山东省聊城第一中学老校区2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省聊城第一中学老校区2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知点在第三象限，则角的终边位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列说法正确的是（ ）
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等B．若，则与的方向相反
C．若，则D．向量与向量的长度相等
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（ ）
A．B．C．D．
5．若函数的图象向左平移个单位长度，恰好得到函数的图象，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
6．设函数若存在且，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（ ）
①；②；
③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称
A．1B．2C．3D．4
8．在锐角中，若，则的最小值为( )
A．4B．6C．8D．10
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列选项中，正确的有（ ）
A．函数的图象关于点对称．
B．函数是最小正周期为的周期函数．
C．设是第二象限角，则且
D．函数的最小值为
10．下列选项中正确的有（ ）
A．若是第二象限角，则
B．
C．
D．
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心O到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．设盛水筒M从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数，则h与时间t之间的关系为．下列结论正确的是（ ）
A．
B．点P第一次到达最高点需要的时间为
C．在转动的一个周期内，点P在水中的时间是
D．若在上的值域为，则a的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ．
13．已知，且，，则 .
14．已知函数，当时，有最小值，且对任意，都有，又在上单调，则 ，若对于任意的，都有成立，则实数的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知在平面直角坐标系中，角的终边经过点，且.
(1)求；
(2)当时，求的值.
16．已知函数．
(1)求的最小正周期和对称中心；
(2)若存在，使得，求的取值范围．
17．如图是函数图象的一部分．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间；
(3)记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值．
18．一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．

(1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
19．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
(1)若一次函数具有性质，且，求的解析式；
(2)若函数（其中）具有性质，求的单调递增区间；
(3)对于（1）（2）中的函数，求函数在区间上的所有零点之和.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为点在第三象限，
所以，
由，可得角的终边在第二、四象限，
由，可得角的终边在第二、三象限或轴负半轴上，
所以角终边位置在第二象限，故选B.
2．【答案】D
【详解】对于选项A，单位向量是指模等于的向量，若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反，
当方向相反时，这两个单位向量并不相等，所以选项A错误，
对于选项B，若，则与的方向相同或与中有零向量，所以选项B错误，
对于选项C，当时，对于任意向量和，都有且，
但与不一定平行．因为零向量与任意向量都平行，所以选项C错误，
对于选项D，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，
因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项D正确，
故选D.
3．【答案】C
【详解】因为，
故选C.
4．【答案】C
【详解】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．
【详解】解：
．
故选．
5．【答案】D
【详解】因，
将的图象向左平移个单位长度，得，
所以，即，
当时，，当时，，当时，，
结合题意和选项，可知只有D正确．
故选D.
6．【答案】A
【详解】
不妨取，由可得：，
由可得，
由图可取要使存在且，使得，
需使，，解得.
故选A.
7．【答案】C
【详解】对①，由图可知，的最小正周期，则，故①正确；
对②，由图象可知时，函数无意义，故
由，得，即，故②错误；
对③，由，故③正确；
对④，由，则的图象关于点对称，
由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，故④正确．
故选C.
8．【答案】C
【详解】由，得，
两边同时除以，得.
令，
∵是锐角三角形，
∴，∴.
又在三角形中有：
，
故当时，取得最小值
故选C.
9．【答案】AD
【详解】对于A，根据正切函数的性质可知，函数的图象关于点对称，故A正确.
对于B，由函数的图象可知，该函数不是周期函数，故B错误..
对于C，设是第二象限角即，则，，
当k为偶数，是第一象限角，且，且成立；
当k为奇数时，是第三象限角，且与选项矛盾，故C错误.
对于D，函数，
又，则当时，函数有最小值，故D正确.
故选AD
10．【答案】ABCD
【详解】对于A，因为是第二象限角，所以，从而，所以A正确；
对于B，，所以B正确；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以D正确.
故选ABCD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，
所以点P距离水面的高度h的最值为，所以，
因为筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈，所以，
因为，所以，
又因为，所以，故A正确；
对于B，由已知得，与x轴正方向的夹角为，
所以点P第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B错误；
对于C，在转动的一个周期内，点P在水中转动，则需要的时间是，故C正确；
对于D，若在上的值域为，
则在上的值域为，因为，所以，
所以，则，故D正确．
故选ACD.
12．【答案】
【详解】原式,
13．【答案】
【详解】因为，且，所以，，所以，则，
因为，所以，
因为，，所以，，又，所以，所以，所以，即，则.
14．【答案】
【详解】依题意得，是图象的对称轴，
由知：点是图象的一个对称中心，
设的最小正周期为，因为在上单调，
则，即；
又，即，．
又，所以，
当时，由，，且，
得，此时，
当时，，满足题意；
当时，由，，且，
得，此时，
当时，，此时不单调，
所以．
因为任意的，都有成立，
所以在上，．
当时，，
又当时，即，此时，，
则成立；
当，即时，，
所以，即，所以，
所以，解得，
所以满足题意的实数的取值范围为，即实数的最大值为．
15．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因为角的终边经过点，且，
所以，
则，即，解得或.
（2）当时，，则，
所以.
16．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意可得，
所以函数的最小正周期，
令，得到
所以函数的对称中心为
（2）因为，则，
所以，则．
由，得，则，
因为存在，使得，所以，
即，解得，
故的取值范围是．
17．【答案】(1)
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，
(3)，
【分析】（1）根据函数图象可得，由周期求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式；
（2）根据正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得，由的取值范围求出的取值范围，令， ，即，结合正弦函数的图象及对称性计算可得.
【详解】（1）由图可得，
函数的最小正周期为，又，
则，所以，
又函数过点，所以，则，
则，解得，
因为，所以，
所以．
（2）令，，解得，，
令，，解得，．
因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，．
（3）方程，即，即，
因为，所以，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即，
又的对称轴为，
不妨设个解从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，
所以，，，
即，，，
解得，，．
所以，
所以，．
【思路导引】本题第三问关键是换元转化为方程在区间上的解的个数，结合正弦函数的图象及对称性计算得解.
18．【答案】(1)；
(2)详见解析；元.
【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域.
（2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用.
【详解】（1）在Rt 中，，，所以 ，
在Rt 中，，即 ，又 ，
所以 ，
所以 的周长，
即;
当点在点时，角最小，此时 ;
当点在点时，角最大，此时 ;
故此函数的定义域是
（2）由题意可知，只需求出的周长的最小值即可
设，则，
则原函数可化简为 ，
因为 ，所以 ，，
则 ，
则
从而
则当时，即时，；
即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设，则，
由，得，
又，
；
（2）由，得，
，又，
，
由，得，
即，
，或，
又，
令，得，
故的单调递增区间为；
（3）令，得，
问题转化为曲线和所有交点的横坐标之和，
曲线和均关于成中心对称..
，，
，
在上单调递减，
画出它们的图象如图所示.
由图象可知曲线和共有8个交点，
设其交点的横坐标从小到大依次为，
则，
故函数在区间上的所有零点之和为.