2024-2025学年上海市杨浦区同济中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区同济中学高二（上）期中数学试卷（含解析），共17页。
2．（4分）在长方体的各条棱所在直线中，与直线异面且垂直的直线有 条．
3．（4分）等差数列中，，，则的公差为 ．
4．（4分）圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角 ．
5．（4分）若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．
6．（4分）如图所示，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小为 ．
7．（5分）若是无穷等比数列，首项，公比，则各项的和 ．
8．（5分）如图是一个棱长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是 ．
①直线与直线垂直；
②直线与直线相交；
②直线与直线平行；
④直线与直线异面．
9．（5分）一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为 厘米．
10．（5分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于 ．
11．（5分）已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为 ．
12．（5分）如图，长方体中，，，，为上的一个动点，则的最小值为 ．
二.选择题（共4小题，满分20分）
13．（5分）已知，是两条不同的直线，是一个平面，若，，则
A．B．与异面
C．与相交D．与没有公共点
14．（5分）“、、成等比数列”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．既非充分又非必要条件D．充要条件
15．（5分）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是
A．B．1C．D．
16．（5分）在正方体中，到四个顶点、、、距离相等的截面有
A．2个B．3个C．4个D．7个
三.解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）如图，在正方体中，棱长为2，、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的大小．
18．（14分）某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为，圆柱高为，底面的周长为．
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到；
（2）现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元）
19．（14分）如图，为圆锥顶点，为底面圆的圆心，，，分别为线段，弧，弧的中点，已知，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角．
20．（16分）已知数列中，，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
21．（18分）如图，长方体的底面为边长为1的正方形．
（1）求证：直线和为异面直线．
（2）若异面直线与所成角的大小为，求直线到底面的距离．
（3）若平面上有且仅有一点到顶点的距离为2，棱的中点为，求点到平面的距离．
参考答案
一.填空题（共12小题，满分54分，第1-6小题每题4分，第7-12小题每题5分）
1．（4分）“直线和平面相交于点”的符号表达为 ．
解：“直线和平面相交于点”的符号表达为．
故答案为：．
2．（4分）在长方体的各条棱所在直线中，与直线异面且垂直的直线有 4 条．
解：如图所示，
与直线异面且垂直的直线有，，，，共4条，
故答案为：4．
3．（4分）等差数列中，，，则的公差为 3 ．
【答案】3．
解：根据题意，设等差数列的公差为，
由于，，则．
故答案为：3．
4．（4分）圆锥底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角 ．
解：圆锥底面半径为，母线长为，
则它的侧面展开图扇形的圆心角所对的弧长为；
所以扇形的圆心角为．
故答案为：．
5．（4分）若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．
解：因为圆柱的侧面展开为正方形，所以圆柱的高等于底面周长，
则它的母线长和底面半径的比值是，化简为．
故答案为：．
6．（4分）如图所示，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小为 ．
解：连接，，如图所示：则，
故（或其补角）即为所求，
又，则，
故答案为：．
7．（5分）若是无穷等比数列，首项，公比，则各项的和 ．
【答案】．
解：无穷等比数列各项和存在的条件为，本题中，满足条件．
则各项和．
故答案为：．
8．（5分）如图是一个棱长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是 ①④ ．
①直线与直线垂直；
②直线与直线相交；
②直线与直线平行；
④直线与直线异面．
解：作出正方体得到直观图如图所示：
由直观图可知与为相互垂直的异面直线，故①正确；
与为异面直线，故②错误；
与为异面直线，故③错误；
直线与直线异面，故④正确．
故答案为：①④．
9．（5分）一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为 12 厘米．
解：
故答案为：12
10．（5分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于 ．
