陕西省西安市铁一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省西安市铁一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若命题，，则命题的否定为（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
2. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
5. 设，且，则的最小值为（ ）
A 0B. 1C. D.
6. 在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱）中，，，，则三棱柱外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 中，，点为平面内一点，且分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为（ ）
A. B. C. D. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，错误的有（ ）
A. 的最小值是4
B. “”是“"的充分不必要条件
C. 直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
D. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
10. 在中，内角､､所对的边分别为､､，已知，，则（ ）
A.
B. 的周长的最大值为
C. 当最大时，的面积为
D. 的最大值为
11. 如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若的最小值为，则
D. 若对任意的，恒有，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一空2分，第二空3分．
12. 若幂函数，且在上是增函数，则实数______．
13. 如图，棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则的最小值为_________.
14. 如图，某景区有景点A，B，C，D．经测量得，，，则______.现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A、D的视角.为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
15. 设复数．
（1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
（2）若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值.
16. 如图（1）所示，四边形为水平放置的四边形的斜二测直观图，其中.

（1）在图（2）所示的直角坐标系中画出四边形，并求四边形的面积；
（2）若将四边形以直线为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.
17. 已知函数
（1）当时，求的最小值；
（2）若为偶函数，求的值；
（3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
18 已知向量，，函数．
（1）求的解析式和当时在方向上的投影向量；
（2）已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边上的中线长；
（3）若，，求．
19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且
（1）求角的大小；
（2）若，求面积；
（3）若，求实数的最小值.
2024—2025—2高一年级期中考试
数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若命题，，则命题的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题的否定即可求解.
【详解】命题的否定为: ，,
故选：C
2. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数函数、分式型函数的定义域计算A，再利用补集与交集的概念计算即可.
【详解】有意义，即有，解得，
故，则或}.
∵，
∴.
故选：B
3. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合对数运算化简，再根据指数函数与对数函数的单调性函数值大小即可得结论.
【详解】，
因为函数在上单调递增，
所以，即，
因为函数在上单调递减，
所以，即，
故.
故选：D.
4. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数，再利用函数图象变换求出即可.
【详解】观察函数图象，函数的最小正周期，解得，
由，得，又，则，
，将的图象向左平移个单位长度，
得的图象，因此，
所以.
故选：C
5. 设，且，则的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数模的几何意义求解．
【详解】记，，，对应的点为，
则满足的点在线段的垂直平分线上，易知其方程为，即，
表示点到点的距离，由点到直线距离公式得．
故选：C．
6. 在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱）中，，，，则三棱柱外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知求出底面的外接圆的半径，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出三棱柱的外接球的体积．
【详解】如图：
直三棱柱的外接球的球心O为与外接圆圆心与连线的中点，设的外接圆半径为r，在中，由余弦定理得，由正弦定理得，得，所以直三棱柱的外接球的径为，三棱柱外接球的体积为.
故选：C.
【点睛】本题考查的知识点是球的体积，解题关键是正确找到外接球的球心，考查空间想象能力和运算能力，属于常考题.
7. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出函数的奇偶性与单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式，求出的范围，再根据二倍角的余弦公式即可得解.
【详解】因为，定义域满足，解得，
因为
，
所以，所以为奇函数，
因为函数在上单调递增，
，且设，
则
，
又，因为，所以，
所以，
由于函数在上单调递增，
所以，
故函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由，
得，
所以，
即，解得，
则
故选：D.
【点睛】关键点点睛：判断出函数的奇偶性与单调性是解决本题的关键.
