上海市杨浦区2024-2025学年高二下学期模拟质量调研数学试卷（含答案解析）

这是一份上海市杨浦区2024-2025学年高二下学期模拟质量调研数学试卷（含答案解析），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1. -3和5的等差中项是____________.
2. 若一个球的半径是1，则这个球的表面积是____________.
3. 在长方体中，直线与直线的位置关系是_______________；
4. 不透明的盒子里有2个红球、3个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从盒子里任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是____________.
5. 已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是，则该圆柱的高是____________.
6. 已知圆的方程是，则这个圆的半径是____________.
7. 一组从小到大排列的10个数据：0,1,2,3,4,8,9,10,11,13，这组数据的第80百分位数是____________.
8. 中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为____________.
9. 某高中为了了解高二年级学生的作业情况，利用随机数表对该校400名高二学生进行抽样，先将所有学生按进行编号，从中抽取40个样本.若从下面的随机数表中第1行第6列的数开始，依次向右，到行末后转至下一行的行首，逐个取样，直到取足样本为止，则得到的第3个样本编号是____________.
10. 双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是____________.
11. 已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中），则的最大值为____________.
12. 已知曲线. 给出下列四个结论：
①曲线关于直线对称；
②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；
③曲线上存在一点，使得到点的距离小于；
④曲线所围成区域的面积大于.
其中，所有正确结论的序号为_________.
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. 用数学归纳法证明，第一步应验证 （ ）
14. 在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ）
15. 某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门.已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比.现在等可能的从该校选取一名学生，设事件A为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是（ ）
16. 已知无穷数列是各项均为正数的严格减数列.若存在实数，对任意正整数都有成立，则称数列具有“性质”；若存在实数，对任意正实数，数列至多有一项属于开区间，则称数列具有“性质”.则数列具有“性质”是具有“性质”的（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18. 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点.
(1)求BC边所在直线的一般式方程；
(2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标.
19. 随着DeepSeek大模型的全面落地，人工智能行业迎来结构性变革.某人工智能实验室记录了5月17日至23日的模型训练任务情况，如下表所示.例如：17日为数据清洗任务，训练耗时9小时，模型准确率提升，当日效率（模型准确率提升值与训练耗时的比值）为.
(1)写出训练耗时的平均数、中位数、标准差和极差；
(2)从17日至23日这七天中，随机选取连续三天的数据，求这三天中至少有两天的当日效率不低于的概率；
(3)该实验室24日完成最终部署，耗时超过10小时.记17日至20日这四天训练耗时的方差为日至24日这四天训练耗时的方差为.若，求24日的训练耗时.
20. 如图，是等腰直角三角形，是BC中点，E、F分别是AB、AC边上的动点，且.将沿EF折起，点折起到点的位置，使二面角的大小为，连接PB、PC得到四棱锥.

(1)证明：直线平面PBC；
(2)若点是线段AB的中点，求PD和底面BCFE所成的角的大小；
(3)当点在线段AB上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值.
21. 如图，已知椭圆的焦距为2.若是椭圆的内接三角形，点在轴上方，PQ,PR分别经过椭圆的左右焦点，则称为“好三角形”.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若“好三角形”满足：，求点的坐标；
(3)证明：当点是椭圆的上顶点时，“好三角形”的面积最大.
上海市杨浦区2024-2025学年高二下学期模拟质量调研数学试卷
整体难度：适中
考试范围：数列、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、平面解析几何、平面向量、推理与证明、集合与常用逻辑用语
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．当时，不等式成立
B．当时，不等式成立
C．当时，不等式成立
D．当时，不等式成立
A．4
B．
C．2
D．-2
A．
B．A与不互斥
C．
D．A与相互独立
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
日期
17日
18日
19日
20日
21日
22日
23日
任务
数据清洗
模型调试
参数优化
轻度拟合
架构调整
算法优化
性能测试
训练耗时
9小时
12小时
14小时
12小时
14小时
12小时
14小时
准确率提升值
1.0％
1.3％
1.2%
0.9%
1.1%
1.0%
1.3%
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
10
较易
5
适中
2
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.94
求等差中项
2
0.94
球的表面积的有关计算
3
0.94
异面直线的判定
4
0.94
计算古典概型问题的概率
5
0.94
柱体体积的有关计算
6
0.94
由标准方程确定圆心和半径；圆的一般方程与标准方程之间的互化
7
0.94
总体百分位数的估计
8
0.85
求二面角；证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直
9
0.94
随机数表法
10
0.85
求双曲线的焦距；已知方程求双曲线的渐近线
11
0.4
向量的模；向量的线性运算的几何应用
12
0.4
由方程研究曲线的性质
二、单选题
13
0.94
数学归纳法
14
0.94
空间向量平行的坐标表示；空间位置关系的向量证明；直线方向向量的概念及辨析；平面法向量的概念及辨析
15
0.85
判断所给事件是否是互斥关系；独立事件的判断；容斥原理的应用
16
0.4
数列新定义
三、解答题
17
0.85
利用定义求等差数列通项公式；分组（并项）法求和；写出等比数列的通项公式；求等比数列前n项和
18
0.85
直线的一般式方程及辨析；求点到直线的距离；直线的点斜式方程及辨析
19
0.65
计算几个数据的极差、方差、标准差；计算古典概型问题的概率；计算几个数的中位数；计算几个数的平均数
20
0.65
锥体体积的有关计算；求线面角；证明线面平行；由二面角大小求线段长度或距离
21
0.4
椭圆中三角形（四边形）的面积；椭圆中向量共线比例问题；求椭圆的离心率或离心率的取值范围；根据韦达定理求参数
序号
知识点
对应题号
1
数列
1,16,17
2
空间向量与立体几何
2,3,5,8,14,20
3
计数原理与概率统计
4,7,9,15,19
4
平面解析几何
6,10,12,18,21
5
平面向量
11
6
推理与证明
13
7
集合与常用逻辑用语
15