上海市闵行第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份上海市闵行第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了 已知，则______．， 已知圆的圆心为，且与直线相切等内容，欢迎下载使用。
满分分值：150分 完卷时间：120分钟 命题人：王定
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果
1. 已知抛物线方程为，则其准线方程为______．
2. 曲线在点处的切线斜率为_____________.
3. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为______．
4. 双曲线渐近线方程是____________．
5. 已知，则______．
6. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有__________种.
7 若圆和圆外切，则______.
8. 若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为______．
9. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大．

10. 设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __．
11. 已知函数 对有 则实数a的取值范围为________
12. 定义在R上奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为_______.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 下列选项中，不属于排列问题的是（ ）
A. 从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B. 有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C. 从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D. 从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
14. 如果且，那么直线不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
15. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ）
A. 在区间上是严格减函数B. 在区间上是严格增函数
C. 是极小值点D. 是极小值点
16. 已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：方程至多只有一个实数根；
命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有．
A. ①真命题；②假命题B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题D. ①假命题；②假命题
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 已知圆的圆心为，且与直线相切.
（1）求圆标准方程；
（2）设直线与圆M交于A，B两点，求.
18. 设，已知函数．
（1）若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间；
（2）若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围．
19. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，短轴长为2，若点分别是椭圆的左右顶点，动点，，直线交椭圆于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）（i）求证：是定值；
（ii）设的面积为，四边形的面积为，求的最大值.
21. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点，且，
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求的最小值．
闵行三中2024学年第二学期3月月考
高二年级数学学科试卷
满分分值：150分 完卷时间：120分钟 命题人：王定
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果
1. 已知抛物线的方程为，则其准线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上，即可得准线方程.
【详解】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上，
所以其准线方程为.
故答案为：.
2. 曲线在点处的切线斜率为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解.
【详解】因为，则，
可知曲线在点处的切线斜率.
故答案为：.
3. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求，即可得椭圆方程.
【详解】由题意可知：，即，则，
且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为.
故答案为：.
4. 双曲线的渐近线方程是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的方程可知，，即可直接写出其渐近线的方程.
【详解】由双曲线的方程为，可知，；
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
5. 已知，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】直接求导，再根据导数含义即可得到答案.
【详解】,，则 .
故答案为：1.
6. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有__________种.
【答案】
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理即可，第一步从四个不同元素中选三个元素，第二步对所选元素进行排列.
【详解】首先从四位家长中选三人有种方法，
然后将选出的三位家长分别安排到三个路口有种方法，
根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为种.
故答案为：
7. 若圆和圆外切，则______.
【答案】4
【解析】
【分析】根据两圆外切则圆心距等于半径之和即可求解.
【详解】圆圆心为，半径为1，
圆圆心为，
所以圆心距，
因为两圆外切，所以,所以.
故答案为：4.
8. 若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线方程可得出的表达式，再结合并利用对勾函数性质可求得的最大值为.
【详解】由椭圆可得，
由双曲线可得，
所以，
又，由对勾函数性质可得，当且仅当时，等号成立；
所以，
即的最大值为，当且仅当时，等号成立；
故答案为：
9. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大．

【答案】
【解析】
【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得的最大值点，从而得解.
【详解】结合图形，可知圆锥的体积为，
又因为，即，
所以，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最大值，
所以炸药包要埋在深处.
故答案为：.
10. 设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __．
【答案】
【解析】
【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．
【详解】由已知得，
由得．
故答案为：．
11. 已知函数 对有 则实数a的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设，不妨设，由已知化简可得即在上递增,进而判断可得结果.
【详解】根据题意设，
不妨设，，任意有 可得即可得在上递增,
因为，，
当时，恒成立，即在上递增.
当时，不能恒成立，即在不符合单调递增.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为：
12. 定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为_______.
【答案】3
【解析】
【分析】要求函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数，可构造函数，将问题转化为函数与函数的图象的个数．根据已知条件可判断函数的单调性和奇偶性，进而画函数的图象，观察两个函数图象交点的个数即可．
【详解】令， 因为当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，
所以当x＞0时，．所以函数在上为增函数．
因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以．
所以函数为偶函数，且函数在上为减函数．
因为定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，所以．
所以．做函数与函数的图象如图所示．
由函数的图象可知，函数与函数的图象有三个交点．
所以函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个．
【点睛】本题考查函数零点的个数问题，判断函数的零点个数，方法一，零点存在性定理的运用；方法二，函数与方程的关系，零点个数可转化为方程根的个数的判断；方法三，可转化为两个函数的图象交点问题．本题由条件“不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，”应想到构造函数．
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 下列选项中，不属于排列问题的是（ ）
A. 从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B. 有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C. 从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D. 从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
【答案】B
【解析】
【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可.
