山东省聊城市第一中学新校区、高铁校区2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份山东省聊城市第一中学新校区、高铁校区2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间120分钟 分值150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．设集合，，若，则（ ）
A．2B．0C．D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．充分必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件
3．设集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．8B．16C．32D．64
4．集合，，的关系是（ ）
A．B．C．D．
5．已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知x，y满足，，则m，n满足的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．，，若，且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
8．定义集合运算称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分．）
9．已知集合P，Q是全集U的两个非空子集，如果且，那么下列说法中正确的有（ ）
A．，有B．，使得
C．，有D．，使得
10．已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，，下列说法正确的是（ ）
A．集合
B．集合A的非空真子集的个数是62个
C．若“”是“”的充分不必要条件，则
D．若，则
11．下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为
B．已知，，且，则的最小值为
C．已知，，且，则的最小值为
D．若，，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．若不等式对一切正实数x都成立，则实数a的取值范围是________．
13．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________．
14．若一个非空数集F满足：对任意a，，有，，，且当时，有，则称F为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；
（2）若数域F有非零元素，则；
（3）集合为数域；
（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________．
四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．）
15．已知全集，，
（1）设实数x的取值构成集合M，求；
（2）当时，求实数x的值．
16．已知集合，
（1）若，求；
（2）已知，求实数a的取值范围．
17．已知命题P：，为假命题．设实数a的取值集合为A，设集合，若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围．
18．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）．
（1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
（2）设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值．
19．问题：正实数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足，求的最小值，并求出取最小值时的x，y值；
（2）若实数a，b，x，y满足，求证：；
（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值．
聊城一中新校区、高铁校区高一上学期第一次阶段性测试
参考答案
1-4：ABCC5-8：DDCB9．BC10．BCD
11．ABD
1．A 【详解】集合，，而，则，经验证符合题意，所以．
2．B 【详解】由题知，则a，b同号，
当时，有，当时，有，
故能推出，当成立时，又，
对不等式两边同时乘以ab可得，故“”是“”的充分必要条件．
3．C 【详解】由
故集合A的子集个数为，故选：C
4．C 【详解】任取，则，，
所以，所以，任取，则，，
所以，所以，所以，
任取，则，，
所以，所以，又，，所以，所以，故选：C．
5．D．【详解】由题意得，
若“，”是真命题，即当时，恒成立，
则，其中，
由，可得，所以
所以命题“，”是是假命题，则m的取值范围为．
故选：D．
6．D 【详解】，当且仅当，时取得等号，所以．
7．C 【详解】因为，，所以，，因为，所以．
8．B 【详解】对于①中，由，所以①正确；
对于②中，由，
同理可得：，则，所以，
所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示，同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合，所以，所以②正确；
对于③中，由，所以③正确；
对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误．故选：B．

图（1） 图（2）
9．BC 【详解】由于P，Q是全集U的非空子集，且，所以Q是P的真子集，所以，使得、，有，即BC选项正确．故选：BC
10．BCD 【详解】时，，时，，
时，，时，，
时，，时，，
∴，集合A的非空真子集有：个．
又若“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以，C正确．
若，则时，；
时，
综上，
∴D正确．故选：BCD．
11．ABD 【详解】对于A：
当且仅当，即时取等号，故A正确；
对于B：，
∴
当且仅当，即，取等号，故B正确；
对于C：
当且仅当时，即，时取等号，故C不对；
对D：，
当且仅当，即等号成立，故D正确．故选：ABD
12．． 【详解】由题意恒成立，即，
因为，所以
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，
13．12 【详解】依题意，
所以
当且仅当，时等号成立．
14．3 【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确，
（2）若数域F有非零元素，则，从而，，，，故（2）正确；
（3）由集合P的表示可知得x是3的倍数，当，时，，故（3）错误，
（4）若F是有理数集，则当a，，则，，，且当时，都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3．
15．（1）
（2）
【详解】（1）由并根据集合中元素的互异性可知，2分
即，解得且；
所以实数x的取值的集合；4分
（或写成）
所以6分
（2）当时可得或；
当时，解得，9分
当时，无解；12分
所以13分
16．（1）（2）
【详解】（1）因为，所以，2分
解得6分
又因为，所以8分
（2）依题意，，
由于，所以10分
所以12分
解得，
所以a的取值范围为15分
17．
【详解】由题意可知，：，为真命题，2分
当时，，得不成立，4分
当时，，得，6分
所以，8分
若“”是“”的充分条件，则10分
当时，，得，12分
当时，，得14分
综上可知，．15分
18．（1）
（2）设备占地面积为时，y的值最小，最小值为7万元．
（2）将变形为，再利用基本不等式即可求解．
【详解】（1）由题意得2分
令即，
整理得：4分
即，
所以解得，6分
所以设备占地面积x的取值范围为7分
（2）10分
13分
当且仅当即时等号成立，15分
所以设备占地面积为时，y的值最小，最小值为7万元17分
19．（1）
（2）证明见解析
（3）时，M取得最小值．
【详解】（1）因为，，，
所以，2分
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值是，，4分
（2）
又6分
当且仅当时等号成立，
所以8分
所以，当且仅当且x，y同号时等号成立．10分
（3）令，，由得，11分
，
又，，所以，
构造，
由，可得，
因此，，13分
由（2）知，15分
取等号时，且x，y同正，
结合，解得，，
即，．
所以时，M取得最小值．17分