河南省洛阳市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份河南省洛阳市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共23页。

2．试题卷上不要答题，请用0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的绝对值是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
解析：解：，
的绝对值是3，
故选：A．
2. 天地正清明，最美四月天．2024年清明假期，河南省文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．三天假期，河南省接待国内游客1906.9万人次，旅游总收入112.5亿元．与2023年同期相比，接待人次增长9.9%，旅游总收入增长20.6%．数据“112.5亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：数据亿用科学记数法可表示为：，
故选：D．
3. 我国古代数学家刘徽利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：由几何体可得，从左边看到的平面图形为，
故选：．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：A.，运算错误，不符合题意；
B.， 运算错误，不符合题意；
C.运算正确，符合题意；
D.运算错误，不符合题意．
故选：C．
5. 如图，已知，于点F，平分，若， 则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：设与相交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
6. 关于x的方程有两个不相等的实数根，m的值可以是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
解析：解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故的值可以为，
故选：A．
7. 如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵与所对的弧都是，
∴．
故选：D．
8. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：龙门石窟、洛邑古城、龙门海洋馆、洛阳博物馆．为了解学生想法，校方进行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择洛邑古城的有 360人，那么选择龙门石窟的有（ ）
A. 120人B. 240人C. 360人D. 480人
【答案】B
解析：解：学生总数为：（人），
选择龙门石窟的人数为：（人），
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D. (7， 0)
【答案】A
详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵C是斜边的中点，
∴，
∵，
∴在中，，
由平移的性质可得，，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ）

A. 6B. C. D.
【答案】C
解析：连接，

∵四边形是正方形，是其对角线，
∴，
又，
∴，
∴，
，
连接交于点，
（三角形两边之和大于第三边）．
当点P运动到时，
，
解得，
．
连接，则．
在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____ （写出 一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
解析：解：∵一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 不等式组的解集为__________．
【答案】
解析：解：，
由①得，，
由②得，，
故不等式组的解集为．
故答案为：．
13. 人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是_______．
【答案】##
解析：解：一对夫妇的第一个孩子有女孩和男孩两种情况，
所以一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，以点A为圆心，边的长为半径作交边于点 E，以边 为直径作半圆交边于点 D，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
解析：∵，
∴，
∴
，
∴
．
故答案为：．
15. 在中，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为_________．
【答案】或
解析：解：当，且点在上方时，如图所示，
过点作的垂线，垂足为，
∵，且，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
在中，．
当，且点在下方时，如图所示，
过点作的垂线，垂足为，
∵，且，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
在中，
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
解析：解：（1）
；
（2）
．
17. 某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为310元，370元，580元．洛洛打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
（1）洛洛已经对A，C型号汽车数据统计如表，请继续求出B型号汽车行驶里程的平均数、中位数和众数；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的租车建议．
【答案】（1）平均数是；中位数为；众数为
（2）选择型号汽车
（1）
解：型号汽车行驶里程的平均数是：，
把这20个数据按从小到大的顺序排列，第10，11个数据均为，所以中位数为；
出现了六次，次数最多，所以众数为；
（2）
选择型号汽车，理由如下：
型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；
型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车．
18. 如图，四边形的顶点B，C在x轴上，顶点D在y轴上，，顶点A的坐标为，顶点B的横坐标．双曲线经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
（3）上问中所作的角平分线与x轴交于点E，若点C的坐标为，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）反比例函数的解析式为
（2）见详解 （3）见详解
（1）
解：将点代入双曲线，
得，，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）
（3）
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是菱形．
19. 随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
（1）当购物金额为90元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择超市 （填“A”或“B”）更省钱；
（2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：优惠率=购物金额-实付金额）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
【答案】（1）
（2）当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱
（3）在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大
（1）
解：当购物金额为90元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额90元，
∵，
∴当购物金额为90元时，选择超市更省钱；当购物金额为120元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额(元)，
，
∴当购物金额为120元时，选择超市更省钱．
故答案为：．
（2）
当时，在超市购物实付金额；
当时，在超市购物实付金额；
当时，在超市购物实付金额；
∴在超市购物实付金额，
当时，；
当时：；
当时：
若，解得；
若，解得；
若，解得．
综上，当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱．
（3）
在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
举例说明如下：
当在超市购物金额为100元时，返40元，
实付金额为(元)，优惠率为；
当在超市购物金额为160元时，返40元，
实付金额为(元)，优惠率为，
∴在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
20. 风是一种可再生能．利用风能进行发电既可以提供持续的电力供应，又可以减少温室气体排放，抑制全球气候变暖，还可以增加能供应的多样性，降低对传统能的依赖．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶， ， 两两所成的角为 ，当其中一片风叶与塔干 叠合时，在与塔底 O 水平距离为 米的 E 处，测得塔顶部 A 的仰角． ，风叶 的视角 ，求风叶 的长度（结果精确到．参考数据：）
【答案】风叶的长度约为
解析：如图，自点B作，垂足为点F，过点A作，垂足为点G．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
由已知，
∴，
在中，．
∵，
∴，
又，则，
∴，则．
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
∴．
答：风叶的长度约为．
21. “急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小．
【答案】（1）
（2）
（1）
解：由题意得，抛物线的顶点坐标为：．
∴该运动员竖直高度的最大值为米．
设函数关系式为：．
∵经过点，
∴，
解得：．
∴函数解析式为：．
（2）
取．
第一次训练时，．
解得：(不合题意，舍去)，．
∴．
第二次训练时，．
解得：(不合题意，舍去)，．
，
，
．
22. 如图1，⊙O与直线l相离，过圆心O作直线l的垂线，垂足为P，且交于两点（M在之间）．我们把点N称为关于直线l的“远望点”，把的值称为关于直线l的“远望数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，过点E画垂直于x轴的直线a，则半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是________，关于直线a的“远望数”为________；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C坐标为，以点C为圆心、长为半径作．若与直线相离，点O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是求直线的函数表达式．
【答案】（1）
（2）直线的函数表达式为
（1）
根据“远望点”定义，可得半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是，
∴关于直线a的“远望数”为，
故答案为：
（2）
设直线的解析式为
连接并延长，交于H，交直线于点G，过C作轴于点D，设

