四川省自贡市富顺县东湖学区联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省自贡市富顺县东湖学区联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. 2，3，4C. 7，8，9D. 9，12，15
3. 点到原点的距离是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 7
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则化简后的结果是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A. －4和－3之间B. 3和4之间C. －5和－4之间D. 4和5之间
7. ，则结果为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 3
8. 如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 （ ）厘米．
A. 10B. 15C. 9D.
二、填空题（共6小题，每小题3分）
9. 要使二次根式有意义，则取值范围是________．
10. 在实数范围内分解因式：＝______．
11. 若一个等腰直角三角形的斜边长为，则这个三角形的面积为____________．
12. 命题：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是：____（填“真命题”或“假命题”）．
13. 规定，，则_________；
14. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是______．
三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）
15. 计算：．
16. 如图，在中，，，．

（1）求的面积；
（2）求斜边的长．
17. 已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： ．
18. 若，且，求的取值范围．
19. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，请证明为直角三角形，并求出其面积．
四、解答题（共3个小题，每小题6分，共18分）
20. 已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根．
21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求度数．
（2）海港受台风影响吗？什么？
（3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22. 利用平方去根号可以用一个无理数构造一个整系数方程．
例如：,移项得,两边平方得,∴,即．
结合上面例子完成下面题目：已知．
求（1）的值．
（2）的值．
五、解答题（共2个小题，第 23 题 7分，第 24 题 8 分，共15分）
23. 新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”
（1）如图1，已知四边形是垂美四边形．若，探究a，b，c，d的数量关系．
（2）如图2，在长方形中，，P是边上一点，且，求的长
24. 在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有．
（1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与大小关系，并证明；
（2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积．
2025年春八年级数学学科第一次质量监测卷
温馨提示：本卷共五大题，满分100分，120分钟完卷．答题前，监测生请将自己的姓名、监测号等填写在答题卡上．答卷时，必须将答案认真填写在答题卡相应的题号中．
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么这个根式叫做最简二次根式．
【详解】解：A、原式，故A符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：A
2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. 2，3，4C. 7，8，9D. 9，12，15
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴能构成直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
3. 点到原点的距离是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中点到原点的距离，根据点到原点的距离可利用勾股定理进行求解即可解答．
【详解】解：点到原点的距离是，
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【详解】解：A．与不能合并，所以A选项错误；
B．原式，所以B选项错误；
C．原式，所以C选项准确；
D．原式，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5. 若，则化简后的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据有意义可得，再结合，化简．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由得到是解题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A. －4和－3之间B. 3和4之间C. －5和－4之间D. 4和5之间
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理求出OP，从而得到OA的长度，问题可解．
【详解】由点P坐标为(－2，3)，
可知OP=,
又因为OA=OP,
所以A的横坐标为-，介于－4和－3之间，
故选A．
7. ，则的结果为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，根据算术平方根的非负性，偶次幂的非负性求出m，n的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
8. 如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 （ ）厘米．
A 10B. 15C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最短问题：过C作于Q，作A关于的对称点，连接交于P，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：将圆柱体展开，过C作于Q，作A关于的对称点，连接交于P，连接，
则：，的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
由题意，得：，
∴，
在中，由勾股定理，得：；
即：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15厘米；
故选B．
二、填空题（共6小题，每小题3分）
9. 要使二次根式有意义，则的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：要使二次根式有意义，
，解得，
故答案为：．
10. 在实数范围内分解因式：＝______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式，得．
【详解】解：根据平方差公式，得
故答案为：．
【点睛】此题考核知识点：平方差公式，解题的关键在于将式子化为形式．
11. 若一个等腰直角三角形的斜边长为，则这个三角形的面积为____________．
【答案】32
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，利用平方根解方程，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
设等腰直角三角形的腰为，由题意得，，求出腰长，即可求解面积．
【详解】解：设等腰直角三角形的腰为，
由题意得，，
解得：（舍负），
∴面积为：，
故答案为：32．
12. 命题：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是：____（填“真命题”或“假命题”）．
【答案】真命题
【解析】
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案
【详解】“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是“如果a=b，那么|a|＝|b|．”
“如果a=b，那么|a|＝|b|”是真命题，
故答案为：真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
13. 规定，，则_________；
【答案】3
【解析】
【分析】利用定计算，利用计算的值．
【详解】解：∵
=
，
∵
∴
=
所以
故答案是：3
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键是理解新定义运算规则，利用规则转化为四则运算．
14. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】先证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，再由勾股定理得出BC2＝（4＋2）x2，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝675°，
∴∠PBG＝22.5°，
又∵∠DBC＝45°，
∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，
∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG＝CG．
设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，
∴EG＝2x，FG＝x，
∵四个全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝x，
∴BG＝x＋x，
∴BC2＝BG2＋CG2＝x2（+1）2＋x2＝（4＋2）x2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）
15. 计算：．
【答案】2．
【解析】
【详解】试题分析：根据二次根式的乘法以及合并同类二次根式进行计算即可．
试题解析：原式==2．
16. 如图，在中，，，．

