（数论问题专项讲义）专题8+++带余除法-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
2、一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r。
当r=0时，我们称a能被b整除
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．
3、对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法。
【典例一】有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有 个．
A．13B．19C．61D．121
【分析】2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1，再找到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解．
【解答】解：2、3、4三个数的最小公倍数是，
，13不满足5个5个地数却少4个；
，25不满足5个5个的数却少4个；
，37不满足5个5个的数却少4个；
，49不满足5个5个的数却少4个；
，61满足5个5个的数却少4个．
答：这堆苹果最少有61个．
故选：．
【点评】此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．
【典例二】某小学四、五、六年级学生是星期六下午参加劳动，其中一个班学生留下来打扫环境卫生，一部分学生到建筑工地搬砖，其余的学生到校办工厂劳动，到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍．各个班级参加劳动人数如下表．留下来打扫卫生的是 班．
【分析】根据“到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动的人数的2倍”，可得到这两个地方去的10个班的学生数之和应是3的倍数个班的学生总数是584人，而584除以3余2，因此留下来打扫卫生的这个班的学生人数应除以3余2，而各班人数中只有53除以3余2，故留下来打扫卫生的是五（4）班．
【解答】解：人，
，
各班人数中，只有53除以3余数是2，所以留下来打扫卫生的是五（4）班．
故答案为：五（4）．
【点评】本题主要考查带余的除法问题，根据到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍，可知这些人数的和是3的倍数是解答本题的关键．
【典例三】两个数相除商9余4，如果被除数、除数都扩大到原来的3倍．那么被除数、除数、商、余数之和等于2583．原来的被除数和除数各是多少？
【分析】当被除数和除数扩大3倍的时候，余数也会扩大3倍，只有商不会变，所以根据被除数、除数、商和余数的和是2583，求出现在的被除数和除数，再除以3即可解答．
【解答】解：当被除数和除数扩大到原来的3倍时，余数也会扩大3倍，商不变．
因此商还是9，余数就变成了．所以，被除数除数．
所以，被除数除数商余数除数除数
整理可以知道：除数
所以被除数是．
所以原来的被除数是，除数是．
答：原来的被除数是769，除数是85．
【点评】被除数和除数扩大3倍的时候，余数也会扩大3倍，只有商不会变，由此求出现在的被除数、除数是解答此题的关键．
一．选择题（共3小题）
1．某民兵连在操场上列队，只知道人数在90到110人之间，且这些人排成3列无余数，排成5列不足2人，排成7列不足4人，则共有民兵 人．
A．108B．102C．107D．109
【分析】解答此题，首先把问题转化成带余除法算式，排成3列无余数，可以得出该整数为3的倍数，故排除选项、选项．排成5列不足2人，可以得出该整数被5整除余3，排成7列不足4人，可以得出该整数被7整除余3；故排除选项．故选．
【解答】解：，；；；，；108人排成3列无余数，排成5列不足2人，排成7列不足4人，答案为108．
故选：。
【点评】解答带余除法问题，一定要分清除数、被除数、余数之间的关系，否则易混淆余数，导致错误答案．
2．有四个自然数、、、，它们的和不超过400，并且除以商是5余5，除以商是6余6，除以商是7余7。那么，这四个自然数的和是
