上海市闵行中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份上海市闵行中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共20页。
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果
1. 从4本不同的书中选出2本排成一列，则一共有__________种排法．
2 从、、、四个字母中任选三个，共有______种选法.（结果用数字作答）
3. 若，则的值是__________.
4. 若，则n值是______．
5. 若，，且，则_____.
6. 以抛物线的焦点为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为______．
7. 从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，则不同的送法共有____种.（结果用数字作答）
8. 用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____.（结果用数字作答）
9. 已知函数，为的导函数，则的值为____.
10. 在正四棱锥中，平面于点，，底面边长为，点，分别在线段，上移动，则，两点的最短距离为____.
11. 已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为______.
12. 我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13～14 题每题 4 分，第 15～16 题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知向量，是平面两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 180不同正因数的个数为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 18
15. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
16. 如图所示，钟楼主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 如图为正四棱锥，为底面的中心.

（1）若，，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若，，为的中点，求直线与平面所成角的大小.
18. （1）解方程：;
（2）求关于的不等式的解集.
19. 某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元．
（1）设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数；
（2）当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？
20. 双曲线左顶点为A，实轴长为4，离心率为，过A点的两条直线分别交双曲线的右支于点P，Q.
（1）求双曲线的方程；
（2）若轴且，求三角形的面积；
（3）若，证明：直线PQ过定点.
21. 已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”.
（1）设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由；
（2）若函数是“逆构造函数”，求实数的取值范围；
（3）已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.
求证：对任意实数，关于的方程无解.
闵行中学 2024 学年第二学期高二年级
数学学科 3月考试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果
1. 从4本不同的书中选出2本排成一列，则一共有__________种排法．
【答案】12
【解析】
【分析】运用排列数计算即可.
【详解】由题意知，从4本不同的书中选出2本排成一列共有种排法.
故答案为：12.
2 从、、、四个字母中任选三个，共有______种选法.（结果用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】结合组合定义求解即可.
【详解】从、、、四个字母中任选三个字母的方法数等于从个不同的元素中任选个元素的组合数，
所以从、、、四个字母中任选三个字母的选法数为，
故答案为：.
3. 若，则的值是__________.
【答案】5
【解析】
【分析】由排列数的计算公式即可求解.
【详解】由可得，
故答案为：5
4. 若，则n的值是______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据组合数的性质，结合条件，即可得答案.
【详解】根据组合数的性质，且，
所以.
故答案为：10
5. 若，，且，则_____.
【答案】14
【解析】
【分析】由向量的数量积为0即可列方程求解.
【详解】因为，，且，
所以，解得.
故答案为：14.
6. 以抛物线的焦点为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线方程得焦点坐标、准线方程，进一步得所求圆的半径即可得解.
【详解】抛物线的焦点、准线分别为，
以抛物线的焦点为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的半径为，
所以所求圆标准方程为.
故答案为：.
7. 从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，则不同的送法共有____种.（结果用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用排列数可得结果.
【详解】从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，则不同的送法共有种.
故答案为：.
8. 用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____.（结果用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，个位数有种选择，将其余四个数字分别排在万、千、百、十位上，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，个位数有种选择，
将其余四个数字分别排在万、千、百、十位上，
由分步乘法计数原理可知，奇数的个数为个.
故答案为：.
9. 已知函数，为的导函数，则的值为____.
【答案】
【解析】
【分析】结合导数公式求函数的导函数，再求即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：.
10. 在正四棱锥中，平面于点，，底面边长为，点，分别在线段，上移动，则，两点的最短距离为____.
【答案】
【解析】
【分析】若两点间距离最短，则为公垂线段；易证得平面，则可作，可知即为所求公垂线段，利用等面积法求得，即为所求最短距离.
【详解】在上移动，则当为公垂线段时，两点的距离最小；
四棱锥为正四棱锥，平面，为正方形的中心，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
平面，
过作，垂足为，
平面，，为的公垂线，
因为正方形边长为，所以，
又，所以，
又，两点的最短的距离为.
故答案为：.
11. 已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意利用直线与圆相切可得，再由余弦定理计算得出，利用椭圆定义即可得出离心率.
【详解】设椭圆右焦点为，连接，如下图所示：
由圆：可知圆心，半径；
显然，且，
因此可得，所以，可得；
即可得，又易知；
由余弦定理可得，
解得，
再由椭圆定义可得，即，
因此离心率.
故答案为：
12. 我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________
【答案】
【解析】
【分析】由已知当为奇数时，的个数为偶数，根据乘法原理和加法原理，以及和的展开式的加减，求得为奇数时的通项公式，由此可求.
【详解】当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为
根据乘法原理和加法原理可得：，
因①
②
由 ，故.
故.
故答案为： .
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13～14 题每题 4 分，第 15～16 题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先根据向量基底的概念证明必要性，然后举出反例说明“不充分”，由此得出正确选项.
【详解】当时，由于是不共线的向量，故可用作为基底表示出来，
即共面，所以“必要性”成立.
当共面时，直线l可能在平面内，故“充分性”不成立.
所以是必要不充分条件.
故选：B.
14. 180不同正因数的个数为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】把180进行质因数分解，然后结合分步乘法原理计算．
【详解】因为，它的正因数即为的幂的乘积，
因此正因数个数为.
故选：D.
15. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，可得结论.
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递减，可排除AC；
当时，，所以在上单调递增，可排除B；
当时，，所以在上单调递减，D均符合，故D正确.
故选：D.
16. 如图所示，钟楼的主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系，设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，考察到这个时间段，根据两向量的夹角公式，得到，即可求解．
【详解】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系．
设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，
考察到这个时间段，
设时刻，侧面、内的钟的分针的针点的位置分别为、，
设，其中，
则，，
由已知可得，则，
因为，故的取值为、、、，
即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为，
故选：B．
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 如图为正四棱锥，为底面的中心.

