湖南名校联考联合体2022-2023学年高一数学下学期期末联考试题（Word版附解析）

名校联考联合体2023年春季高一6月联考

数 学

时量：120分钟 满分：150分

得分：__________

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．若复数z的虚部小于0，且，则（    ）．

A． B． C． D．

2．某学校高一年级、高二年级、高三年级分别有学生800人、950人、1050人，学校为了调研学情，用分层抽样的方法从中抽取56人，则高三年级应该抽取的人数为（    ）．

A．21 B．19 C．16 D．18

3．已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（    ）．

A．  B．

C．  D．

4．令圆锥的底面半径为r，母线长为l，若，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ）．

A． B． C． D．

5．在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（    ）．

A． B． C． D．

6．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”．如图“圆罂测雨”法是下雨时用一个由上下两个等高的圆台吻合而成的圆罂器皿收集雨水，已知数据如图（注：1尺＝10寸），平地的降雨量的近似值是（    ）．

注意：，

A．6寸 B．9寸 C．12寸 D．18寸

7．在三角形中，若D，E分别为边，上的点，且，，与交于点O，则以下结论错误的是（    ）．

A．  B．

C．  D．

8．一个电路如图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ）．

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．若复数z满足：，则（    ）．

A．z的实部为0  B．z的虚部为任意一个实数

C．  D．

10．铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（    ）．

A．铁棍的长度的极差为   B．铁棍的长度的众数为

C．铁棍的长度的中位数为   D．铁棍的长度的第80百分位数为

11．在三角形中，令，，若，，，，则（    ）．

A．，的夹角为 B．，

C．  D．三角形的边上的中线长为

12．在长方体中，已知，，P，Q分别为，的中点，S为棱的三等分点，，过P，Q，S三点作一个平面与，，分别交于点R，M，N，即得到一个截面，则（    ）．

A．         B．

C．与平面所成的角的正切值为      D．点A到截面的距离为1

选择题答题卡

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某大学天文台随机调查了该校100位天文爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图，则估计该校100名天文爱好者的平均岁数为__________．

14．若，，则在上投影向量的坐标为__________．

15．从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数为a，b，则的概率为__________．

16．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在复平面内，已知对应的复数，对应的复数．

 （1）判断：是否成立？并说明理由；

（2）若对应的复数为z，且，求点P所在区域的面积．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，E，F分别为，的中点，连接，．

（1）证明：当点G为上一点，且不与点P、点C重合时，平面；

（2）证明：当时，．

19．（本小题满分12分）

某公司最近10年的盈利依次记为，，…，（单位：万元），，分别表示平均值与方差．

（1）若，，，求，的值；

（2）若，，求的平均值．

20．（本小题满分12分）

在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c．

（1）若，，，求的周长；

（2）若点D是边上一点，且，，，求的长．

21．（本小题满分12分）

在正六棱柱中，底面棱长为2，高为，P，Q分别为，的中点，连接，，，．

（1）求，所成角的余弦值；

（2）过点B作直线，设点R为直线l上一点，记平面与平面所成角为，求的取值范围．

22．（本小题满分12分）

某学校组织人工智能知识竞赛，在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的4个问题中随机抽取3题作答，每答对1题得20分，答错得0分；第二轮从B类分值分别为10，20，30的3个问题中随机抽取2题作答，每答对1题该题得满分，答错得0分．若两轮总积分不低于90分则晋级复赛．甲、乙同时参赛，在A类的4个问题中，甲每个问题答对的概率为，乙只能答对3个问题；在B类3个分值分别为10，20，30的问题中，甲答对的概率分别为1，，，乙答对的概率分别为，，．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．