A．216B．108C．314D．348
【分析】根据与、、三个数的关系有：，，，得出：，所以为5、6、7的公倍数，因为5、6、7的最小公倍数为210，根据题意可知，它们的和不超过400，所以，进而求出另外三个数的值，求其和即可。
【解答】解：根据题意：
，，
所以为5、6、7的公倍数，因为5、6、7的最小公倍数为210，
因为它们的和不超过400，所以
所以：
这四个自然数的和是。
故选：。
【点评】本题主要考查带余除法的应用，关键是根据与其它三个数的关系，找到符合题意的的值。
3．某为自然数，被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7，已知，请问这样的数有几个？
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据题意，把“被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7”转化为：每10个分一份，少1；每9个分一份，少1；每8个分一份，少1；每7个分一份，少1．所以求10、9、8、7的公倍数在之间的数少1，即可．
【解答】解：10、9、8的最小公倍数是360，在之间的倍数有：360，720，
所以这个数可能是：359，719．
这样的数有2个．
故选：．
【点评】本题主要考查带余除法，关键是把除以一个数余几，转化为少多少，再解答．
二．填空题（共13小题）
4．一个数除以2余1，它的商除以5余4，再用得到的商除以6余1，那么原来这个数除以60余 19 ．
【分析】设这个整数为，因为它除以2余1，所以设，又除以5余4，所以设，又除以6余1，设，所以所以所以这个整数除以60，商为，余数是19．
【解答】解：设这个整数为，由题意可知，它除以2余1，
所以设；
又除以5余4，所以设；
又除以6余1，所以设；
即；
所以；
所以这个整数除以60，商为，余数是19．
故答案为：19．
【点评】完成本题要细心分析所给条件，一步一步认真推理出结论．
5．把这2005个自然数依次写下来得到一个多位数，这个多位数除以9的余数是 1 。
【分析】分析题意，首先明确：各位数字之和能被9整除的数一定能被9整除；设相邻9个数中的第一个数为，则其他数分别为，，一直到，再分析可知每相邻9个数之和必可被9整除；接下来用2005除以9，确定余数只能由后面7个数即1999，2000，2001，，2005组成的数决定；然后求出后面7个数的和，再除以9，求出余数即可。
【解答】解：根据题意和分析可得：
设相邻9个数中的第一个数为，则其他数分别为，，一直到，
所以能被9整除，
每相邻9个数之和必可被9整除。
余数只能由后面7个数即1999，2000，2001，，2005组成的数决定。
答：这个多位数除以9的余数是1。
故答案为：1。
【点评】解题关键：一个自然数除以9的余数等于这个自然数的各个数位上的数字之和除以9的余数。
6．某小学四、五、六年级学生是星期六下午参加劳动，其中一个班学生留下来打扫环境卫生，一部分学生到建筑工地搬砖，其余的学生到校办工厂劳动，到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍．各个班级参加劳动人数如下表．留下来打扫卫生的是 五（4） 班．
【分析】根据“到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动的人数的2倍”，可得到这两个地方去的10个班的学生数之和应是3的倍数个班的学生总数是584人，而584除以3余2，因此留下来打扫卫生的这个班的学生人数应除以3余2，而各班人数中只有53除以3余2，故留下来打扫卫生的是五（4）班．
【解答】解：人，
，
各班人数中，只有53除以3余数是2，所以留下来打扫卫生的是五（4）班．
故答案为：五（4）．
【点评】本题主要考查带余的除法问题，根据到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍，可知这些人数的和是3的倍数是解答本题的关键．
7．一个数去除69、90、125，所得的余数都相同，这个数是 7 ，余数是 ．
【分析】假设这个数是，余数是，除69的商是，除90的商是，除125的商是，根据余数的性质，被除数等于商乘除数加余数，列出等式，5个未知数，三个等式，解方程找不到唯一的解，可以这样：采取，，，把21、56和35分解质因数，它们的共有质因数就是，把代回原来的三个式子之一，即可得解．
