江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共4页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。

一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．经过点P(-1,0)且倾斜角为60°的直线的方程是 ( )
A.3x−y−1=0 B.
C. 3x−y−3=0 D. x−3y+1=0
2."a=-1”是“直线ax+3y+3=0和直线x+(a-2)y+1=0平行”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．若点P(1,1)为圆x2+y2−6y=0的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为（）
A. 2x-y-1=0 B.x-2y+1=0
C. x+2y-3=0 D.2x+y-3=0
4．直线y=kx+3与圆(x−2)2+(y−3)2=4相交于M,N两点，若|MN|≥2,则k的取值范围是 ()
A.[−3,3] B.[−33,33] C.[−23,0] D.(−∞,−3]∪[3,+∞)
5．已知空间向量a→=(2,1,−2)、 b→=(3,4,0)，则向量ā在向量b上的投影向量是（）
A.25b B.109b C.25a→ →
6．如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知|PA|=4|AB|，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（）
A.74 B.35 C.45 D.34
7．已知圆C1: x2+y2−2x−4y=0,，圆C2:x2+y2+mx+ny=0，若圆C2平分圆C1的周长，则n2−m的最小值为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.98．在平面直角坐标系xOy中，设A（-1,1）， B(1,5)，点P满足PA.⋅PB=−1，动点Q满足AQ→2+BQ→2=18，当OQ=3OP时，点P的纵坐标为 ( )第2页共4页（高二数学）
A.109 B.103 C.43 D.233
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，不选或错选不得分．）
9．已知直线x+2y−3=0被圆心在坐标原点的圆O所截得的弦长为2，则 ( )
A.圆O的方程是x2+y2=4
B.直线l:x-3y+7=0与圆O相离
C．过点N（1,1）的直线被圆O所截得的弦的长度的最小值是22
D.已知点M是直线L:x-y+4=0上的动点，过点M作圆O的两条切线，切点分别为C，D，则四边形OCMD面积的最小值是2
10．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左，右焦点分别为F1,F2，P为椭圆上一点（异于左，右顶点），且ΔPF1F2面积的最大值为3，则下列结论正确的是 ( )
A．椭圆C的焦距为1 B.椭圆C的短轴长为23
C.ΔPF1F2的周长为6 D．椭圆C上存在4个点P，使得∠F1PF2=60∘
11．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是 ( )
A.BDL平面ACC
B.向量B1C与AA1的夹角是60°
C. AC1=36
D.直线BD1与AC所成角的余弦值为66
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．经过点（1,2）的直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为
13．已知圆O1: x2+y2=1，圆O2:(x+3)2+(y−a)2=16，.如果这两个圆相切，·则实数a的值是
14．在ΔABC中，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点F，若AC=6,FB=3FC，则ΔABC的面积的最大值为 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）第3页共4页（高二数学）
15．（本小题满分13分）
如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，AA1=AB=2AC,,AB⊥AC，D为AC的中点.
（1）证明： B，C／／平面BA1D
（2）若AB=4，求直线AD B1C1所成角的余弦值.
16．（本小题满分15分）
在平面直角坐标系xOy中，已知两直线l：:x-3y-3=0和l2:x+y+1=0，定点A（1,2）．
（1）若l与l2相交于点P，求直线AP的方程；
（2）若l2恰好是ΔABC的角平分线BD所在的直线，l1是中线CM所在的直线，求ΔABC 的边BC所在直线的方程.
17．（本小题满分15分）
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，且离心率为22，O为坐标原点.
（1）求E的方程；
（2）过点P（0,2）且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求ΔOAB面积的最大值及此时直线l的方程.18．（本小题满分17分）第4页共4页（高二数学）
在三棱锥P-ABC中，平面PACL平面ABC，ΔPAC为等腰直角三角形，PALPC，AC⊥BC,BC=2AC=4, M为AB的中点.
（1）求证：ACLPM；
（2）求直线CM与平面PBC所成角的正弦值；
（3）在线段PB上是否存在点N使得平面CMNL平面PBC？若存在，求出PNPB的值，若不存在，说明理由.
19．（本小题满分17分）
在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程x2+(y−4)2=4,
（1）若过点A（-2,1）的直线与圆C相切，求切线的方程；
（2）点P在直线y=12x上，过P作圆C的切线PM,PN，切点分别为M,N，问经过P，M，N的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标；
（3）过点Q(4,2)的动直线l与圆C交于E，F两点，线段EF的中点为G，若ΔOQ构成等腰三角形，求此时点G的坐标.