上海市杨浦区2024-2025学年高一下学期期中调研数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份上海市杨浦区2024-2025学年高一下学期期中调研数学试卷（原卷版+解析版），共15页。
一、填空题(本大题共有 12 小题，满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果， 每题每个空格填对得 3 分， 否则一律得 0 分.
1. 已知全集 ，集合 ，则 _____.
2. 函数y＝的定义域为_____．
3. 已知扇形的圆心角为 ，半径为 1，则扇形的弧长是_____.
4. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，且，则实数 的值为_____.
5. 已知函数，则函数的最小值为_____.
6. 函数 的图像过定点_____.
7. 已知函数，则关于的方程的解为_____.
8 已知，则_____________．
9. 若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
10. 函数部分图象如图，则该函数的单调增区间为_____.

11. 下列函数 的最小正周期是 的序号是_____.
① ；② ； ③ ；
④ ； ⑤ .
12. 若常数，则关于的方程的实数根的个数是_____.
二、选择题(本大题共有 4 题，满分 14 分，第 13、14 题每题 3 分，第 15、16 题每题 4 分) 每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. “”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C 充要条件D. 既非充分又非必要条件
14. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
15. 生物丰富度指数是河流水质一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ）
A. B. C. D.
16. 已知狄利克雷函数 ，符号函数 ，这两个函数在数学和计算机等领域中有着广泛的应用. 有以下两个结论:
①函数 是奇函数且该函数在区间 上的有理数零点恰有 3 个；
②函数 既是偶函数，又是增函数. 那么 ( ).
A. ①正确②错误B. ①错误②正确
C. ①正确②正确D. ①错误②错误
三、解答题(本大题满分 50 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤
17. 已知集合 ，集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
18. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角的值；
（2）求的值．
19. 已知函数，其中.
（1）求证：该函数是偶函数而不是奇函数；
（2）若，求的值.
20. 上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到)

（1）若，求长；
（2）记，求人行道路长度的最小值.
21. 若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”.
（1）判断与是否为 “共零函数”，并说明理由；
（2）已知与是一对“共零函数”，求的值；
（3）已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值.
2024 学年度第二学期高一年级数学学科调研卷
(满分 100 分 时间 90 分钟)
2025 年 4 月
一、填空题(本大题共有 12 小题，满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果， 每题每个空格填对得 3 分， 否则一律得 0 分.
1. 已知全集 ，集合 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】利用集合补集的概念直接求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
2. 函数y＝的定义域为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x即可．
详解】解：若函数有意义，则，
解得，
故函数的定义域为．
故答案为：．
3. 已知扇形的圆心角为 ，半径为 1，则扇形的弧长是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式直接计算即可.
【详解】扇形的圆心角为，半径为 1，
所以扇形的弧长为.
故答案为：.
4. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，且，则实数 的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用根与系数的关系求解即可.
【详解】一元二次方程的两个实数根分别为，
所以，又，所以，解得.
故答案为：.
5. 已知函数，则函数的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用正切函数单调性求出最小值.
【详解】在上单调递增，
故当时，函数取得最小值为.
故答案为：
6. 函数 的图像过定点_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数运算性质，即可得到定点.
【详解】令，则，
所以函数图象过定点，
故答案为：.
7. 已知函数，则关于的方程的解为_____.
【答案】
【解析】
分析】根据函数解析式代入运算得解.
【详解】由，可得，即，解得.
所以方程的解为.
故答案为：.
8. 已知，则_____________．
【答案】
【解析】
分析】利用二倍角公式和诱导公式计算.
【详解】，则.
故答案为：.
9. 若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值三角不等式可得，即可得求解，
【详解】由于，故，即，
当且仅当等号成立，即.
故答案为：
10. 函数的部分图象如图，则该函数的单调增区间为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象求函数解析式，再应用正弦型函数的性质求单调增区间.
【详解】由图，则，故，可得，
所以，则，
所以，可得，而，故，
所以，
令，则，
所以函数单调递增区间为.
故答案为：