（1）分别求甲、乙在第一轮得最高分的概率；

（2）谁晋级复赛的概率更大？请说明理由．

名校联考联合体2023年春季高一6月联考

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．B

【解析】因为，所以，

又复数z的虚部小于0，所以，所以．

2．A

【解析】高三年级应该抽取的人数为．

3．A

【解析】A．设，所以，

整理得，，

因为是空间的一个基底，所以，无解．

所以，与构成一个基底．

B．因为，所以，所以排除B；

C．因为，所以，所以排除C；

D．设，所以，

整理得，，

因为是空间的一个基底，所以，所以，

所以，与不构成一个基底，排除D．

4．C   【解析】圆锥的侧面展开图的圆心角为．

5．B

【解析】设正方体的棱长为4，直线与平面所成的角为，

以，，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

平面的法向量为，，

所以．

6．D

【解析】如图所示，可以计算得雨水平面的半径为9.75寸，

所以平地的降雨量

．

7．C

【解析】显然，所以，所以A正确；

过点E作，交于点F，则，，

因为，所以，即，

所以，所以B正确；

再验证D是否正确：因为，

所以

，

所以D正确，

进一步验证得，，所以C错误．

8．A

【解析】电路由上到下有2个分支并联，

开关A，B所在的分支不通电的概率为，

开关C，D所在的分支不通电的概率为，

所以灯亮的概率为．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．AC

【解析】设，

因为，所以，

化简得，，

所以，所以，．所以选AC．

10．ABC

【解析】铁棍的长度从小到大排列依次为3.61，3.62，3.62．3.62，3.63，3.63，3.64，3.65（单位：cm），

对于A：极差为，故A正确；

对于B：众数为3.62，故B正确；

对于C：中位数为，故C正确；

对于D：因为％＝6.4，所以铁棍的长度的第80百分位数为从小到大排列的第7个数，是3.64，所以D不正确．所以选ABC．

11．ABD

【解析】A．设，的夹角为，则，所以，所以A正确；

B．因为，，所以，，所以B正确；

C．令，则，

因为，不共线，所以，这样的不存在，所以C不正确；

D．设D为的中点，则，

所以，所以D正确．所以选ABD．

12．ABC

【解析】在长方体中，

因为平面平面，

平面平面，平面平面，

所以，所以A正确；

根据点P与点Q和点M与点S分别关于平面对称，

直接得，所以B正确；

延长与的延长线交于E，再连接，与交点为N，同理确定R．

因为，所以，

因为，，所以，

因为，点P为的中点，所以，

同理得，，，所以，

又，所以与平面所成的角的正切值为，所以C正确；

取的中点为G，连接，，过A作于点H，

因为，所以，

又，，所以平面，

所以平面平面，所以平面，

经过计算得，，所以，所以D不正确．所以选ABC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．21.4

【解析】估计该校100名天文爱好者的平均岁数为．

14．

【解析】设向量，的夹角为，

则在上投影向量的坐标为．

l5．

【解析】可能取出的6组数分别为1，3；1，5；1，7；3，5；3，7；5，7，

其中只有1，3；1，5；1，7满足，

所以的概率为．

16．

【解析】在长方体中，设长、宽、高分别为x，y，z，

令，，，解得，，

所以外接球的体积为，

三棱锥的体积为，

所以，三棱锥的外接球与三棱锥的依积之比为．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】（1）因为，所以，（1分）

，（2分）

所以，，（3分）

因为，

所以不成立，（5分）

（2）因为，所以对应的复数为，（6分）

因为，所以，（8分）

所以点P所在区域的面积为．（10分）

18．【解析】（1）因为E，F分别为，的中点，所以，（2分）

因为平面，平面，（4分）

所以平面．（6分）

（2）因为，E为的中点，所以，（8分）

因为，，所以平面，（10分）

因为平面，所以．（12分）

19．【解析】（1），（3分）

．（6分）

（2）因为

，

即，所以，（10分）

因为，，所以，

所以的平均值为81.5．（12分）

20．【解析】（1）因为，，

所以

．（2分）

因为，所以，（4分）

所以．（6分）

（2）设，在三角形与三角形中分别使用余弦定理得，

，，（8分）

即，①

，②

①×2＋②得，，（10分）

因为，所以，解得，

即的长为1．（12分）

21．【解析】（1）连接，以点F为空间坐标系的原点，

向量，，分别为x，y，z轴建立空间坐标系．

由已知得，，，，，（1分）

所以，，（2分）

所以．（3分）

（2）连接，取的中点为S，连接．

由正六棱柱的几何性质得，，，

又，所以平面，

因为平面，所以平面平面，（4分）

因为平面，S为的中点，所以，

因为平面平面，所以平面，

即为平面的法向量．（5分）

又，，所以，

因为，所以．

因为，

所以，

，（6分）

设平面的法向量为，

所以，所以，

不妨设，（7分）

所以，（8分）

令，

①当，即时，；（9分）

②当且时，，

因为，所以，

所以，

当且仅当时，；（11分）

③当，即时，平面与平面（即平面）所成角，

所以此时，

综上所述，可得．（12分）

22．【解析】（1）在A类的4个问题中，甲每个问题答对的概率为，

所以甲在第一轮得最高分（即60分）的概率为，（2分）

在A类的4个问题中，乙只能答对3个问题，

设这4个问题分别为a，b，c，d，乙只会回答其中的a，b，c，

从中随机选三个问题所得的4个样本点为：a，b，c；a，b，d；a，c，d；b，c，d，

得60分的一个样本点为a，b，c，所以乙在第一轮得最高分（即60分）的概率为．（4分）

（2）甲在第一轮的得分可能为0，20，40，60，乙在第一轮的得分可能为40，60．（5分）

把甲在第一轮选择的3个问题分别记为e，f，g，答对分别记为E，F，G，

所以甲在第一轮得40分的概率为

，

甲在第一轮得60分的概率为，（7分）

甲在第二轮得分分类如下：

选10分和20分的题所得分数为10分和30分，

选10分和30分的题所得分数为10分和40分，

选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，

所以甲两轮的总积分不低于90分的概率为

．（分）

由（1）得，乙在第一轮得40分的概率为，乙在第一轮得60分的概率为，

乙在第二轮得分分类如下：

选10分和20分的题所得分数为О分、10分、20分和30分，

选10分和30分的题所得分数为0分、10分、30分和40分，

选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，

所以乙两轮的总积分不低于90分的概率为

．（11分）

因为，所以乙晋级复赛的概率更大．（12分）