∵点C坐标为，
∵O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是，
即
∵点C坐标为，轴于点D，
∴
即
同理得
即，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为
23. 综合与实践课上，老师让同学们用“木工尺”探究三等分任意角 的方法．如图1为“木工尺”示意图，它是由两条宽度相同且互相垂直的直尺组成的，其中．下面是同学们的探究过程，请仔细阅读，并完成相应的任务，
【操作实践】
如图2，小明画的平行线，使得与的距离等于尺宽，在上取点E，使等于尺宽，调整“木工尺”的位置，使得经过点O，点D落在上，点E落在上， 则 三等分
小明过点 D 作，垂足为点 F，
由题意得：，
∴（ ）．
∵ ，
∴垂直平分，
∴，
∴平分（ ），
∴．
∴．
∴三等分．
任务：（1）请在括号内填写推理的依据．
【类比迁移】
爱动脑筋的小华受到上述方法的启发，想到了通过折叠矩形纸片三等分一个已知角的方法，他的前两个操作步骤如下 （如图 3）：
步骤 1：在矩形纸片 上折出任意角，将矩形对折， 折痕记为， 再将矩形对折， 折痕记为， 展开矩形；
步骤 2：将矩形 沿着 折叠， 使得点 B 的对应点落在 上， 点 M 的对应点 落在上．
任务：（2）连接， 试证明是的一条三等分线．
【拓展应用】（3）在上述小华折叠的条件下，若 ，且 三点共线，请直接写出的长．
【答案】【1】到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；垂直平分线的性质
【2】见解析
【3】
解析：（1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；根据垂直平分线的性质．
故答案为：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；垂直平分线的性质
（2）连接，过点B作于点J，过点作于点K，
根据折叠的性质，得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
故是的一条三等分线．
（3）过点作于点T，
根据(2)证明，得到，
∵，且 三点共线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴， ，
∴．型号
平均里程（）
中位数（）
众数（）
A
199
195
C
227
225
225
A超市
B超市
优惠方案
所有商品按七五折出售
购物金额每满100元返40元
水平距离
0
2

3

4
竖直高度
0