上海市市西中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份上海市市西中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共9页。
一、填空题（本大题满分 36 分）只要求直接填写结果，每题填对得 3 分，否则一律得零 分.
1. 函数的最小正周期为_____.
2. 已知为第二象限角，角的终边上一点的坐标为，则 _____.
3. 半径为3的扇形面积为π，则此扇形的弧长为_____.
4. 设 、 为夹角为 的单位向量，求 _____.
5. 函数 在 上的单调递减区间为_____.
6. 中，若 ，则该三角形的最大角为_____
7. 函数图像的对称中心的坐标是_____
8. ，，若，且，求 _____.
9. 在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点） ，若，则的最小值为_____
10. 如图为函数 的部分图象，则 的值为_____
11. 已知，若关于的方程，对任意的都至少有2个不同解，则实数的取值范围是_____.
12. 对任意两个非零平面向量、，定义.若平面向量 、 满足 的夹角 ，且和都在集合中，则 _____.
二、选择题 （本大题满分 12 分） 本大题共有 4 题， 每题有且只有一个正确答案， 选对得 3 分， 否则一律得零分.
13. 在中，“”是“”（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则夹角为钝角
C. 若，则D. 若，则
15. 在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
16 对于函数 ，有下列四个命题
①任取，都有；
②（为正整数），对一切恒成立；
③若关于的方程有且只有2个不同的实根，则；
④函数有5个零点
上述四个命题中正确的个数为 （ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、
17. 已知两个不共线平面向量，记.
（1）若，求的值.
（2）若时，，求夹角.
18. 已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值，并确定的大小.
19. 如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记
（1）试用 表示出 ， ，以及此花园 面积.
（2） 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？
20. 已知函数，其中.
（1）当时，求的值域.
（2）当时，求的最大值.
（3）当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式.
21. 已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质；（直接写出结论）
（2）已知函数具有性质，且在区间 上有且仅有2个零点. 求出的取值范围.
（3）设函数具有性质，且在区间上的值域为 . 函数，满足，且在区间 上有且只有一个零点.求证：.
市西中学 2024 学年第二学期期中考试高一数学
（满分 100 分，答卷时间 100 分钟，闭卷）
一、填空题（本大题满分 36 分）只要求直接填写结果，每题填对得 3 分，否则一律得零 分.
1. 函数的最小正周期为_____.
2. 已知为第二象限角，角的终边上一点的坐标为，则 _____.
3. 半径为3的扇形面积为π，则此扇形的弧长为_____.
4. 设 、 为夹角为 的单位向量，求 _____.
5. 函数 在 上的单调递减区间为_____.
6. 中，若 ，则该三角形的最大角为_____
7. 函数图像的对称中心的坐标是_____
8. ，，若，且，求 _____.
9. 在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点） ，若，则的最小值为_____
10. 如图为函数 的部分图象，则 的值为_____
11. 已知，若关于的方程，对任意的都至少有2个不同解，则实数的取值范围是_____.
12. 对任意两个非零平面向量、，定义.若平面向量 、 满足 的夹角 ，且和都在集合中，则 _____.
二、选择题 （本大题满分 12 分） 本大题共有 4 题， 每题有且只有一个正确答案， 选对得 3 分， 否则一律得零分.
13. 在中，“”是“”（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则夹角为钝角
C. 若，则D. 若，则
15. 在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
16 对于函数 ，有下列四个命题
①任取，都有；
②（为正整数），对一切恒成立；
③若关于的方程有且只有2个不同的实根，则；
④函数有5个零点
上述四个命题中正确的个数为 （ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、
17. 已知两个不共线平面向量，记.
（1）若，求的值.
（2）若时，，求夹角.
18. 已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值，并确定的大小.
19. 如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记
（1）试用 表示出 ， ，以及此花园 面积.
（2） 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？
20. 已知函数，其中.
（1）当时，求的值域.
（2）当时，求的最大值.
（3）当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式.
21. 已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质；（直接写出结论）
（2）已知函数具有性质，且在区间 上有且仅有2个零点. 求出的取值范围.
（3）设函数具有性质，且在区间上的值域为 . 函数，满足，且在区间 上有且只有一个零点.求证：.