（1）若，，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若，，为的中点，求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）分析可知，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，确定该圆锥的底面半径和高，结合锥体的体积公式可求得该圆锥的体积；
（2）以为坐标原点，、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得线与平面所成角的大小.
【小问1详解】
正四棱锥满足平面，由平面，则.
又正四棱锥底面是正方形，由可得，
故.
根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，
为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，
根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积.
【小问2详解】
以坐标原点，、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系.

由，，得，，
故、、、，，
又由为的中点，得.
，，.
设平面的一个法向量为，则，
取，可得平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角为.
18. （1）解方程：;
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据排列数和组合数的性质依次计算即可求解.
【详解】（1）原方程等价于，
整理得，解得或，
又，所以.
（2）原不等式等价于，
即，解得，
又且，
所以原不等式的解集为.
19. 某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元．
（1）设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数；
（2）当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？
【答案】（1），其中
（2），元
【解析】
【分析】（1）设每小时的可变成本为，根据可变部分成本与航行速度的立方成正比可求，从而可求每小时的运输成本；
（2）该轮船每千米的运输成本，利用导数求其单调性即可.
【小问1详解】
设该轮船航行速度为时，其每小时的可变成本为（单位：元），
则，其中． 由题意，得，解得，故．
所以每小时的运输成本，其中．
【小问2详解】
该轮船每千米的运输成本，其中，
求导，得，
令，解得．
由，解得；故在区间上单调递增；
由，解得；故在区间上单调递减．
所以当时，取得最小值．
故当该轮船的航行速度为时，其每千米的运输成本最低，且为元．
20. 双曲线左顶点为A，实轴长为4，离心率为，过A点的两条直线分别交双曲线的右支于点P，Q.
（1）求双曲线的方程；
（2）若轴且，求三角形的面积；
（3）若，证明：直线PQ过定点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出的值即可；
（2）求直线的方程，得点坐标即可；
（3）先讨论直线斜率存在时，设其方程，再利用可化简得定点，再检验斜率不存在时依然过定点.
【小问1详解】
由题意可得，，又，
解得，所以双曲线的方程为：.
【小问2详解】
因为轴且，所以直线，
与双曲线联立可得，解得，故，
则 .故三角形的面积为.
【小问3详解】
当直线的斜率存在时，
设，，，
直线与双曲线联立可得，
则，且，
因为，
代入整理得，故或，
代入得定点为或舍）.
当直线的斜率不存在时，直线过点等价于，
等价于等价于等价于.
故直线过定点.
【点睛】关键点点睛：第三问中，求证直线过定点，其难点在于此式，因其为二元二次方程，且直线过定点，必可求得之间的一次关系式或者为定值，而直线过点即必为增根，可对其进行因式分解.
21. 已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”.
（1）设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由；
（2）若函数是“逆构造函数”，求实数的取值范围；
（3）已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.
求证：对任意实数，关于的方程无解.
【答案】（1）是“逆构造函数”，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据“逆构造函数”定义验证即得；
（2）由条件，结合定义可得对任意成立，设，利用导数求函数的最小值，由此可得的取值范围；
（3）分情况讨论，并证明对任意的都有，即可推出相应的结论.
【小问1详解】
由于，
故对有.
所以是“逆构造函数”.
【小问2详解】
由于，
故.
因为函数是“逆构造函数”，
所以对任意成立，
对任意成立，
也即对任意成立.
令，，则，
令，可得，
当时，，则在单调递减；
当时，，则在上单调递增.
故，
所以，则
综上，的取值范围是.
【小问3详解】
设，
则，
故上单调递增.
一方面，对，有.
所以对任意，有；
另一方面，对，
假设，则根据及零点存在定理，存在使得.
再由条件，
知，矛盾.
所以对任意，有.
假设存在使得，则根据及零点存在定理，存在使得.
从而对任意，有.
但由，知，矛盾.
所以对任意，都有.
综合两方面可知，对任意的，都有.
所以对任意，关于的方程一定无解.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“逆构造函数”定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题.