陕西省咸阳市礼泉县2024-2025学年高二下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省咸阳市礼泉县2024-2025学年高二下学期期中数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了 已知，则， 下列问题中，属于组合问题是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 14B. 16C. 18D. 24
2. 有4件不同款式上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A. 12B. 32C. 44D. 60
3. 已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 随机变量与满足，若，则（ ）
A. 8B. 5C. 4D. 2
5. 已知，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 243
6. 平面直角坐标系上的一个质点从原点出发，每次向右或向上移动1个单位长度，则移动8次后，质点恰好位于点的移动方式有（ ）
A. 56种B. 70种C. 210种D. 1680种
7. 若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数（ ）
A. B. 252C. 7D. 8
8. 某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（ ）
A. 72种B. 36种C. 24种D. 18种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关排列数､组合数的等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列问题中，属于组合问题是（ ）
A. 10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B. 10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C. 从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D. 从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
11. 银川动植物园举行花卉展览，某花卉种植园有3种兰花，3种三角梅共6种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，6种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A. 若A展馆需要3种花卉，有20种安排方法
B. 若“绿水晶”去A展馆，有1+种安排方法
C. 若“绿水晶”不去A展馆，有31种安排方法
D. 若其中2种三角梅不能去往同一个展馆，有40种安排方法
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 3名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为______.
13. 某校学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或乒乓球.在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为______.
14. 有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有________种.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知展开式二项式系数和为64.
（1）求n的值；
（2）若展开式中的常数项为20，求m的值.
16. 某职业学校外贸专业高二（1）班、（2）班、（3）班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛．
（1）如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？
（2）如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？
（3）如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同班级，那么有多少种不同的选法？
17. 某次学校文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：
（1）若3个舞蹈节目相邻，且不排开头和结尾，则有多少种不同的排法？
（2）若2个唱歌节目相邻，3个舞蹈节目也相邻，且两个小品节目不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）由于同学们参与积极，需要在确定好的节目单上新增两个节目：一个诗歌朗诵和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，共有多少种不同的排法？
18. 甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为，挑战成功分别积2分､4分､6分．根据他以往挑战的经验，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先后顺序），可随机选择挑战1关､2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜．
（1）求甲最后积分为6分概率；
（2）记甲最后的积分为随机变量，求的分布列和期望．
19. 学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
（1）求首次摸球就试验结束的概率；
（2）在首次摸球摸出红球的条件下．
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
礼泉县2024~2025学年度第二学期期中质量调研
高二数学试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 14B. 16C. 18D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据排列数、组合数公式计算可得.
【详解】.
故选：C
2. 有4件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A. 12B. 32C. 44D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可求解.
【详解】由分步乘法计数原理可得不同的配法种数为：.
故选：B.
3. 已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两点分布可得，再结合已知即可得.
【详解】离散型随机变量服从两点分布，则，
又，所以.
故选：A.
4. 随机变量与满足，若，则（ ）
A. 8B. 5C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】借助方差性质计算即可得.
【详解】.
故选：A.
5. 已知，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 243
【答案】C
【解析】
【分析】令，即可求解.
【详解】由，令，代入可得，
故选：C
6. 平面直角坐标系上的一个质点从原点出发，每次向右或向上移动1个单位长度，则移动8次后，质点恰好位于点的移动方式有（ ）
A. 56种B. 70种C. 210种D. 1680种
【答案】B
【解析】
【分析】应用组合数公式列式求解.
【详解】由题可知，该质点向右移动4个单位长度，向上移动4个单位长度，共有种移动方式．
故选：B
7. 若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数（ ）
A. B. 252C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式系数的最值可得，再结合二项展开式的通项运算求解即可.
【详解】因为二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，
则，解得，
可得的展开式的通项为，
令，解得，
所以含项的系数为.
故选：A.
8. 某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（ ）
A. 72种B. 36种C. 24种D. 18种
【答案】B
【解析】
【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解；
【详解】两名语文老师由种分配方程；
数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分，
或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有,
所以不同的分配方案有，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关排列数､组合数的等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据组合数和排列数的公式逐个判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B, 因为，所以，故B错误；
对于C, 因为，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD
10. 下列问题中，属于组合问题的是（ ）
A. 10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B. 10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C. 从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D. 从10名员工中选出3名分别参加不同娱乐活动，有多少种选派方法
【答案】AC
【解析】
【分析】区分一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序.有顺序就是排列问题；无顺序就是组合问题,.
【详解】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；
B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样的，存在顺序区别；
C是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；
D是排列问题，因为选的3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别，
.故选：AC.
11. 银川动植物园举行花卉展览，某花卉种植园有3种兰花，3种三角梅共6种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，6种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A. 若A展馆需要3种花卉，有20种安排方法
B. 若“绿水晶”去A展馆，有1+种安排方法
C. 若“绿水晶”不去A展馆，有31种安排方法
D. 若其中2种三角梅不能去往同一个展馆，有40种安排方法
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，利用组合知识直接得到结果；B选项，按照A展馆花卉的数量进行分类讨论，相加得到答案；CD选项，与B选项同理可得.
