（数论问题专项讲义）专题7++数的整除特征-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数。
2、数的整除特征。
（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除．
（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除．
（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．
（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．
（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．
（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．
【典例一】计算、四个同学给出了四个不同的答案，只有一个正确，一个同学利用学过的一些数的倍数的特征很快找到了它，它是
A．632254965B．632244965C．632234965D．632213965
【分析】等式左边55779是3的倍数，那么的积也应该是3的倍数；据此选择即可。
【解答】解：632254965是3的倍数，
632244965不是3的倍数，
632234965不是3的倍数，
632213965不是3的倍数，
所以只有632254965是正确的。
故选：。
【点评】解答此题通过发现55779是3的倍数，根据能被3整除的特征判断。
【典例二】试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除？如果回答是“能”，则只要举出一种排法；如果回答是“不能”，则需给出说明。
【分析】根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数，所以不能。
【解答】解：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，
按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，
其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数。
从而一共会有不少于40个数是3的倍数。但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数；
导致矛盾，所以不能。
答：不能。
【点评】此题主要考查的是在1至100的100个自然数中能被3整除的有多少。
【典例三】从自然数1，2，3，，2015中，取出个数，所取的数中任意三个数之和能被15整除。求的最大值。
【分析】设、、、是所取出的任意四个数。由题意有，，其中，、为正整数。所以，，上式表明，所取出的数中任意两数之差是15的倍数，即所取的每个数除以15所得的余数相同。设这个余数为。于是，，。其中，、、是整数，，则因为能被15整除，所以，能被15整除，即能被5整除。因此，，5或10。当时，可取15，共134个数，符合题意；当时，可取5、20，共135个数，符合题意；当时，可取10，25，、2005共134个数，符合题意。综上可知，最大值是135。
【解答】解：经分析可知：
当选取：5、20，时，所取的数中任意三个数之和能被15整除。
一共有。
的最大值为135。
【点评】本题考查数的整除特征。分类讨论解决即可。
一．选择题（共4小题）
1．从1，2，3，4，5这五个数字中选取四个组成一个四位数，使它能同时被3、5、7整除，这个四位数是
A．1235B．1245C．2415
【分析】因为3、5、7两两互质，所以被3、5、7整除的最小数为，再进一步看能否被105整除即可．
【解答】解：被3、5、7整除的最小数为，
、，不能被105整除；
、，不能被105整除；
、，能被105整除．
故选：．
【点评】此题主要考查了数的整除性的性质，根据具体被整除的数字确定数的特征是做题的关键，在数的选择上要充分注意题目的要求．
2．农民张三将自己养的猪交于李四合养，已知张三、李四共养猪260头，其中张三养的猪有是黑毛猪，李四养的猪有是黑毛猪，问李四养了 头非黑毛猪．
A．125B．130C．140D．150
【分析】张三养的猪有是黑毛猪，猪的头数必须是整数头，所以张三只能养100头或200头，这样李四的猪的头数只能是60或160，又因为李四养的猪有是黑毛猪，说明李四的猪是8的整数倍．所以李四的猪只能是160，其中黑毛猪是头，非黑毛猪头，由此得解．
【解答】解：张三养的猪有是黑毛猪，所以他只能养100头 或200头猪，