【解答】解：假设这个数是，余数是，除69的商是，除90的商是，除125的商是，则有：
，
，
，
以上三式左边减左边就等于右边减右边，得：，，；
把21、56、35分解质因数：，
，
，
所以，，
把代入，，；
所以；
答：一个数去除69、90、125，所得的余数都相同，这个数是 7，余数是 6．
故答案为：7，6．
【点评】灵活应用分解质因数，找到三个数的差的共有质因数，即为除数，是解决此题的突破口．
8．有一列数，前两个数是3和4，从第3个数起每个数是前两个数的和，这一列数中第2007个数除以4余 3 。
【分析】根据前两个数是3与4，从第3个数起每一个数都是前两个数的和，这一列数可以写成：3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521，，观察它们除以4的余数为：3，0，3，3，2，1，3，0，3，3，2，，6位重复一次，用2007除以6，看余数是几，就和第几位上的余数相同，据此解答即可。
【解答】解：这一列数可以写成：3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521，，
它们除以4的余数为：3，0，3，3，2，1，3，0，3，3，2，，
所以这一列数中第2007个数除以4余3。
答：这一列数中第2007个数除以4余3。
故答案为：3。
【点评】本题主要考查数列中的规律和有余数的除法，找出余数出现的规律是解答本题的关键。
9．正整数使得除以19的余数是6，那么除以19的余数是 5或14 ．
【分析】将展开，其中一定能被19整除，也一定能被19整除，剩下除以19的余数是6，此时或14，据此解答即可．
【解答】解：
能被19整除，也能被19整除，所以除以19的余数是6，
，，
所以，5除以19的余数是5，
，，
所以，14除以19的余数是14，
故答案为：5或14．
【点评】本题主要考查带余除法与整除的性质，找到能被19整除的数的特征是解答本题的关键．
10．一筐苹果，如果每10个一堆剩8个，如果每15个一堆剩13个，如果每17个一堆剩16个，则这筐苹果至少有 118 个．
【分析】本题我们可假设这筐苹果加上两个，那么每10个一堆或每15个一堆都正好分完没有剩余，即这筐苹果的个数比10与15的公倍数少2，再参照每17个一堆剩16个这一条件即可解答．
【解答】解：因为如果每10个一堆剩8个，如果每15个一堆剩13个，
所以这筐苹果的个数比10与15的公倍数少2，即可能为28，58，88，，
当为28时，，不符合题意，
当为58时，，不符合题意，
当为88时，，不符合题意，
当为118时，，符合题意，
即这筐苹果至少有118个．
故答案为：118．
【点评】本题主要考查有余数的除法问题，将问题转化为有关公倍数的问题是解答本题的关键．
11．有一个贪财的钱主，到了给长工们发工钱的时候，他对长工们说：“你们的工一共是170两银子，60个长工平均分．17除以6等于2余5，所以每人得到2两银子，还余5两．我用这5两银子给你们买了点生活用品，大家分一分吧．”同学们，你觉得地主说得对吗？如果不对，请说明理由． 是由的被除数、除数都除以10得到的，计算余数时要乘10，即每人得到2两银子，还余50两．
【分析】商不变的规律是：被除数、除数都乘或除以同一个数除外）商不变，并不是说余数不变．把170两银子平均分成60个长工，，可以根据商不变的规律，被除数、除数都除以10再除，商变．单从算（两（两，17、60是同时除以10得到的，计算余数时，余数要乘10才是商2的余数，即余50两．
【解答】解：这种说法错误
理由：是由的被除数、除数都除以10得到的，计算余数时要乘10，即每人得到2两银子，还余50两．
【点评】此题主要是考查商不变规律，被除数、除数都乘或除以同一个数除外）商不变，余数要乘或除以这个数．
12．有一个自然数，除以3余2，除以5余4，则这个自然数除以15余 14 ．
【分析】利用带余数的除法运算性质，将这个数看成，为可以被15整除的部分，则为除以15的余数，得出可以被3或5整除，再结合已知这个数除以3余2，除以5余4，得出也相同，归纳出符合要求的只有14．
【解答】解：将这个数看成，为可以被15整除的部分，则为除以15的余数．
