天津市第二南开学校2024-2025学年高二下学期期中质量调查数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份天津市第二南开学校2024-2025学年高二下学期期中质量调查数学试卷（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了 的展开式中的系数为， 若，，，则以下不等式正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题3分，共27分.
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目)
1. 下列选项正确是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望等于（ ）
A. B. C. D.
3. 化简多项式结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ）

A. B.
C D.
5. 某校高二年级组织春游，已知该校1~8班每班30人，9~20班每班40人，且1~8班前往“庐山”景区，9~20班前往“武功山”景区.若游客对“庐山”景区的满意度为，对“武功山”景区的满意度为，现从该校随机抽取一名高二学生，则对所游景区感到满意的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 在某颁奖仪式上，队员人（其中人为队长）)，教练组人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组要求相邻并站在边上，不同的站法种数共有（ ）
A. B. C. D.
7. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 120D. 200
8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 某次乒乓球比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为p(0≤p≤1)，实际比赛局数的期望值记为，下列说法不正确的是（）
A. 三局就结束比赛的概率为B. 的常数项为3
C. 函数在上单调递减D.
第Ⅱ卷(非选择题 共73分)
注意事项：
1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.
2. 本卷共11 题，共73分.
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
10. 展开式的二项式系数和为__________________，_______________. (用数字作答)
11. 从装有大小完全相同的m个白球，n个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为X，若，则__________，__________．
12. 某校高三班第一小组有男生人，女生人，现从中抽取人参加学校开展的劳动技能竞赛，则恰有一名女生参赛的概率为________；在至少有一名女生参赛的条件下，都是女生参赛的概率为___________.
13. 若是函数的极值点，则的值为___________.
14. 如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法.(用数字作答)
15. 已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是_____
三、解答题(本大题共5 小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. 已知函数
（1）若曲线在点处切线斜率为求的值；
（2）若有个实数解，求的取值范围.
17. 已知展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.
（1）求n的值；
（2）系数最大的项．
18. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情.某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答.已知小明只能答对其中的6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数的分布列和期望；
（2）求小明至少答对一道题的概率.
19. 已知函数，.
（1）求的单调区间和极值；
（2）若在单调递增， 求的取值范围;
（3）当时，若，对使得，求的取值范围.
20. 已知函数.
（1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论方程根的个数.
高二数学
第Ⅰ卷 (选择题 共27分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题3分，共27分.
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目)
1. 下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的运算法则可判断A选项；利用基本初等函数的导数公式可判断BC选项；利用复合函数的求导法则可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A对，
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D错.
故选：A.
2. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望等于（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由概率的性质求得，进而根据题意求期望即可.
【详解】由已知得，
则，
所以.
故选：C.
3. 化简多项式的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过观察题目中多项式的每一项，可以看作，由此得到这个多项式是哪个对应的二项式的展开式.
【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作，
故为的展开式，化简.
故选：D.
4. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式.
【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 .
从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意.
2. 当 时，此时不等式 等价于 .
由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意.
综上，不等式 的解集是 ，
故选：B.
5. 某校高二年级组织春游，已知该校1~8班每班30人，9~20班每班40人，且1~8班前往“庐山”景区，9~20班前往“武功山”景区.若游客对“庐山”景区的满意度为，对“武功山”景区的满意度为，现从该校随机抽取一名高二学生，则对所游景区感到满意的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.
【详解】设“任抽一名高二学生对所游景区感到满意”，“抽到1~8班的学生”，“抽到9~20班的学生”，
，
，
所以.
故选：D
6. 在某颁奖仪式上，队员人（其中人为队长）)，教练组人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组要求相邻并站在边上，不同的站法种数共有（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解.
【详解】选择左、右两边其中一边将教练组人捆绑看作一个整体安排，共有种排法，
将剩余的名队员全排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理可知，满足条件的排法种数为.
故选：B.
7. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 120D. 200
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.
【详解】展开式的通项公式为，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
据此可得：的系数为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.
8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可.
【详解】因为，
令，定义域为，则，
当时，，当 时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，
又，所以，
所以，即.
故选：D.
9. 某次乒乓球比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为p(0≤p≤1)，实际比赛局数的期望值记为，下列说法不正确的是（）
A. 三局就结束比赛的概率为B. 的常数项为3
C. 函数在上单调递减D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】设实际比赛局数为，先计算出X可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项.
【详解】对于A，设实际比赛局数为，则的可能取值为．
所以，，
，
因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；