因为猪的数量必须是整数，而只有100 或200 的才是整数．
这样李四只能养60 或160 头猪，
又因为李四养的猪有是黑毛猪，又因为只有乘8的倍数才是整数，
所以李四只能养160 头猪，
其中黑毛猪是；（头，
非黑毛猪有：（头，
故选：。
【点评】解答此题关键是根据其中张三养的猪有是黑毛猪，李四养的猪有的黑毛猪，因为猪的头数必须是整数头，从这两个分数入手可知张三只能养100头或200头，李四的猪的头数只能是8的整数倍，从而得出李四只能养160头，来解决问题的．
3．下列4个数都是六位数，是大于0小于10的自然数，是0，一定能同时被2、3、5整除的数是
A．B．C．D．
【分析】这个六位数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管是比10小的哪个自然数，的和一定是3的倍数，所以一定能被3整除，所以选
【解答】解：，
能被2和5整除，
的和一定是3的倍数，
也一定能被3整除，
故选：。
【点评】此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．
4．如果一个正整数从前面读起与从后面读起数值相同，那么我们称这样的数叫做回文数．例如：55，101，8668，93344339等，在所有的四位数中共有90个回文数，这90个回文数中，共有 个可以被7整除．
A．7B．9C．14D．18
E．20
【分析】所有四位回文数都是形式的，要使回文数能被7整除，则根据被7整除数的特征，则能被7整除，据此找到合适的即可．
【解答】解：设所有四位数的回文数为：
因为这个四位数能被7整除，即能被7整除，即能被7整除
则只能为0或7，可取，故共有个．
故选：．
【点评】本题主要考查被7整除的数的特征，如果一个数的末三位数与末三位以前的数的差能被7或13整除，那么这个数就能被7或13整除．根据特征继续往下做即可．
二．填空题（共12小题）
5．在640后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，这样的六位数中最小的是 640020． ．
【分析】根据能被3，4，5整除的数的特征可知，能同时被3、4、5整除的数的各位数相加的和一定能被3整数，且个位数一定是0，由于，则最少还要加上2才能被3整除，又求这个数最小，则这三个数中其中一个可为2，其余两个为0，又高位上数越小，数值就越小，据此可将百位为0，十位为2，个位为0，即这个数是64020．
【解答】解：能同时被3、4、5整除的数的各位数相加的和一定能被3整数，且个位数一定是0，由于，
所以要求这个数最小，则这三个数中其中一个可为2，其余两个为0，
据此可将百位为0，十位为2，个位为0，即这个数是640020．
故答案为：640020
【点评】能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除；
能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除；
能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除．
6．工贸家电购买36台同规格的洗衣机，但发票总价的万位和个位数字被弄污不好辨认了，是□711□元．已知进价每台洗衣机2千多元．洗衣机的总价是 77112 元，每台洗衣机的单价是 元．
【分析】因为，所以总价能被4和9整除，根据能被4整除的数的条件，得11□能被4整除，所以后面的□内填2或6，再根据能被9整除的数的条件，得□能被9整除，所以前面的□内填7，或□能被9整除，所以前面的□内填3，所以总价等于77112元或37116元，元，元，因为每台电冰箱进价约为2000多元，所以每台电冰箱进价2142元，总价是77112．
【解答】解：（元，
（元，不符合题意，舍去，
答：洗衣机的总价是77112元，每台洗衣机的单价是2142元．
故答案为：77112，2142．
【点评】此题应根据购进电冰箱的台数进行分析，然后根据能被4或6整除的数的特征进行判断，进而列式计算得出问题答案．
7．在1，2，3，，1995这1995个数中找出所有满足下列条件的数能整除，则有 6 个．
【分析】由“能整除”，得出是自然数，所以也是自然数，即是的约数，然后把进行分解，进一步解决问题．
【解答】解：根据题意，是自然数，
所以也是自然数，
即是的约数，
因为
，它在1995与之间（不包括的约数有：
，
，
，
，
，
于是的值有6个，即：
．
．
，
，
，
．
所有满足条件的数有：1254，532，798，1330，210，1680．
故答案为：6．
【点评】此题在解答时，运用了整除的性质以及数字拆分等知识．