（1）求面积；
（2）求斜边的长．
【答案】（1）30 （2）13
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理：
（1）根据三角形的面积公式计算，即可求解；
（2）根据勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：．
17. 已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用数轴确定式子的符号、二次根式的性质及绝对值的意义，根据数轴确定，，的符号是解题关键．先利用数轴得出，，的符号，再利用二次根式的性质化简得出答案即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，，
∴
．
18. 若，且，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方根的定义和不等式的解法，理解平方根的定义是解答关键．
根据平方根的定义求得，再利用此条件得到，解不等式求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得
．
19. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，请证明为直角三角形，并求出其面积．
【答案】证明见解析，5
【解析】
【分析】由勾股定理和勾股定理的逆定理证明，即可得出结论；再根据直角三角形面积公式计算出面积．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，，
∴的面积．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
四、解答题（共3个小题，每小题6分，共18分）
20. 已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了无理数的估算，求一个数的平方根；首先可以估算的整数部分是3，小数部分是；将其代入求平方根计算可得答案．
【详解】解：由题意得：，，
．
的平方根为．
21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求的度数．
（2）海港受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）；（2）海港受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为小时．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1），，，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°；
（2）海港受台风影响，
过点作，

是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响．
（3）当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
22. 利用平方去根号可以用一个无理数构造一个整系数方程．
例如：,移项得,两边平方得,∴,即．
结合上面例子完成下面题目：已知．
求（1）的值．
（2）的值．
【答案】（1）1；（2）2018
【解析】
【分析】（1）先移项，再将等式两边同时平方，利用完全平方公式展开即可求解；
（2）利用（1）中求得等式，再将提取公因式即可求解．
【详解】（1）
移项得
两边平方得
所以
故答案为：1
（2）∵
∴
∴
=
=
=
=
=
=-1+2019
=-2018
故答案为：2018
【点睛】本题考查了因式分解的应用，用提公因式法先化简再求值：当已知条件不容易解出每个字母的取值时，可通过提公因式构造已知条件中式子的值，然后运用整体代入求出代数式的值；以及完全平方公式的应用．
五、解答题（共2个小题，第 23 题 7分，第 24 题 8 分，共15分）
23. 新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”
（1）如图1，已知四边形是垂美四边形．若，探究a，b，c，d的数量关系．
（2）如图2，在长方形中，，P是边上一点，且，求的长
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，理解新定义，灵活运用勾股定理构建方程是解题的关键．
（1）根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理即可得出结论；
（2）连接，先证明四边形是垂美四边形，再利用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是“垂美四边形”，
∴，
∴
由勾股定理得，，
∴，即；
【小问2详解】
解：如图，连接，
设，则，
∵，
∴四边形是“垂美四边形”，
∴
∵四边形是长方形，
∴
∴，
解得：(负值舍去)，
∴．
24. 在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有．
（1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积．
【答案】（1）猜想： ，证明见解析；（2）猜想：，证明见解析；（3）四边形ABCD的面积是米2．
【解析】
【分析】（1）先作高线如图2，过点作于点，构造两个直角三角形，设，则，由勾股定理和AD构造等式 ，利用放缩法可得
（2）先作高线如图3，过点作，交的延长线于点，构造两个直角三角形设，则，利用勾股定得，整理得，利用放缩法
（3）如图4，连接．过点作于点E，由勾股定理求出 设，则EC=100-x，由勾股定理构造方程，解方程的，再求出DE，利用分割法求面即可
【详解】解：（1）猜想： ，
证明：如图2，过点作于点，设，则，
在Rt中，有,
在Rt中，有 ，
∴ ，
解之：，
∵均正数，∴ ；
（2）猜想：
证明：如图3，过点作，交的延长线于点，设，则，
在Rt中，有，
在Rt中，有 ，
∴，
解之：，
∵均为正数，∴ ；
（3）如图4，连接．
在Rt中，有，
∴，
∵，∴ ，
过点作于点E，
设，则EC=100-x，
在Rt中，有，即，
在Rt中，有，即 ，
∴，
解之：，
在Rt中，有，
∴DE=（取正），
∴DE=，
∴，
=，
=（米2），
∴四边形ABCD的面积是米2．
【点睛】本题考查作高线，勾股定理，利用勾股定理推出锐角三角形，钝角三角形结论，用分割法求四边形面积，掌握高线最烦，利用勾股定理构造方程，判读锐角三角形与钝角三角形，利用分割法四边形求面是解题关键．