山东省聊城第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份山东省聊城第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题：的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定是存在题词命题，再直接写出命题的否定.
命题：是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题：的否定是：，
故选：C
2. 设集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解.
，，则.
故选：D.
3. 二次不等式的解集为，则的值为（）
A. B. 5C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解与方程根的关系求解即可.
不等式的解集为，
，
原不等式等价于，
由韦达定理知，，
，，
．
故选：D．
4. 若集合,则能使成立的所有组成的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】考虑和两种情况,得到不等式组,解得答案.
当时,即,时成立;
当时,满足,解得;
综上所述:.
故选:C.
5. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
不等式等价于等价于，所以，
即，解得或，
故能推出成立，但是成立不一定有，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
6. 若正实数满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值D. 有最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值逐一分析即可.
因为，则，
当且仅当，即时取等号，故A正确；
，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
因为，则，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误.
故选：.
7. 对于、，规定，集合，则中元素的个数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论，列举出满足条件的元素，即可得出集合的元素个数.
分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论：
①如果、的奇偶性相同，且、，
此时，可为：、、、、、、、、
、、，共个；
②如果、的奇偶性不同，且、，
此时，可为：、、、，共个.
因此，集合的元素个数为个.
故选：C.
8. 若关于的不等式的解集为. 已知，，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式的解集为和，、可得，进而可求得和，从而结合基本不等式即可求解的最小值.
由题意，关于的方程有两个正根，
且由韦达定理知，解得，所以，
所以，
又，，故，，
所以，当且仅当，即时等号成立，
结合得，时取等号.此时实数符合条件，
故，且当时，取得最小值.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意利用集合的交集、补集的运算，结合韦恩图和选项，逐项判定，即可求解.
由，可得，所以B正确；
如图所示，由，可得A错误，C正确；
又由，所以D错误.
故选：BC.
10. 下列四个结论中正确的是（）
A.
B. 命题“”的否定是“”
C. “”的充要条件是“”
D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等式性质判断A，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断CD.
对于A，，解得，
即，正确；
对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“”的否定为：，错误；
对于C，若，则，反之若，则，
所以“”充要条件是“”，正确；
对于D，若，则不一定成立，如，但，
反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，正确.
故选：ACD
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 是关于的方程有一正一负根的充要条件
B. 若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是
C. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由韦达定理即可判断，对于B，参变分离即可判断，对于C，由条件确定，即可求解，对于D，由，再结合基本不等式即可求解.
对于A，若的根一正一负，则，解得：；
反之，当时，，方程有一正一负根，也成立，
所以是关于x的方程，有一正一负根的充要条件，A对；
对于B，若关于的不等式在上恒成立，
则只需kx-1>x2-1，即在上恒成立即可，
则实数k的取值范围是，故B错误；
对于C，若关于的不等式的解集是1,+∞，则，
所以关于的不等式或，故C正确；
对于D，若，则，可得，等号成立当且仅当，
所以，等号成立当且仅当，故D正确，
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】将改写成的形式，利用不等式性质即可求得其范围为.
可令，
即，解得，
所以，
又，所以，
即，可得；
所以的取值范围是.
故答案为：
13. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________
【答案】
【解析】
【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可.
】当时，，与客观事实矛盾，
故此时不等式的解集为，符合；
当时，为一元二次不等式，若此不等式解集为，
则有，
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解即可求得的取值范围为.
由，得或，
所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解.
当时，的解集为，此时，即，满足要求；
当时，的解集为，此时不满足题设；
当时，的解集为，此时，即，满足要求.
综上，的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）将代入集合，然后在计算；
（2）由，从而由包含关系求参数的取值范围.
【小问1】
当时，，
又，
所以或，
所以，.
【小问2】
（2）因为，
所以，
①当，即时，，满足．
②当时，由得
，
解得，
综合①②可知的取值范围．
16已知函数．
（1）求关于x的不等式的解集；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出对应方程的根，再根据根的大小进行讨论，即可得解；
（2）对任意的，恒成立，即恒成立，结合基本不等式求出的最小值即可得解.
【小问1】
解：由已知易得即为：，
令可得与，
所以，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
【小问2】
解：由可得，
由，得，
所以可得，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以的取值范围是.
17. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶.
（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.
【答案】（1）
（2）当每瓶售价元时，下月的月总利润最大为万元
【解析】
【分析】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解；
（2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解.
【小问1】
设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元，
则月销量为万瓶，
所以提价后月总销售利润为万元，
因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润，
所以，即，解得，
所以售价最多为元，
故该饮料每瓶售价最多为元；
【小问2】
由题意，每瓶利润为元，
月销售量为万瓶，
设下月总利润为，，
整理得：，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当时取等号，
故当售价元时，下月的月总利润最大为万元.
18. 已知.
（1）设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围；
（2）方程有两个实数根，
①若均大于，试求的取值范围；
②若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）由的充分不必要条件是，则是的真子集，则，解不等式即可得出答案.
（2）①若均大于，由根与系数的关系可得，解不等式即可得出答案.②由若可得，将，代入化简即可得出答案.
【小问1】
由，得，
即，即，
又，∴，即，
∵的充分不必要条件是，
∴是的真子集，
则，解得，则，
即实数的取值范围是.
【小问2】
方程为，
①若均大于，则满足，
解得，故，即的取值范围为.
②若，则，
则，即，即，
解得或，由，得或.
所以，即实数的值是.
19. 对于四个正数m、n、p、q，若满足，则称有序数对是的“下位序列”．
（1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；
（2）设a、b、c、d均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系；
（3）设正整数n满足条件：对集合内的每个m，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值．
【答案】（1）是，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据“下位序列”的定义判断即可；
（2）由条件可得，然后利用作差比较大小即可；
（3）根据“下位序列”的定义列不等式组，利用不等式组求出的范围，然后将恒成立问题转化最值问题，即可求出正整数的最小值.
【小问1】
，
是的"下位序列"；
【小问2】
是的“下位序列”，
，
，，，均为正数，
故，
即，
，
同理，
综上所述：；
【小问3】
由已知得，
因为为整数，
故，
，
，
该式对集合内的每一个的每个正整数都成立，
，
所以正整数的最小值为.