天津市第二南开学校2024-2025学年高二下学期蓄力跨越计划（3月月考）数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份天津市第二南开学校2024-2025学年高二下学期蓄力跨越计划（3月月考）数学试卷（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共27分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，则（ ）
A 1B. 2C. -1D. -2
3. 有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是（ ）
A. 12B. 64C. 81D. 256
4. 如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 在 上 是增函数B. 在 上是减函数
C. 当 时，取极大值D. 当 时，取极大值
5. 从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为
A. 24B. 18C. 12D. 6
6. 函数的大致图象是（ ）
A B.
C. D.
7. 若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
①函数存在两个不同的零点
②函数既存在极大值又存在极小值
③当时，方程有且只有两个实根
④若时，，则的最小值为2
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第II卷（非选择题，共73分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填在题中的横线上）
10. 学校举行运动会，小明同学准备在某六个比赛项目中，选择参加其中三个项目的比赛．根据赛程安排，在这六个比赛项目中，100米赛跑与200米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加．则不同的报名方法数为________．（用数字作答）
11. 已知函数在上为减函数，则的取值范围是________．
12. 是函数的极值点，则的值为________．
13. 函数在区间上有最大值，则的取值范围是________．
14. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有__________种.（用数字作答）

15. 已知函数，若函数（为常数）有且仅有4个零点，则的取值范围是______.
三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 已知函数．
（1）求函数单调区间；
（2）求函数的极值．
17. 已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）若曲线，求曲线过点的切线方程．
18. 已知 ()
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值．
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
19. 已知为常数，求函数在区间上最大值．
20 设函数
（1）若在，x处取得极值，
①求a、b的值；
②在存在，使得不等式成立，求最小值
（2）当b＝a时，若在上是单调函数，求a的取值范围．
（参考数据，）
高二年级“蓄力跨越”计划数学学科试卷（3月）
温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分．考试时间90分钟，祝同学们考试顺利!
第I卷（选择题，共27分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由基本初等函数的导数公式及运算逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D
2. 已知，则（ ）
A. 1B. 2C. -1D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
按照求导法则对函数进行求导，令代入导数式即可得解.
【详解】函数，则，
令代入上式可得，解得.
故选：C
【点睛】本题考查导数的运算法则，属于基础题.
3. 有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是（ ）
A. 12B. 64C. 81D. 256
【答案】C
【解析】
【分析】由分步乘法计算可得.
【详解】由题意可得每个信号灯有三种情况，各自独立，所以一共有种.
故选：C
4. 如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 在 上 是增函数B. 在 上是减函数
C. 当 时，取极大值D. 当 时，取极大值
【答案】C
【解析】
【分析】观察导函数 的图象，根据函数的单调性与导数之间的关系，判断函数单调性，继而判断函数的极值点，即可得答案.
【详解】观察的图象可知，
当时，导函数的图象先负后正，故函数先递减，后递增，故A错误；
当 时，导函数先正后负，函数先增后减，故B错误
当 时，函数递增，时 ，函数单调减，
故得到函数在处取得极大值，C正确；
当 时，函数递减，时 ，函数单调增，
故得到函数在处取得极大=效值，故D错误
故选：C
5. 从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为
A. 24B. 18C. 12D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．
6. 函数的大致图象是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，进而可得出函数的图象.
【详解】，，
所以当时，，当时，，
所以函数在上是增函数，在上是减函数，.
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性与极值是解决本题的关键．难度中等．
7. 若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.
【详解】函数的导数为，
令，则或，
上单调递减，上单调递增，
所以0或是函数y的极值点，
函数的极值为：，
函数恰有三个零点，则实数取值范围是：.
故选B.
【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.
8. 已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先构造函数，利用导数判断该函数的单调性；再利用单调性判断各个选项即可.
【详解】设，，则，
因为，所以，
得到，则函数在区间上单调递增，
所以，即，则，故B错误，
而，，得到，故C错误，D正确，
而依据已知条件无法确定A，故A错误.
故选：D.
9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
①函数存在两个不同的零点
②函数既存在极大值又存在极小值
③当时，方程有且只有两个实根
④若时，，则的最小值为2
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】对于①，由，求解即可；对于②，求导，判断函数的单调性求解；对于③④，结合函数的图象进行判断求解．
【详解】对于①，由，得，解得，故①正确；
对于②，，
由，得，
由，得或，
则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，故②正确；
对于③，当时，，
函数的图象如图所示：
函数的最小值是，
当时，方程有且只有两个实根，故③正确；
对于④，，由图象知，若时，，则t的最大值是2，故④错误．
故选：C
第II卷（非选择题，共73分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填在题中的横线上）
10. 学校举行运动会，小明同学准备在某六个比赛项目中，选择参加其中三个项目的比赛．根据赛程安排，在这六个比赛项目中，100米赛跑与200米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加．则不同的报名方法数为________．（用数字作答）
【答案】12
【解析】
【分析】按照其余两个项目全选或其余两个项目选其一，这两种情况来分析.
【详解】分为两类：
①其余两个项目全选：种，
②其余两个项目选其一：种，
共种.
故答案为：12
11. 已知函数在上为减函数，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数将原问题转化为导函数恒成立问题，结合分离参数法求解参数范围即可.
【详解】因为，所以，
因为函数在上为减函数，所以当时，恒成立，
则在上恒成立，令，且，
而，得到在上单调递减，
则，故
故答案为：
12. 是函数的极值点，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由求得的可能取值，再通过验证来确定正确答案.
【详解】，
由于是函数的极值点，
所以，
，解得或.
当时，，
则在上单调递减，
在上单调递增，所以是的极小值点，符合题意.
当时，，
在上单调递增，没有极值点，不符合题意.
综上所述，的值为.
故答案为：
13. 函数在区间上有最大值，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围
【详解】，，
令 解得；令 ，解得或，
由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处有极大值，在处有极小值，
即，解得，
故答案为：
14. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有__________种.（用数字作答）