解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，
底面边长为，底面积为12，
设正四棱锥的高为，
则，解得，
则侧面与底面所成的二面角的正切，
二面角等于，
故答案为：．
11．（5分）已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为 ．
解：画出圆台的轴截面如图示，
则截面中圆为内切球的最大圆，且，，
，又上下底面周长分别为、，
该圆台的侧面积为．
故答案为：．
12．（5分）如图，长方体中，，，，为上的一个动点，则的最小值为 ．
解：如图，将旋转到平面，连接交于，
，，，，
，，
在△中，．
故答案为：．
二.选择题（共4小题，满分20分）
13．（5分）已知，是两条不同的直线，是一个平面，若，，则
A．B．与异面
C．与相交D．与没有公共点
【答案】
解：因为，是两条不同的直线，是一个平面，
若，，
则或与异面，即与没有公共点，
故只有满足题意．
故选：．
14．（5分）“、、成等比数列”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．既非充分又非必要条件D．充要条件
【答案】
解：①若、、成等比数列，则，充分性不成立，
②若时，满足，但、、不成等比数列，必要性不成立，
、、成等比数列是的既不充分也不必要条件，
故选：．
15．（5分）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是
A．B．1C．D．
【答案】
解：根据题意，在△中，，，由，得，
因此△的面积，
所以原三角形面积是．
故选：．
16．（5分）在正方体中，到四个顶点、、、距离相等的截面有
A．2个B．3个C．4个D．7个
【答案】
解：，是异面直线
和、、、距离相等的截面，
应该是和异面直线公垂线垂直且过中点的平面，即正方体上下方向的中截面，
同理，正方体前后方向的中截面，左右方向的中截面都满足条件，
即如图所示，到四个顶点、、、距离相等的截面应有三个，
故选：．
三.解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）如图，在正方体中，棱长为2，、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的大小．
解：（1）证明：如图，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，，1，，，1，，
所以，
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
因为，所以，
因为平面，
所以平面；
（2）因为，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
所以，
设与平面所成角为，
则，
因为，
所以与平面所成角为．
18．（14分）某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为，圆柱高为，底面的周长为．
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到；
（2）现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元）
【答案】（1）；
（2）138.7元．
解：（1）设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，圆柱高为，
则由题意有，得，圆锥高，
所以“笼具”的体积．
（2）圆柱的侧面积，圆柱的底面积，
圆锥的侧面积，
所以“笼具”的侧面积．
故造50个“笼具”的最低总造价为元．
答：这种“笼具”的体积约为；生产50个笼具需要138.7元．
19．（14分）如图，为圆锥顶点，为底面圆的圆心，，，分别为线段，弧，弧的中点，已知，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角．
【答案】（1）证明：因为，分别为弧，弧的中点，
所以与是两条互相垂直的直径，
即，
又为圆锥顶点，为底面圆的圆心，
所以底面圆，
又因为底面圆，
所以，
又因为，，平面，
所以平面；
（2）．
解：（1）证明：因为，分别为弧，弧的中点，
所以与是两条互相垂直的直径，
即，
又为圆锥顶点，为底面圆的圆心，
所以底面圆，
又因为底面圆，
所以，
又因为，，平面，
所以平面；
（2）连接，
易知，
由（1）知，
故为二面角的平面角，
因为，，
过作垂直，垂足为，
因为是线段的中点，所以为的中点，
所以，，
在直角△中，
．
故．
20．（16分）已知数列中，，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
解：（1），，
，
，
数列是以2为公比的等比数列，
（2）由（1）知，数列是等比数列，且，首项为，
，
，
数列的前项和．
21．（18分）如图，长方体的底面为边长为1的正方形．
（1）求证：直线和为异面直线．
（2）若异面直线与所成角的大小为，求直线到底面的距离．
（3）若平面上有且仅有一点到顶点的距离为2，棱的中点为，求点到平面的距离．
解：（1）证明：因为平面，与平面交于点，
且点不在直线上，所以直线和为异面直线．
（2）连接，因为，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
所以直线到底面的距离即为点到底面的距离，
因为，所以为异面直线与所成的角，
所以，
因为正四棱柱中，平面，
平面，所以线段的长为直线到底面的距离，
因为在△中，，，
所以，所以直线到底面的距离为；
（3）若平面上有且仅有一点到顶点的距离为2，
则，分别连接．，．，因为棱的中点为，所以，
所以，因为底面，所以为三棱锥的高，
设点到平面的距离为，，
因为平面 且平面，所以，
所以三角形为直角三角形，所以，
设点到平面的距离为，则根据，
即，解得．
所以点到平面的距离为．