对于B，故
，
由知常数项为3，故B正确；
对于D，，故D正确；
对于C，，
因为，所以，
令，则；令，则，
则函数在上单调递增，则C不正确．
故选：ABD．
第Ⅱ卷(非选择题 共73分)
注意事项：
1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.
2. 本卷共11 题，共73分.
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
10. 展开式的二项式系数和为__________________，_______________. (用数字作答)
【答案】 ①. 32 ②. 2
【解析】
【分析】利用二项式系数的定义可求二项式系数和，利用赋值法可求的值.
【详解】由题意可知，所以的展开式的二项系数和为.
令，可得，
所以，
令，可得，
所以.
故答案为：①；②.
11. 从装有大小完全相同的m个白球，n个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为X，若，则__________，__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】第一空：表示出摸到白球的概率，由二项分布的期望公式求出即可；第二空：由直接求解即可.
【详解】由题意知：摸到白球的概率为，则，则，解得；
摸到白球的概率为，则.
故答案为：2；.
12. 某校高三班第一小组有男生人，女生人，现从中抽取人参加学校开展的劳动技能竞赛，则恰有一名女生参赛的概率为________；在至少有一名女生参赛的条件下，都是女生参赛的概率为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得事件“恰有一名女生参赛”的概率；记事件抽取的人中，至少有一名女生，记事件抽取的人都是女生，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】由古典概型的概率公式可知，从中抽取人参加学校开展的劳动技能竞赛，则恰有一名女生参赛的概率为；
记事件抽取的人中，至少有一名女生，记事件抽取的人都是女生，
则，所以，，，
由条件概率公式可得.
故答案为：；.
13. 若是函数的极值点，则的值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知，据此可求出，然后针对的每一个值，进行讨论，看是不是函数的极值点，综合即可得答案.
【详解】解：根据题意，，
得，
由题意可知，
解得或，
当时，，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；
当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，
故答案为：3.
【点睛】本题考查利用导数分析函数的极值，本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.
14. 如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法.(用数字作答)
【答案】480
【解析】
【分析】由分步乘法计数原理即可求解．
【详解】先给地区I染色有6种选择，再给地区II染色有5种选择，然后给地区III染色有4种选择，最后给地区IV染色也有4种选择，
综上所述，满足题意的染色方法共有种．
故答案为：480．
15. 已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】解法一：设，利用导数可得，令，则可得，然后证明不等式恒成立即可；解法二：将问题转化为在区间上恒成立，然后构造函数，利用函数的单调性可求出实数的取值范围.
【详解】解法一：设，当，，
当，，所以在上递减，在上递增，
所以，故.
①一方面，在条件中，令，即得.
假设，则，从而，矛盾.
所以一定有.
②另一方面，若，
首先有，
以及.
将两个不等式相加，就得到，
从而.
由于，故，
所以对任意，有.
而对任意的，显然也有，
所以，从而时条件一定满足.
综合①②两个方面，可知的取值范围是.
解法二：不等式在区间上恒成立，等价于
在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则，，
所以在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是利用指对同构将问题转化为在区间上恒成立，然后构造函数，利用导数求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
三、解答题(本大题共5 小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. 已知函数
（1）若曲线在点处的切线斜率为求的值；
（2）若有个实数解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义可得，解之即可；
（2）利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出当方程有个实数解时实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以，
由导数的几何意义可得，整理可得，解得.
【小问2详解】
由可得或，列表如下：
所以，函数的增区间为和，减区间为，
函数的极大值为，极小值为，如下图所示：
由图可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点，
此时，方程有个实数解.
故实数的取值范围是.
17. 已知展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.
（1）求n的值；
（2）系数最大的项．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）第二项与第三项的二项式系数之比为；
（2）求二项式系数的最大项，即这一项大于前一项，也大于后一项，列式即可.
【小问1详解】
因为第二项与第三项的二项式系数之比是，
则，即，解得(舍)或，
所以n值为6.
【小问2详解】
的展开式的通项为，
令，解得，
又，，
展开式中系数最大的项为第项，且．
18. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情.某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答.已知小明只能答对其中的6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数的分布列和期望；
（2）求小明至少答对一道题的概率.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据离散型分布列的解题步骤，结合数学期望的定义，可得答案；
（2）根据题意，求出小明答对0道题的概率，可得答案.
【小问1详解】
由题意可知，
则，，
，，
所以的分布列如下：
.
【小问2详解】
设小明至少答对一道题为事件
则.
故小明至少答对一道题的概率为.
19. 已知函数，.
（1）求的单调区间和极值；
（2）若在单调递增， 求的取值范围;
（3）当时，若，对使得，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解；
（2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解；
（3）由题意得出，利用导数求解即可.
【小问1详解】
因为，定义域为R，，
由可得，由可得，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，
所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
【小问2详解】
，其中，
则，
因为在单调递增，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，即，，
设，，H'x=ex+xex=x+1ex>0，
所以在上单调递增，所以，所以，
故的取值范围为.
【小问3详解】
当时，若，对使得，则，
由（1）可知，函数在上单调递增，
故当时，，
当时，，其中，则，
此时，函数在上为减函数，
故当时，，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
20. 已知函数.
（1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论方程根的个数.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求得函数在区间上的最大值，由此可得出实数的取值范围；
（2）构造函数，分和，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断出函数的零点个数，由此可得出结论.
【详解】（1），定义域为，
由题意知对任意的恒成立，
即，，故.
因此，实数的取值范围是；
（2），即，设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
，，故函数有唯一零点；
当时，，
令，得或；令，得.
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
极大值为，
设，则恒成立，
故函数单调递增，故，
故函数在上无零点.
，，
故函数在上有唯一零点.
综上所述，当时，方程有且仅有一个根.
【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.

0
1
2





0
1
2




单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增