【答案】1560
【解析】
【分析】分别用3种颜色、4种颜色、5种颜色涂色即可.
【详解】如图所示，

用3种颜色涂色，则①、③⑤同色、②④同色，所以涂色方案有种，
用4种颜色涂色，则①、③、⑤、②④同色或①、③⑤同色、②、④，所以涂色方案有种，
用5种颜色涂色，则①、③、⑤、②、④异色，所以涂色方案有种，
所以涂色方案共有种.
故答案为：1560.
15. 已知函数，若函数（为常数）有且仅有4个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分析可得原题意等价于与有4个不同的交点，求导，利用导数判断原函数的单调性与极值，结合图象分析判断.
【详解】令，则，
原题意等价于与有4个不同的交点，
当时，则，可得，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0；
当，则开口向下，对称轴，可得；
可得的图象，若与有4个不同的交点，则的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）见解析 （2）极小值，极大值
【解析】
【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系及导数法求函数单调性的步骤即可求解；
（2）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，的定义域为.
因为，所以
令即，解得，
令即，解得或，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.
【小问2详解】
由（1）可知，当变化时，的变化情况如下表：
所以的极小值为，
极大值为.
17. 已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）若曲线，求曲线过点的切线方程．
【答案】（1），；（2）或．
【解析】
【分析】(1)由已知可得，，列方程求a，b，(2)设设曲线与过点的切线相切于点，，则与直线PA的斜率相等，由此可求切点坐标，并求出对应的切线方程.
【详解】解：（1）的导数为，
由曲线在点，（1）处的切线方程为，
可得，即，
又（1），解得，
即有，；
（2）曲线，即，
导数，
设曲线与过点的切线相切于点，，
则切线的斜率，
所以切线方程为，
即，
因为点在切线上，
所以，
即，
即有，
所以，
解得或，
故所求的切线方程为或．
18. 已知 ()
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值．
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）令，易知是函数在上唯一的极小值点，故可求得最小值，计算并比较的大小即可求得最大值
（2）若函数在上单调递增，则在上恒成立，求得在的最小值即可
【小问1详解】
当时，，令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故是函数在上唯一的极小值点，故．
又，，故
【小问2详解】
,
若函数在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，即
所以实数的取值范围为．
19. 已知为常数，求函数在区间上的最大值．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】对的范围分类讨论，利用导数判断函数的单调性，进而求解最大值即可.
【详解】因为，所以，
当时，，，则在上单调递减，
得到在上的最大值为，
当时，令，解得，
当时，解得，此时，，
则在区间上单调递增，
故在上的最大值为，
当时，解得，
此时，当，，当，，
则在上单调递增，在上单调递减，
故在上的最大值为，
综上可得，当时，在上的最大值为，
当时，在上最大值为，
当时，在上最大值为.
20. 设函数
（1）若在，x处取得极值，
①求a、b的值；
②在存在，使得不等式成立，求最小值
（2）当b＝a时，若在上是单调函数，求a的取值范围．
（参考数据，）
【答案】（1）①；②．
（2）
【解析】
【分析】（1）①先对函数进行求导，根据函数在取得极值，则，代入可求a，b的值．
②转化为，从而求函数在区间上的最小值，从而求c的值
（2）此时，
先说明当符合条件，当时，分讨论在上的正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a的取值范围.
【小问1详解】
①∵，∴．
∵在x＝1，x处取得极值，∴
即，解得，
∴所求a、b的值分别为；
②在存在，使得不等式成立，只需，
由，
∴时，，故在单调递减；
当时，，故在是单调递增；
当时，，故在是单调递减；
∴是在上的极小值．
，
且，
又，∴，
∴，∴，
∴c的取值范围为，
所以c的最小值为．
【小问2详解】
当a＝b时，，
当时，．则在上是单调递增；
当时，∵，∴，∴，则在上是单调递增；
当时，设，只需，从面得，
此时在上是单调递减；
综上得，a的取值范围是．
0
0
递增
极大值
递减
极小值
递增