山东省聊城第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省聊城第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了 等于， 函数y＝1－2sin2是， ，则， 若，则， 函数的大致图象是， 一半径为3等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
命题人：陶业强 审题人：昌龙飞 做题人：季强
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等于（ ）
A. B. 1C. 0D.
2. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数y＝1－2sin2是（ ）
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数
D. 最小正周期为的偶函数
4. ，则（ ）
A. B. C. D.
5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数（）的大致图象是
A. B.
C. D.
8. 正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数相邻两个最高点之间的距离为，则以下正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 在上单调递增
10. 一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（ ）
A. 点P第一次到达最高点需要20秒
B. 在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方
C. 当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米
D. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）．
A. 函数是奇函数B. 函数的值域为
C. 函数是周期为周期函数D. 函数在上单调递减
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. __________.
13. 已知函数在区间上单调递增，且直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，则实数的取值范围是___________.
14. 已知，若互不相等的，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知 ．求：
（1）的值；
（2）若，求角．
16. 已知，.
（1）求的值；
（2）求值.
17. 某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据：
根据上述数据描出曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数的图象．
（1）根据以上数据，试求函数的表达式
（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素)
18 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
19. 某高校专家楼前现有一块矩形草坪，已知草坪长米，宽米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路，和，并要求是的中点，点在边上，点在边上，且为直角，如图所示．
（1）设(弧度)，试将三条路的全长(即的周长) 表示成的函数，并求出此函数的定义域；
（2）这三条路，每米铺设预算费用均为元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取，取)．
聊城一中新校区､高铁校区高一下学期第一次阶段性测试
数学试题
时间：120分钟 满分：150分
命题人：陶业强 审题人：昌龙飞 做题人：季强
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等于（ ）
A. B. 1C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两角和的余弦公式即可求解.
【详解】由两角和的余弦公式得：
故选：C
2. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用求解最小正周期，再代入验证，是否是对称轴，对四个选项一一判断.
【详解】A选项，的最小正周期为，
且当时，，故图象关于直线对称，A正确；
B选项，的最小正周期为，B错误；
C选项，当时，，故图象不关于直线对称，C错误；
D选项，当时，，故图象不关于直线对称，D错误.
故选：A.
3. 函数y＝1－2sin2是（ ）
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数
D. 最小正周期为的偶函数
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式和诱导公式可得y＝sin 2x，即可得到答案.
【详解】y＝1－2sin2＝cs2＝－sin2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数，
故选：A.
【点睛】本题考查利用二倍角公式和诱导公式进行化简，考查正弦函数的性质，属中档题.
4. ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角余弦公式求，再由求即可.
【详解】由，得，
∴，
故选：C．
5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移变换的特征求出平移后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可得解.
【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位，
得，
因为函数为偶函数，
所以，则，
故选项中的一个可能取值为.
故选：B.
6. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
7. 函数（）的大致图象是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，所以，因为，故选B.
8. 正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得的取值范围，即可得解.
【详解】由已知可得，可得，
因为，则，
因为
，
当且仅当时，等号成立，故.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数相邻两个最高点之间的距离为，则以下正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 在上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相邻两个最高点之间的距离为得到函数的最小正周期，从而求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】解：因为函数相邻两个最高点之间的距离为，
即函数的最小正周期为，故A正确；
所以，解得，则，
所以为奇函数，故B正确；
又，所以函数关于点对称，即C错误；
若，则，因为在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确；
故选：ABD
10. 一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（ ）
A. 点P第一次到达最高点需要20秒
B. 在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方
C. 当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米
D. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合周期性以及角度判断出正确答案.
【详解】设水面为，
过作直径，垂足为，
依题意米，所以，，
第一次到达最高点需要的时间为秒，A选项正确.
根据对称性可知，由运动到，需要时间秒，B选项正确.