可以被15整除，则也可以被3或5整除．
因为这个数“除以3余2，除以5余4”，
所以也是“除以3余2，除以5余4”，
又因为是大于等于1而小于等于14，在这个范围内，只有14是符合的．
故答案是：14．
【点评】此题主要考查了带余数的除法运算，假设出这个数，分析得出符合要求的数据．
13．若一个数最多可以有9个数位，个位可以为，十位可以为，百位可以为，千位可以为，以此类推．例如，110，100，3020．则第200个数除以2019的余数是 987 ．
【分析】首先，想一位数有2个．两位数有4个分别是10、11、20、21．三位数开始理解做题主要思路．百位假定为1，因为百位有数，所以个位和十位都可以是0，所以个位2种选择，十位3种选择．那么有种可能．百位有3种可能1、2、3．因此三位数的个数是个．其次、四位数有多少个呢？当千位是1时，有种可能．千位可能是1、2、3、4．因此有种可能．到此为止，一位数2个，两位数4个，三位数18个，四位数96个．个．最后，万位是1有种可能．求第200个数．去掉前面的120个，还剩80个，而万位是1，有120种可能．所以，本题万位必然是1．从小到大找80个数就能找到答案．万位是1，千位是0时，有24种可能．千位是1时，有24种可能．千位是2时，有24种可能．．到这里为止，再找8个数就可以了．万位是1，千位是3的数从小到大，依次是：13000、13001、13010、13011、13020、13021、13100、13101.13101是第8个．也就是所求的第200个数．余987．
【解答】解：一位数有2个．
两位数有4个分别是10、11、20、21．
三位数开始理解做题主要思路．百位假定为1，因为百位有数，所以个位和十位都可以是0，所以个位2种选择，十位3种选择．那么有种可能．百位有3种可能1、2、3．因此三位数的个数是个．
四位数：当千位是1时，有种可能．千位可能是1、2、3、4．因此有种可能．到此为止，一位数2个，两位数4个，三位数18个，四位数96个．个．
五位数：万位是1有种可能．求第200个数．去掉前面的120个，还剩80个，而万位是1，有120种可能．
所以，万位必然是1．从小到大找80个数即可．
万位是1，千位是0时，有24种可能．
千位是1时，有24种可能．
千位是2时，有24种可能．
．
万位是1，千位是3的数从小到大，依次是：13000、13001、13010、13011、13020、13021、13100、13101．
13101是第8个，也就是所求的第200个数．
．
答：第200个数除以2019的余数是 987．
故答案为：987．
【点评】本题主要考查带余除法，关键利用列举法求出第200个数是多少．
14．一个自然数除以7，8，9分别余1，2，3，而所得的三个商的和是570。这个自然数是 1506 。
【分析】被7，8，9分别余1，2，3，可以发现如果这个数加上6，也就没有余数了，所以，这个数是7、8、9公倍数少6，7、8、9的公倍数为504，我们可以假设这个数为，根据三个商的和为570列出方程求解即可。
【解答】解：被7，8，9分别余1，2，3，可以发现如果这个数加上6，也就没有余数了，
所以，这个数是7、8、9公倍数少6，而7、8、9的公倍数为504，
设这个数为，根据商的和为570，列出方程：
所以，这个数为：
故答案为：1506。
【点评】本题主要考查了倍数问题，发现这个数与7、8、9公倍数之间的关系，是本题解题的关键。
15．已知，那么的余数是 3 ．
【分析】根据“弃九法”直接简算即可．
【解答】解：6143去掉数字，剩下的数字和是，
728去掉数字，剩下的数字是8，
5减8不够减，所以，
所以的余数就是6；
同理，22472去掉数字，剩下的数字和是，所以的余数就是8；
所以，
所以，的余数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了利用“弃九法”求余数的问题，一个数除以9的余数，等于数字和除以9的余数．
16．的和除以7的余数是 6 。
【分析】，则其和为，则的余数为4，的余数为5，根据余数的可乘性，积的余数等于余数的积。则。
【解答】解：
的余数为4，的余数为5，
故的和除以7的余数是6。
故答案为：6。
【点评】本题考查带余除法，根据余数的可乘性，积的余数等于余数的积。
三．解答题（共6小题）