【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误；
B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确；
C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误；
D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误.
故选：B.
14. 如果且，那么直线不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案.
【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.
故选：C
15. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ）
A. 在区间上是严格减函数B. 在区间上是严格增函数
C. 是极小值点D. 是极小值点
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个选项.
【详解】对于A，由图象知在上取正值，所以在上递增，A错误；
对于B，由图象知在上取正值，所以在上递增，B正确；
对于C，由图象知在某个上取负值，这里，所以在上递减，从而不可能是的极值点，C错误；
对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里，所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用图象判断导数的正负，再由此确定函数的单调性.
16. 已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：方程至多只有一个实数根；
命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有．
A. ①真命题；②假命题B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题D. ①假命题；②假命题
【答案】C
【解析】
【分析】对于命题①：构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性分析其零点即可；对于命题②：利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论.
【详解】因为，即，
对于命题①：令，故，
可知函数在上单调递增，则至多有一个零点，
所以方程至多只有一个实数根，故命题①为真命题；
对于命题②：因为函数是周期为2，取一个周期，
由题意可知在内连续不断，则在内必有最大值和最小值，
设在内的最大值为，最小值为，
设，，且，
对任意，
显然时，恒成立，下面考虑的情况，
由导数定义可知，即，
若，则成立；
若，设，即，
则，且，可得，
所以成立；
综上所述：对任意实数，都成立，故命题②为真命题；
故选：C.
【点睛】关键点点睛：对于命题②：设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用不等式的性质可证明.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 已知圆的圆心为，且与直线相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆M交于A，B两点，求.
【答案】（1）+
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆心到切线的距离等于半径求得半径后可得圆的标准方程；
（2）求出圆心到弦所在直线的距离，由勾股定理求得弦长．
【小问1详解】
因为圆心为，所以圆心M到切线的距离= ，所以半径，
所以圆M的标准方程为：+；
小问2详解】
由题可知圆心M到直线的距离= ，又由（1）知半径，
所以=，
所以=．
18. 设，已知函数．
（1）若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间；
（2）若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；减区间是，增区间是
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，由，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，结合函数的单调性讨论a的范围即得.
【小问1详解】
由得，
由曲线在处切线斜率为-1，
可得，.
,当单调递增；单调递减.
减区间是，增区间是.
【小问2详解】
由得：
① 时，，∴在递增，满足函数在区间上严格增，
② 时， 时，，在递增，若函数在区间上严格增
，
综上可得
19. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）；
（2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
【解析】
【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；
（2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，比较即可得出答案.
【小问1详解】
由题意，当时，；当时，.
所以
【小问2详解】
当时，，令，解得.
易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，
.
当时，，
当且仅当，即时取等号.
综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，短轴长为2，若点分别是椭圆的左右顶点，动点，，直线交椭圆于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）（i）求证：是定值；
（ii）设面积为，四边形的面积为，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②1.
【解析】
【分析】（1）由已知得的值，再由离心率求出关系，即可求出椭圆方程.
（2）①由（1）得，求出直线方程，与椭圆方程联立，求出点坐标，进而得出坐标，即可证明结论；②，将表示为关于的函数，进而得出关于的函数，整理利用的范围，即可求解.
【小问1详解】
由短轴长2，得，由离心率为，得，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，直线的斜率，
直线的方程为，
由消去得，设点，
则，解得，，
，，
所以.
②依题意，，
，
因此，当时取等号，
所以的最大值为1.
21. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点，且，
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求的最小值．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
（2）（i）根据极值点的概念可得是方程的两个正根，结合计算即可求解；
（ii）由（i）得，化简计算可得，令，利用导数求出即可.
小问1详解】
当时，，
则，得，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
（i），
又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根
则，解得，
经检验，当时，符合题意.
所以实数的取值范围为.
（ii）由（i）知，则，，
，
令，
则，
当时，，则单调递减
当时，，则单调递增
故当时，取得最小值，
所以，即的最小值为.
【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.