8．一个数满足下列条件：
（1）最高位是百位；（2）每个数位上的数字都能被3整除；（3）每个数位上的数字都不是最小的自然数；（4）中间的数字能够写成两个连续自然数相乘的形式；（5）个位上是一个质数；（6）大于700．
你猜猜这个数是 963 ．
【分析】由于这个数最高位为百位，所以这个数是个三位数；每个数位上的数字都能被3整除，并且每个数位上的数字都不是最小的自然数，所以这个数的各位数可能为3，6，9，然后据此根据题目中的其它条件进行分析确定每个数位的数即可．
【解答】解：由于这个数最高位为百位，所以这个数是个三位数；
由于每个数位上的数字都能被3整除，并且每个数位上的数字都不是最小的自然数，
所以这个数的各位数可能为3，6，9；
由于中间的数字能够写成两个连续自然数相乘的形式，，所以中间数为6；
个位上是一个质数，则个数是3；大于700，所以百位数是9．
所以这个数是963．
故答案为：963．
【点评】首选根据前两个条件确定这个数的位数及各位数的取值范围是完成本题的关键．
9．有30张卡片，分别写上1，2，．每次选2张组成一个除法算式，在组成的所有除法算式中，商是整数没有余数的除法算式一共有 81 个．
【分析】根据组成的除法算式商为整数且没有余数这个条件可知，除法算式中除数的取值范围只能是，然后再从1开始分别分析这15个数字做除数时能和组成多少个除法算式，再将算式个数相加即可．
【解答】解：当1为除数时，商是整数且没有余数的除法有：，，，，共29个；
2为除数时有：，，，，共14个；
，
，共一个；
，共1个．如下表：
共有：（个；
故答案为：81．
【点评】解答本题要注意由于是选卡片，所以不同自身相除．
10．一个四位数，能被45整除，千位上的数字与个位上的数字之积等于20，百位上的数字与十位上的数字组成的两位数是奇数中的最小合数与最小合数的积，这个四位数是 4365 ．
【分析】根据这个四位数能被45整除，所以这个四位数的个位是0或5，再根据“千位上的数字与个位上的数字之积等于20”可确定千位上和个位数的数字为4和5，奇数中最小合数是9，最小合数是4，所以百位上的数字与十位上的数字组成的两位数是奇数中的最小合数与最小合数的积是，所以这个四位数为4365或5364，因为5364不能被45整除故舍去，据此解答即可．
【解答】解：这个四位数能被45整除，所以这个四位数的个位是0或5，
千位上的数字与个位上数字相乘的积为：，
所以千位上的数字为4，个位上的数字为5，
奇数中最小合数是9，最小合数是4，
，
所以这个四位数为：4365．
故答案为：4365．
【点评】解答此题的关键是确定千位和个位上的数字，然后再根据最小合数和奇数中最小的合数确定百位和十位上的数字即可．
11．从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列，结果是 ．
【分析】因为组成的三位数能同时被2、5整除，所以个位数字为0．根据三位数能被3整除的特征，数字和与都能被3整除，即可求出这些数，进而解决问题．
【解答】解：因为组成的三位数能同时被2、5整除，所以个位数字为0．根据三位数能被3整除的特征，数字和与都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750．
从小到大排列：．
故答案为：．
【点评】此题解答的关键在于掌握能被2，5，3整除的数整除的特征．
12．有三个连续的自然数，它们都小于2002，其中最小的数能被13整除，中间的数能被15整除，最大的数能被17整除，这三个连续的自然数是 1664，1665，1666 ．
【分析】根据15，17和13这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上15，17和13所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．
【解答】解：15，17和13的最小公倍数是，
能被13整除，
能被15整除，
能被17整除，
3328，3330，3332分别能被13，15，17整除，
这三个数都是偶数，且都相差2，
把这三个数分别除以2，
得到1664，1665，1666，它们也一定能分别被13，15，17整除．
答：这三个连续的自然数是 1664，1665，1666．
故答案为：1664，1665，1666．
【点评】此题主要考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是求出15，17，13的最小公倍数，进而将最小公倍数与15，17，13相加得出偶数关系即可求出答案．
13．弘文教育王老师买了28枝价格相同的钢笔，共付出了9□□元，并且□处的数字相同，请问每枝钢笔 3.51 元．
