值为__________.
【答案】1
【解析】将成绩从小到大排列为：，
所以该组成绩的中位数为，
平均值为，
所以该组成绩的中位数与平均值之差的绝对值为.
故答案为：.
13. 已知双曲线的半焦距为，过的一个焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】不妨令渐近线方程为，
所以，
所以，
因为的面积为，所以，
所以，即，即，，
则离心率.
故答案为：
14. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，若的图象与的图象在轴左侧至多有一个公共点，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】设点为上任意一点，
则其关于直线的对称点为，且在函数的图象上，
所以，解得，
所以，
又的图象与的图象在轴左侧至多有一个公共点，
所以方程在上至多有一个解，
所以在上至多一个解，
记，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
由的图象，易知的取值范围为.
故答案为：
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤）
15. 在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为（单位：，下同），且.
（1）若出产这样的成品圆钢根，试估计长度在内的圆钢根数；
（2）从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率（精确到）.
参考数据：若，则.
解：（1）由已知得，，
所以，
所以长度在内的圆钢根数约为.
（2）圆钢的长度在区间的概率为
，
圆钢的长度在区间内的概率为
，
因此这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率为.
16. 在数列中，已知，数列为等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式：
（3）求数列的前项和.
解：（1）因为，所以，
因为，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，.
故，
设数列的公差为，则，
所以；
（3），
即，
所以，
两式相减得，
所以，
所以.
17. 已知函数.
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）设，若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围.
解：（1）函数 ，则，
所以图象在处的切线斜率为，
所以切线方程为，
化简得，.
（2）由已知可得，若在区间上有且只有两个零点，
则在区间上有且只有1个零点.
，
则，
令，
则，
因为在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，
所以最小值的最大值，
①当时，有，则恒成立，
则在区间上单调递增，
所以，
所以在区间上无零点，舍去；
②当时，成立，
则在区间上单调递减，
所以，
所以在区间上无零点，舍去；
③当时，有，
又在区间上单调递增，
根据零点存在定理可得，，使得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又，要使在区间上有且只有一个零点，
只需，解得，
又，所以.
18. 在三棱锥中，的平分线交于点，记所在平面为.
（1）求直线与所成角的大小；
（2）设.
（i）若，求点到平面的距离；
（ii）探究：在内是否存在两个不同的定点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为平面，
所以平面，
所以直线与所成的角为，
因为的平分线交于点，
所以，
在直角三角形中，，
所以，
所以，
所以；
所以直线与所成角为；
（2）（i）由（1）得平面，又平面，所以，
因为平面，
所以平面，又因为平面
所以平面平面，过点作于点，
因为平面平面，平面，
所以平面，则的长度即为点到平面的距离，
所以，
即点到平面的距离为；
（ii）取的中点为的中点为，连接.则，
由得，，
又，所以，
在内过点作，所以，
以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，所以，
设，又，
则，
因为，
所以，
化简得，，即，
所以点在椭圆上运动，
所以存在，使得
19. 已知椭圆长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于两点，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若.
（i）证明：；
（ii）若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围.
解：（1）设椭圆的半焦距为，
依题意得，
当点在短轴端点时面积最大，所以，
所以，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）（i）由（1）知，椭圆的方程可化为，
设，
由消去得，
则，
，
因为，所以，
整理得，则，
化简得，，此时成立，
所以；
（ii）设的中点为，
因为，所以，
不妨设.
又.
由，得点坐标为，则
所以，化简得，即，
所以，
所以四边形面积的取值范围为.