当水轮转动秒时，位置与秒时相同，
秒转过的角度为，
如图中的位置，其中，故此时在水面上方，距离水面的距离等于米，C选项正确.
当水轮转动秒时，位于的位置，距离水面米，D选项错误.
故选：ABC
11. 已知函数，下列说法正确是（ ）．
A. 函数是奇函数B. 函数的值域为
C. 函数是周期为的周期函数D. 函数在上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、周期性知识，逐项分析即可求解.
【详解】由于，又函数的定义域为，
所以定义域关于原点对称，
而，
故为奇函数，A正确，
由于，所以，
从而，B正确，
，
所以不是周期为的周期函数，C错误，
由于在上单调递减，所以在上单调递减，
从而上单调递增，则在上单调递减，
则在上单调递减，D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. __________.
【答案】4
【解析】
【分析】通分后，分母应用诱导公式、二倍角公式，分子逆用两角差的正弦公式化简后可得．
【详解】.
故答案为：4．
13. 已知函数在区间上单调递增，且直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数在上单调递增，得到，结合直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，列出方程组，即可求解.
【详解】令，可得，
所以函数的单调递增区间为，
因为函数在上单调递增，
所以，可得， 因为，解得，
又因为直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，
所以，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知，若互不相等的，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y=m交点的横坐标，
利用数形结合思想即可求得M和N﹒
【详解】作出在上的图象（如图所示）
因为，，
所以当的图象与直线相交时，由函数图象可得，
设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N，
由，得，
则，，，；
当的图象与直线相交时，
设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为，
由，得，
则，，；
所以.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知 ．求：
（1）的值；
（2）若，求角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据二倍角的正切公式即可得解；
（2）利用两角和正切公式求出，结合范围即可得结果.
【小问1详解】
因为，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
又因为，所以，
故.
16. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式求解即可；
（2）根据二倍角公式以及两角和的正切公式将原式化为，再由同角三角函数的基本关系求解即可.
【小问1详解】
解：因为，所以，又，
，，
所以，解得，
【小问2详解】
解：
，
，，
，即，将两边平方得，
．即，
.
．
17. 某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据：
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数的图象．
（1）根据以上数据，试求函数的表达式
（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素)
【答案】（1）
（2）应在时间段将该种商品放在室外销售
【解析】
【分析】（1）由，求得，又由，求得，再由时，得到，求得，即可求得函数解析式；
（2）令，得到，解得，进而得到答案.
【小问1详解】
解：由的图象，可得，解得，
又由，解得，所以，
因为时，可得，即，解得，
即，所以，
又因为，解得，所以.
【小问2详解】
解：令，即，可得，
解得，解得，
又因为，所以当 时，可得，
所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售．
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出周期及单调递增区间.
（2）求出函数在上的值域即可.
【小问1详解】
依题意，，
所以函数最小正周期；
由，解得
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
当时，，则，
函数的值域为，方程，，
由方程在上有解，得，
所以实数的取值范围是.
19. 某高校专家楼前现有一块矩形草坪，已知草坪长米，宽米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路，和，并要求是的中点，点在边上，点在边上，且为直角，如图所示．
（1）设(弧度)，试将三条路的全长(即的周长) 表示成的函数，并求出此函数的定义域；
（2）这三条路，每米铺设预算费用均为元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取，取)．
【答案】（1），定义域为
（2）当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元
【解析】
【分析】（1）要将的周长表示成的函数关系式，需把的三边分别用含有的关系式来表示，从而可求；
（2）要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可，利用换元法，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
在中，，，，
，
又，
，
三条路的全长（即的周长），
当点在点时，这时角最小，求得此时；
当点在点时，这时角最大，求得此时，
故此函数的定义域为，；
【小问2详解】
解：由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可，
由（1）得，，，
设，则，
，
由，，，
得，
从而，当，即时，，
所以当米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．
（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
()
157
14.0
15.7
20.0
24.2
26.0
24.2
20.0
15.7
（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
()
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