上海市杨浦区同济大学一附中2024-2025学年高一（上）月考数学试卷（12月份）（解析版）

这是一份上海市杨浦区同济大学一附中2024-2025学年高一（上）月考数学试卷（12月份）（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）函数的定义域为 ．
2．（3分）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为 ．
3．（3分）已知函数的表达式为，则（3） ．
4．（3分）已知，化简： ．
5．（3分）若且，则函数的图象恒过一定点，该定点的坐标为 ．
6．（3分）方程的解集为 ．
7．（3分）函数的最小值为 ．
8．（3分）函数的值域为 ．
9．（3分）已知函数在区间，上是增函数，则实数的取值范围为 ．
10．（3分）已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
11．（3分）若关于的不等式的解集，，则实数的取值范围是 ．
12．（3分）已知函数，给出以下四个结论：①存在实数，使函数无最小值；②当时，函数在上单调递增；③对任意，都存在实数，使方程有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是 ．
二、选择题(共4题，每题3分，满分12分)
13．（3分），则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．（3分）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是
A．与B．与
C．与D．与
15．（3分）已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，，，则（a）（b）的值
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
16．（3分）已知实数，关于的不等式的解集为，，则实数、、、从小到大的排列是
A．B．C．D．
三、解答题(共5题，满分0分)
17．已知全集为实数集，集合，．
（1）求集合、；
（2）求．
18．已知函数为奇函数，且．
（1）求实数，的值；
（2）证明函数在上是严格增函数．
19．已知是定义在上的奇函数，且时有．
（1）写出函数在上单调区间（不要证明）；
（2）解不等式．
20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
21．若函数，对任意的，总存在，使得，则称函数具有性质．
（1）判断函数和是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数，具有性质，求的值；
（3）已知函数具有性质，求的值．
参考答案
一．选择题（共4小题）
一、填空题(共12题，每题3分，满分36分)
1．（3分）函数的定义域为 ．
解：由题意得，解得，所以定义域为．
故答案为：．
2．（3分）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为 ．
解：幂函数的图像经过点，
，，
则此幂函数的表达式为．
故答案为：．
3．（3分）已知函数的表达式为，则（3） ．
解：由，
可知，．
故答案为：．
4．（3分）已知，化简： 0 ．
解：因为，所以．
故答案为：0．
5．（3分）若且，则函数的图象恒过一定点，该定点的坐标为 ．
解：令，求得，且，故函数的图象恒过一定点，
故答案为．
6．（3分）方程的解集为 ．
解：根据题意，，必有，解可得，
原方程变形可得，即有，
解可得：或，
又由，则；
故方程的解集为．
故答案为：．
7．（3分）函数的最小值为 3 ．
解：
当且仅当即当时取“”
所以的最小值为3
故答案为3
8．（3分）函数的值域为 ．
解：因为，所以，
所以，即函数的值域为．
故答案为：．
9．（3分）已知函数在区间，上是增函数，则实数的取值范围为 ， ．
解：当时，函数在单调递增，满足条件，
当时，由对勾函数性质知：
函数在单调递减，在单调递增．
因为函数在区间，上是增函数，
所以，即，
综上，即实数的取值范围为，．
故答案为：，．
10．（3分）已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
解：函数的图象如图，
若，
则或或，
解得或或．
综上所述，实数的取值范围是．
11．（3分）若关于的不等式的解集，，则实数的取值范围是 ， ．
解：关于的不等式的解集，，
，2都是不等式的解，，，
，，．
实数的取值范围为，．
故答案为：，．
12．（3分）已知函数，给出以下四个结论：①存在实数，使函数无最小值；②当时，函数在上单调递增；③对任意，都存在实数，使方程有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
解：作出函数，如图，
（1）当时，，函数的图象如图（1）所示，
（2）当时，，函数的图象如图（2）所示，
对于①：时，如图（1），函数没有最小值，故①正确，
对于②：时，如图（2），函数在上不是单调递增，故②错误，
对于③：对任意，如上图（2），当时，使方程有3个不同的实根，故③正确．
故答案为：①③．
二、选择题(共4题，每题3分，满分12分)
13．（3分），则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：因为，解得或，记或，
令，
则，
故，反之不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
14．（3分）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是
A．与B．与
C．与D．与
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，其定义域为，，其定义域为，故两个函数不是相同函数；
对于，，其定义域为，，其定义域为，故两个函数不是相同函数；
对于，，其定义域为，，其定义域为，故两个函数不是相同函数；
对于，，其定义域为，，其定义域为，故两个函数是相同函数；
故选：．
15．（3分）已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，，，则（a）（b）的值
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
解：已知函数是幂函数，
，，或，，或．
对任意的，且，满足，
故是增函数，．
若，，，即，，即，即．
则（a）（b），
故选：．
16．（3分）已知实数，关于的不等式的解集为，，则实数、、、从小到大的排列是
A．B．C．D．
解：不等式可化为，
设，，
画出函数与函数的图像，如图所示，
由图像可知，，
故选：．
三、解答题(共5题，满分0分)
17．已知全集为实数集，集合，．
（1）求集合、；
（2）求．
解：（1）由，得，
即，解得，
所以，
由，得，
解得或，
所以或．
（2）由（1）知，，或，
所以或，
所以或．
18．已知函数为奇函数，且．
（1）求实数，的值；
（2）证明函数在上是严格增函数．
【解答】（1）根据题意，函数为奇函数，则有，即，
变形可得：，必有，
所以，
又，所以，解得，
所以，；
（2）证明：由（1）的结论，，
设，
则，
又因为，，
所以，
所以函数在上是严格增函数．
19．已知是定义在上的奇函数，且时有．
（1）写出函数在上单调区间（不要证明）；
（2）解不等式．
解：（1）当时，，由二次函数的图象和性质可知在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为是定义在上的奇函数，
所以的单调递增区间为，，，，单调递减区间为．
（2）当时，则，，①
又是定义在上的奇函数，所以，②
所以由①②得，
所以，
又，
所以或，
解得：或，
故不等式的解集为或．
20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：（1）由题意可知：，
所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，
由基本不等式可得：（元，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
（2）令
，
，函数在区间，上单调递减，
当时，函数取得最大值，即．
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损．
21．若函数，对任意的，总存在，使得，则称函数具有性质．
（1）判断函数和是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数，具有性质，求的值；
（3）已知函数具有性质，求的值．
解：（1），具有性质；
又时，则，故不具有性质；
（2），是单调递增函数，
函数，值域为，，
由题意得具有性质，转化为，
，解得；
（3），即，
关于的方程有实数根，
当时，，
则当时，有△，则，
又函数具有性质，
设的两个实根为，，则，解得，
又，则．
题号
13
14
15
16
答案
A
D
B
A