【详解】对于A，从6种花卉选择3种，故A展馆需要3种花卉，有种安排方法，故A正确；
对于B，若“绿水晶”去A展馆，若A展馆只有1种花卉，则有1种方法，
若A展馆有2种花卉，则有种花卉，若A展馆有3种花卉，则有种方法，
若A展馆有4种花卉，则有种花卉，若A展馆有5种花卉，则有种方法，
故共有种安排方法，故B错误；
对于C，若“绿水晶”不去A展馆，若A展馆只有1种花卉，则有种方法，
若A展馆有2种花卉，则有种花卉，若A展馆有3种花卉，则有种方法，
若A展馆有4种花卉，则有种花卉，若A展馆有5种花卉，则有种方法，
故共有种安排方法，C正确；
对于D，以A展馆为例，若A展馆只有1种花卉，则2种三角梅选择1个，有种方法，
若A展馆有2种花卉，则2种三角梅选择1个，再从剩余的4种花卉中选择1个，有种方法，
若A展馆有3种花卉，则2种三角梅选择1个，再从剩余的4种花卉中选择2个，有种方法，
A展馆有4种花卉，则2种三角梅选择1个，再从剩余的4种花卉中选择3个，有种方法，
A展馆有5种花卉，则2种三角梅选择1个，剩余的4种花卉均给A展馆，有种方法，
综上，共有种方法，故D错误.
故选：AC.
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 3名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为______.
【答案】64
【解析】
【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】依题意，每名毕业生都有种选择，
按照分步乘法计数原理可得不同选法的种数为种.
故答案为：
13. 某校学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或乒乓球.在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先算出同时爱好羽毛球和乒乓球的概率，利用条件概率的知识求解.
【详解】依题意同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为：，
设“该同学爱好羽毛球”为事件，“该同学爱好乒乓球”为事件.
则,,
所以.
故答案为：.
14. 有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有________种.
【答案】
【解析】
【分析】利用组合数中允许重复的原则，分四类讨论，再由加法原理和组合数计算即可.
【详解】分四类讨论：
①当时，有6种情况；
②当时，
若，有5种选法；
若，有4种选法；
若，有3种选法；
若，有2种选法；
若，有1种选法；
由加法原理可得共有15种；
③当时，
若，选择有5种选法；
若，选择有4种选法；
若，选择有3种选法；
若，选择有2种选法；
若，选择有1种选法；
由加法原理可得共有15种；
④当时，有种，
综上，共有种.
故答案为：56.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知展开式二项式系数和为64.
（1）求n的值；
（2）若展开式中的常数项为20，求m的值.
【答案】（1）6； （2）1.
【解析】
【分析】（1）由二项式系数和定义可直接得n的值；
（2）由（1）中的n的值求出展开式中的通项式，令的指数等于0，求出通项式中的，带回通项式求得的值.
【小问1详解】
因为展开式的二项式系数和为，所以；
【小问2详解】
因为展开式中的通项公式为，整理得，
令，得，
则，解得.
16. 某职业学校外贸专业高二（1）班、（2）班、（3）班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛．
（1）如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？
（2）如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同选法？
（3）如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用分类加法计数原理计算即可；
（2）利用分步乘法计数原理计算即可；
（3）利用分类加法与分步乘法计数原理计算即可.
【小问1详解】
分三类：
选出的是高二（1）班的学生，有7种选法；
选出的是高二（2）班的学生，有9种选法；
选出的是高二（3）班的学生，有10种选法．
由分类加法计数原理，得不同的选法种数为．
【小问2详解】
每班选一名副组长为一步，所以共有三步．
由分步乘法计数原理，得不同的选法种数为．
【小问3详解】
分三类：高二（1）班和高二（2）班，
高二（1）班和高二（3）班，
高二（2）班和高二（3）班．
每类又分两步，故不同的选法种数为．
17. 某次学校文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：
（1）若3个舞蹈节目相邻，且不排开头和结尾，则有多少种不同的排法？
（2）若2个唱歌节目相邻，3个舞蹈节目也相邻，且两个小品节目不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）由于同学们参与积极，需要在确定好的节目单上新增两个节目：一个诗歌朗诵和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，共有多少种不同的排法？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用捆绑法和特殊元素优先法即可求解；
（2）利用捆绑法和插空法即可求解；
（3）利用插空法和分类加法计数原理即可求解.
【小问1详解】
将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法.
再将剩下4个节目全排列，有种排法.
最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，
有3种排法，故共有种排法；
【小问2详解】
将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法.
再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法.
则共有种排法.
【小问3详解】
将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中.
若两个节目放入同一个空，有种排法，
若两个节目不放入同一个空，有种排法，
故共有种排法.
18. 甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为，挑战成功分别积2分､4分､6分．根据他以往挑战的经验，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先后顺序），可随机选择挑战1关､2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜．
（1）求甲最后积分为6分的概率；
（2）记甲最后的积分为随机变量，求的分布列和期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）求出甲随机搭配的样本空间、样本点，设“甲积分为6分”，包含两种组合且均成功，根据相互独立事件、互斥事件的概率加法公式计算可得答案；
（2）求出的所有可能取值和相应的概率求出分布列、期望即可.
【小问1详解】
根据题意，甲随机搭配的样本空间，
有7个样本点，设“甲积分为6分”，包含两种组合且均成功，
则；
【小问2详解】
根据题意，的所有可能取值为；
其中，
，，
，，
，
，
变量的分布列为：
所以期望．
19. 学习小组设计了如下试验模型：有完全相同甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
（1）求首次摸球就试验结束的概率；
（2）在首次摸球摸出红球的条件下．
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
【答案】（1）；
（2）①；②选择方案二使得第二次摸球就试验结束概率更大.
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式计算可得；
（2）①利用条件概率概率公式计算可得；②分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可.
【小问1详解】
设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件．
所以．
所以摸球一次就试验结束的概率为．
【小问2详解】
①因为，是对立事件，．
所以，
所以选到的袋子为乙袋的概率为．
②由①，得，
所以方案一中取到白球的概率为．
方案二中取到白球的概率为，
因为．
所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
0
2
4
6
8
10
12