11. 下列函数 的最小正周期是 的序号是_____.
① ；② ； ③ ；
④ ； ⑤ .
【答案】 ②⑤
【解析】
【分析】应用诱导公式及二倍角公式，同角三角函数关系，正弦及余弦函数的周期判断各个选项即可.
【详解】① ① 不正确；
② ，函数周期为 ，②正确；
③ ，，所以最小正周期不是 ，③不正确；
④ ④不正确 ；
⑤ ，函数周期为 ，⑤正确.
故答案为：②⑤.
12. 若常数，则关于的方程的实数根的个数是_____.
【答案】1
【解析】
【分析】问题化为，，的交点个数，结合幂函数、指数函数的性质判断即可得.
【详解】由题设，
令，，，
由幂函数、指数函数的性质易知在R上单调递增，在R上单调递减，
且，趋向于，趋向于；，趋向于，趋向于0；
所以与有且仅有一个交点，即原方程实数根个数为1.
故答案为：1
二、选择题(本大题共有 4 题，满分 14 分，第 13、14 题每题 3 分，第 15、16 题每题 4 分) 每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. “”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】，故，但时，与不一定相等，得到答案.
【详解】，故，充分性成立，
当时，与不一定相等，比如，
，但与不相等，必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
14. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用举反例法，结合不等式性质，可得A、B、D的正误，利用作差法，可得C的正误.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，由，则，故C正确；
对于D，当时，，则，故D错误.
故选：C.
15. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论．
【详解】由已知，，所以，即，∴，
故选：D．
16. 已知狄利克雷函数 ，符号函数 ，这两个函数在数学和计算机等领域中有着广泛的应用. 有以下两个结论:
①函数 是奇函数且该函数在区间 上的有理数零点恰有 3 个；
②函数 既是偶函数，又是增函数. 那么 ( ).
A. ①正确②错误B. ①错误②正确
C. ①正确②正确D. ①错误②错误
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的奇偶性的定义可判断及应用特殊三角函数值可判断①，对于分为无理数和有理数即可判断②.
【详解】的定义域为，当为有理数时，是有理数，则，
当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数，
故，是奇函数；
，当为有理数时，，得出在区间上有，3个有理数零点，①正确；
当为无理数时，，也为无理数，，；
当为有理数时，也为有理数，，
当时，，，
所以，
当时，，，，
所以，
所以不是偶函数，故②错误；
故选：A
三、解答题(本大题满分 50 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤
17. 已知集合 ，集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由绝对值不等式得出集合A，再应用集合的交集的定义运算即可；
（2）由已知可得，进而得到即可.
【小问1详解】
当时，，，
所以；
【小问2详解】
因为，
因为集合，集合，
所以，
所以实数的取值范围.
18. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）结合余弦定理进行求解即可；
（2）结合正弦定理进行求解即可.
【小问1详解】
由，
则，
又，则；
【小问2详解】
由（1）知，又，
则由正弦定理知，，即
.
19. 已知函数，其中.
（1）求证：该函数是偶函数而不是奇函数；
（2）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）或或或.
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性定义及正弦函数的性质判断奇偶性即可；
（2）由题设可得，结合角的范围求角的大小.
【小问1详解】
由的定义域为R，且，
又不恒等于0，故不恒成立，
所以该函数是偶函数而不是奇函数，得证；
【小问2详解】
由，，
所以或或或.
20. 上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到)

（1）若，求的长；
（2）记，求人行道路长度的最小值.
【答案】（1）米；
（2）米.
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合已知求其长度即可；
（2）由题意可得，应用二倍角正切公式、基本不等式求最小值，注意及取值条件，即可得.
【小问1详解】
由，又，
且，，则，
所以米；
【小问2详解】
由题设，知
，
由在的中点到之间运动（含端点），故，
而，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为米.
21. 若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”.
（1）判断与是否为 “共零函数”，并说明理由；
（2）已知与是一对“共零函数”，求的值；
（3）已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值.
【答案】（1）不是； （2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据指数函数、余弦函数的性质，应用方程法求零点，结合新定义判断即可；
（2）由正余弦型函数的性质求零点，再根据已知得，，即可得参数值；
（3）根据“共零函数”的定义分别求得、，结合的单调性即可得.
【小问1详解】
由指数函数的单调性知，在R上单调递增，且存在唯一零点，
由余弦函数的性质知，的零点为，
所以与不是 “共零函数”.
【小问2详解】
由，则，即，
由，则，即，
又与是一对“共零函数”，则，，
所以，即，；
小问3详解】
由，则，
又与是一对“共零函数”，则，
所以，
由，则，
由与也是一对 “共零函数”，则，
所以，即，
由在上单调递增，故，则.