17．著名的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，从第三项开始每一项是前两项的和。此数列的第2008项除以8的余数是多少？
【分析】数列的规律是：从第三项开始，每一项是前两项的和，因此由余数的性质：两数的和除以的余数等于这两数分别除以的余数的和再除以的余数。可以写出余数的规律是：1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，它的循环周期是：1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，即12个数一个周期，由此用2008除以12看余数对应的循环周期中的第几个数即可。
【解答】解：，在循环数中第4个数对应的是3，因此第2008项除以8的余数是3。
答：此数列的第2008项除以8的余数是3。
【点评】解答此题的关键是，根据两数的和除以的余数等于这两数分别除以的余数的和再除以的余数，得出此数列除以8的余数的循环周期，由此得出答案。
18．给出一列数，，，，为正整数），这2015个数的和除以14的余数是多少？
【分析】因为一列数为，，，，为正整数），这2015个数的和为，而，所以最终的余数即是除以14的余数，计算即可。
【解答】解：
答：这2015个数的和除以14的余数是5。
【点评】本题考查带余除法，本题关键是化简2015个数的和，然后分开讨论与14的商找到突破口。
19．若某数被2009除，余数是1234．若该数的两倍被2009除，余数是多少？
【分析】根据在有余数的除法里，除数不变，被除数缩小（或都扩大）相同的倍数，商和余数都随之缩小（或扩大）相同的倍数”；由此解答即可．
【解答】解：若某数被2009除，余数是1234．
若该数的两倍被2009除，则商是原来的2倍，余数也是原来的2倍，即余数是，因为余数总比除数小，所以余数为：；
答：余数是459．
【点评】明确在有余数的除法里，除数不变，被除数缩小（或都扩大）相同的倍数，商和余数都随之缩小（或扩大）相同的倍数；是解答此题的关键．
20．小青有一瓶巧克力，7粒一数还少3粒，5粒一数又多2粒，3粒一数正好，这瓶巧克力至少有多少粒？
【分析】把“5粒一数又多2粒，”看作“5粒一数还少3粒，”这样就相当于求7、5、3的最小公倍数减去3；7、5、3的最小公倍数是：，那么这瓶巧克力至少有粒，据此解答．
【解答】解：根据分析可得：
，
，
（粒；
答：这瓶巧克力至少有102粒．
【点评】本题实际考查了中国剩余定理，关键是统一缺少的粒数即把“5粒一数又多2粒，”看作“5粒一数还少3粒，”，然后在求最小公倍数的基础上，求出最少数．
21．两个整数相除，商是4，余数是15，被除数、除数、商、余数之和等于129．请写出这个带有余数的除法算式．
【分析】设除数为，根据“被除数商除数余数”求出被除数为，进而根据被除数、除数、商、余数的和是129，列出方程，解答求出除数，进而根据“被除数商除数余数”求出被除数，然后写出这个带有余数的除法算式即可．
【解答】解：设除数为，则被除数为：，根据题意得：




被除数：
算式是：
答：这个带有余数的除法算式是．
【点评】解答此题的关键是：设出除数为未知数，进而根据被除数商除数余数”用字母表示出被除数，进而找出数量间的相等关系式，列出方程，求出除数，继而求出被除数．
22．同学们用气球装饰庆六一舞台，要求气球的个数无论扎成2个一组、4个一组或7个一组，必须剩2个，总数不能超过100个．气球的个数可能是多少个？
【分析】由题意可知，扎成2个一组、4个一组或7个一组，必须剩2个，则这个数是4和7的公倍数加2，然后找出100以内的所有数，即可得解．
【解答】解：4是2的倍数，4、7互质，
所以4和7的最小公倍数是
（个
（个
（个
答：气球的个数可能是30、58或86个．
【点评】此题解答的关键是通过题意，进行分析，得出实际上是求这三个数的最小公倍数，用求最小公倍数的方法即可得出．班级
四（1）
四（2）
四（3）
四（4）
五（1）
五（2）
五（3）
五（4）
六（1）
六（2）
六（3）
人数
55
54
57
55
54
51
54
53
51
52
48
班级
四（1）
四（2）
四（3）
四（4）
五（1）
五（2）
五（3）
五（4）
六（1）
六（2）
六（3）
人数
55
54
57
55
54
51
54
53
51
52
48