【分析】把9□□元化成9□2□分，，因此，9□2□必须同时是4的倍数、7的倍数，即□是0、4、8，然后再把0、4、8分别代入9□2□，看填哪个数正好是28的倍数．然后再根据“单价总价数量”即可求出每枝钢笔的单价．
【解答】解：9□□元□2□分
9口2口既是4的倍数，又是7的倍数
即□内为0、4、8
当□内为0时，即9020
因此□填0时不符合题意
当□内为4时，即9424
因此□填4时不符合题意
当□内为8时，即9828
因此□填8时符合题意
（分
351分元
答：每枝钢笔3.51元．
故答案为：3.51．
【点评】此题较难，因为“总价单价数量”，关键是明白总价9□2□分必须是28的倍数，即同时是4、7的倍数．
14．有4个六位数：、；、；、；、．并且还知道，是比10小的自然数，是零，那么，这四个数中一定能同时被2、3、5整除的数是 （填序号）．
【分析】要想同时被2、3、5整除
（1）要被2、5整除，最后一位一定是0，
（2）要被3整除，各位数字相加的和可以被3整除，，所以选
【解答】解：因为要被2、5整除，最后一位一定是0，
要被3整除，各位数字相加的和可以被3整除，，
答：这四个数中一定能同时被2、3、5整除的数是．
故选．
【点评】理解同时被2，3，5整除的数的特征，是解决此题的关键．
15．从1，2，3，4，，100中取出若干个数，使得它们中任意两个数的和都不可能是9的倍数，请问至多能取 46 个．
【分析】把这100个数按被9除的余数分组：能被9整除的有：个，被9除余1的有12个，被9除余的各有11个，共分成9组，其中被9整除那组最多取1个，其余的最多只能取4组，所以最多能取个；由此解答即可．
【解答】解：被9整除的有：9、18、27、、99，共11个，
被9除余1的有：1、10、19、、100，共12个，
被9除余的各有11个，
共分成9组，其中被9整除那组最多取1个，其余的最多只能取4组：可以取被9除余1的12个，被9除余2的11个，被9除余3的11个，被9除余4的11个，
所以最多能取：（个；
答：请问至多能取46个；
故答案为：46．
【点评】此题考查了数的整除特征，通过题意，进行分析，明确：共分成9组，其中被9整除那组最多取1个，其余的最多只能取4组，是解答此题的关键．
16．一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，中间的四位数字是1997，那么这个六位数是 219978 ．
【分析】因为，所以能被99整除的数，既能被9整除又能被11整除；能被9整除的数的特征是：各个数位的数字之和能被9整除；能被11整除的数的特征是：奇数位偶数位等于0或11的倍数；进而求出这个数．
【解答】解：设六位数；
因为，所以这个数既能被9整除又能被11整除；
能被9整除的数的特征是：各个数位的数字之和能被9整除；
，能被9整除，所以，和是9的倍数，那么的和是1、10；
能被11整除的数的特征是：奇数位偶数位等于0或11的倍数；
奇数位的和：；
偶数位的和：；
奇数位的和偶数位的和；
当，可得；
那么的和是1、10；当和是1，可得，是负数，不符合；当和是10，可得，可得，，符合；这时两位数是219978；
当是11的倍数，只能是，可得；
那么的和是1、10；当和是1，可得，可得，，是负数，不符合；当和是10，可得，不是整数，不符合；
由此可得这个六位数是219978．
故答案为：219978．
【点评】本题考查能被9和11整除的数的特征的理解和灵活运用情况．
三．解答题（共9小题）
17．173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
【分析】可根据能被9、11、6整除的数的特征进行计算，可得出数学老师先后填入的3个数，然后将3个数字相加即可得到答案。
【解答】解：因为能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，□□，
所以□内只能填7；
因为能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的差能被11整除，□□能被11整除，
所以□内只能填8；
因为能被6整除的自然数是偶数，并且数字和能被3整除，而□□，
所以□内只能填4；
答：所填三个数字之和是19。
【点评】此题主要考查的是能被9、11、6整除的数的特征。
18．有八个连续三位数，第1个数被1整除、第2个数被2整除、第3个数被3整除、依此类推；那么第7个数字是多少？
【分析】设第7个数也就是7的倍数的为；的前一个数应是6的倍数，即必须是能被3整除的偶数，所以应考察的7的倍数为奇数；
的前面第二个数应是被5整除的数，故应是以7结尾的数；
综上，应从以7为结尾的7的倍数的三位数中找，
并且，由于被6整除，而以7结尾，故的百位和十位数字组成的两位数应被3整除；
所以，所求的应是217、427、637、847中的一个；
而被8整除，则排除218、428、638，只有848满足；
【解答】解：设第7个数也就是7的倍数的为；的前一个数应是6的倍数，即必须是能被3整除的偶数，所以应考察的7的倍数为奇数；
的前面第二个数应是被5整除的数，故应是以7结尾的数；
综上，应从以7为结尾的7的倍数的三位数中找，
并且，由于被6整除，而以7结尾，故的百位和十位数字组成的两位数应被3整除；
所以，所求的应是217、427、637、847中的一个；
而被8整除，则排除218、428、638，只有848满足．
答：第7个数字是847．
【点评】本题主要考查了数的整除问题．解答此题关键是得出第7个数是以7为结尾的7的倍数．
19．某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？
【分析】原数加1后是15的倍数，必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是，设原数为为自然数），则有，据此可得，据此再进行分析即可解答．
【解答】解：原数加1后是15的倍数，必是5的倍数，所以个位数字是4或9，
又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，
再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是，
设原数为为自然数），则有，
可得，
因为原数的个位数字是9，所以的个位数字是6．从而的个位数字是2或7，
在26到52之间，个位数字是2或7的数有27、32、37、42、47、52，
又因为原数加上1后是15的倍数，则是3的倍数，则必定是3的倍数，
，所以是3的倍数，即被3除余1，在27、32、37、42、47、52中，只有37和52被3除余1，
所以或52，
所以，，
经检验正好满足题意，
答：所求的四位数是1409或1979．
【点评】根据题干，明确四位数的个位数字和千位数字分别是9和1，再根据被15整除的数的特征和偶数特征进行分析即可解答．
20．把144分成三个数的和，使这三个数分别能被2，3，7整除，而且所得的商相同，那么这三个数各是多少？
【分析】由题意可设相同的商为，则三个数分别是、、，根据3个数的和是144列方程解答即可．
【解答】解：设相同的商为，则三个数分别是、、，


答：三个数分别是24、36、84．
【点评】解答此题关键是设出相同的商为，进而表示出三个数．
21．从自然数1，2，3，，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？
【分析】设，，，是所取出的数中的任意4个数，
则，
，
其中，是自然数．
于是．
说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同．
设这个余数为，则：
，
，
，其中，，是整数．于是．因为18能被整除，所以18能被整除，即6能被整除，推知，6，12．
因为，
所以，从1，2，，1000中可取6，24，42，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除．
故最多可取出56个数，使得所取出数中任三个数之和能被18整除．
【解答】解：设，，，是所取出的数中的任意4个数，
则，
，
其中，是自然数．
于是．
说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同．
设这个余数为，则：
设这个余数为，则：，
，
，其中，，是整数．于是．因为18能被整除，所以18能被整除，即6能被整除，推知，6，12．
因为，
所以，从1，2，，1000中可取6，24，42，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除．
故最多可取出56个数，使得所取出数中任三个数之和能被18整除．
【点评】本题主要考查能被18整除数的特征．
22．（1）你能否把从1到7的所有各数安排在圆周上，使它们每个数都能被它的两个相邻数之差所整除？
（2）如果上述要求不变，但要把从1到7改为从1到9的各数呢？
【分析】（1）1到7每个数都能被它的两个相邻数之差所整除，即两个相邻数之差是1、2、3、4、5、6、7的公因数．
（2）1到9每个数都能被它的两个相邻数之差所整除，即两个相邻数之差是1、2、3、4、5、6、7、8、9的公因数．
【解答】解：（1）答案如图
（2）不可以．
因为中总共有5个奇数，奇数的因数依然是奇数、奇数与偶数的差才能是奇数．
所以要符合条件，必须每个奇数相邻的数必须是一奇一偶，即每两个奇数必须相邻，故可以推出必须有偶数个奇数才能符合要求．
而本题中奇数的个数是5个，故不能使它们每个数都能被它的两个相邻数之差所整除．
【点评】先进行奇偶性分析，如果有答案再从1开始，依次试数即可得到答案，做题需要细心、有耐心！
23．这天又有100人来空间站旅游，大家都面对导游，导游先让其中编号能被3整除的人向后转，而后让编号的数字之和是偶数的人向后转，则最后谁面对着导游？
【分析】因为编号能被3整除的人向后转，个位数字之和加起来是3的倍数的，这个数就是3的倍数，（个（人；和是偶数的人向后转，因为奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，一位数的偶数去掉，是5个，两位数符合条件的有：个，个位和十位上都是奇数的（个如：11，13，15，17，19，31，33，35，37，39等，据此解答即可．
【解答】解：符合条件的有：
3的倍数有3，6，9，12，去掉；
让编号的数字之和是偶数：
一位数有：2，4，6，8
两位数的有：11，13，15，
20，22，26，28，30，
所以最后剩下1号，5号，7号，10号，14号，16号，23号，25号，29号，32号，34号，38号，41号，43号，47号，49号，50号，52号，56号，58号，61号，65号，67号，70号，74号，76号，83号，85号，89号，92号，94号，98号，100号．
答：1号，5号，7号，10号，14号，16号，23号，25号，29号，32号，34号，38号，41号，43号，47号，49号，50号，52号，56号，58号，61号，65号，67号，70号，74号，76号，83号，85号，89号，92号，94号，98号，100号对着导游．
【点评】完成本题要在充分了解能被3整除数的特征的基础上进行．
24．不超过100的正整数中，能被25整除的数有哪些？不超过1000的正整数中，能被125整除的数有哪些？
【分析】根据整除的意义可知，能被25整除的数都是25的倍数，据此找出不超过100的正整数中，25的倍数有那几个即可；能被125整除的数都是125的倍数，据此找出不超过1000的正整数中，125的倍数有那几个即可．
【解答】解：不超过100的正整数中能被25整除的数有：25、50、75、100；
不超过1000的正整数中能被125整除的数有：125；250；375；500；625；750；875、1000．
【点评】此题主要考查整除的意义，明确能被一个数整除的数，都是这个数的倍数．
25．阅读材料：对于任意一个三位正整数，如果满足百位上的数字与十位上的数字之和恰好等于个位上的数字，我们称这个数为“和数”，并把各位数字的平方和记为。例如：正整数134，因为，所以134是“和数”， 。
（1）求证：任意一个“和数”与它各位数字之和的差能被9整除；
（2）若“和数” 与它各位数字之和能被7整除，且为偶数，求满足条件的所有“和数” ，并求的最小值。
【分析】（1）用字母表示出一个“和数”，按题干要求列出代数式提取公因式后即可证明；
（2）设“和数” ，则①；由于为偶数，可得②，同为奇数或同为偶数；因为与它各位数字之和能被7整除，可得③能被7整除，，同时满足以上三个条件，于是可求得，的值，进而求出所有的“和数” ，并根据是各位数字的平方和，据此计算的最小值即可解答本题。
【解答】解：（1）设“和数”的百位数字为，十位数字为，则个位数字为，则这个“和数”为：。
“和数”与它各位数字之和的差为：
所以任意一个“和数”与它各位数字之和的差能被9整除。
（2）设的百位数字为，十位数字为，则个位数字为。则：
，其中，为正整数，且，
因为为偶数，所以为偶数，
即，同为奇数或同为偶数。
所以“和数” 与它各位数字之和为：
因为“和数” 与它各位数字之和能被7整除，
所以能被7整除，
即或14，
所以，或，或，。
即“和数” 为：314或156或628。
又，
，
，
因为，
即。
所以的最小值为26。
答：满足条件的所有“和数” 是314或156或628，的最小值是26。
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，有理数的混合运算，列代数式，有理数的整除特性。本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练运用是解题的关键。除数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
算式个数
29
14
9
6
5
4
3
2
2
2
1
1
1
1
1