8. 中，，点为平面内一点，且分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得在的垂直平分线上，由，可得，进而由正弦定理可得，的值最大，进而计算可求.
【详解】由，所以，
所以在的垂直平分线上，
设为的中点，可得，
，所以，从而，
由正弦定理可得，
所以，
当，，又要使的值最大时，
则为锐角，所以，从而为等腰直角三角形，
所以，所以均在斜边的垂直平分线上，
即为内切圆的半径，设内切圆半径为，
所以，所以，
解得，所以.
故选：A.
本题主要考查向量的几何运算及外接圆，内切圆的性质、正弦定理的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，错误的有（ ）
A. 的最小值是4
B. “”是“"的充分不必要条件
C. 直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
D. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式使用条件求在，时的最值情况即可判断A；解一元二次不等式，结合充分条件与必要条件判断B；根据圆锥的形成判断C；根据圆台与圆锥的关系即可判断D.
【详解】对于A，当时，，当且仅当，即时的最小值是4，
当时，，当且仅当，即时的最大值是，故A错误；
对于B，不等式化为，解得或，
所以“”是“"的充分不必要条件，故B正确；
对于C，直角三角形以其一直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，
若以斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是有公共底面的两个圆锥，故C错误；
对于D，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台，故D错误.
故选：ACD.
10. 在中，内角､､所对的边分别为､､，已知，，则（ ）
A.
B. 的周长的最大值为
C. 当最大时，的面积为
D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦定理化简条件中的式子，再利用余弦定理即可得角，可判断A选项；利用基本不等式可求B选项；利用正弦定理得即可判断C选项；利用正弦定理边化角，求三角函数的最值可判断D选项.
【详解】
由正弦定理可得，，即，
则由余弦定理得，因，则，故A错误；
得，
因，则，当且仅当时等号成立，
则的周长的最大值为，故B正确；
由正弦定理得，则，
故当时，取最大值，此时，，故C正确；
由C选项可知，
，
其中，故当时，取最大值，故D错误.
故选：BC
11. 如图，设轴和轴是平面内相交成角两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若的最小值为，则
D. 若对任意的，恒有，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据模长公式即可求解A,根据投影向量的计算公式即可求解B,根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解CD.
【详解】由题意，所以，故A正确；
因为，所以在上的投影向量为，故B正确；
，即，所以或，故C错误；
由，两边平方得即任意，，若，上式恒成立，即，若，所以，得，故D正确.
故选:ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一空2分，第二空3分．
12. 若幂函数，且在上是增函数，则实数______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断在上是增函数即可．
【详解】若幂函数在区间上是增函数，
则由解得：或，
时，，是增函数，
时，，在上是减函数（不合题意，舍去），
故答案为：2．
13. 如图，棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】将三角形沿翻折与平面共面且与在的异侧，连接，则的长度即为距离和最小值.
【详解】如图所示：
将三角形沿翻折得到该图形（与平面共面且与在的异侧），
连接与相交于点，此时取得最小值，延长，过作于点，
又，，所以为等腰直角三角形，所以，
在中，，
故的最小值为.
故答案为：
14. 如图，某景区有景点A，B，C，D．经测量得，，，则______.现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A、D的视角.为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理求得的值，即可得答案；
（2）设的外心为，连接交于点，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径，利用余弦定理求得的值，即可得答案；
【详解】（1），
，为正三角形，
.
（2）设的外心为，连接交于点，
则，
,
的最小值为，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：；.
【点睛】
本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较大.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
15. 设复数．
（1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
（2）若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可知，即可得，进而可求；
（2）根据复数的除法运算结合纯虚数概念可得，可知是方程的根，利用韦达定理运算求解即可.
【小问1详解】
因为，则，
若复数对应的点在实轴上，则，
可得，即，
所以.
【小问2详解】
因为，
若是纯虚数，则，解得，
若是方程的根，则也是该方程的根，
由韦达定理可得，即，所以.
16. 如图（1）所示，四边形为水平放置的四边形的斜二测直观图，其中.

（1）在图（2）所示的直角坐标系中画出四边形，并求四边形的面积；
（2）若将四边形以直线为轴旋转一周，求旋转形成几何体的体积及表面积.
【答案】（1）作图见解析，6；
（2）体积为；表面积为.
【解析】
【分析】（1）先还原出原图形，再求面积即可.
（2）先确定旋转所成的图形是圆锥，再求表面积即可.
【小问1详解】
在直观图中，
则在四边形中，
所以四边形如图所示：

由图可知，四边形为直角梯形，
所以面积为.
【小问2详解】
直角梯形以直线为轴，旋转一周形成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体的底面圆半径，圆柱的高，
圆锥的高，母线长.
所以该几何体的体积.
表面积
17. 已知函数
（1）当时，求的最小值；
（2）若为偶函数，求的值；
（3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
【答案】（1）的最小值为
（2）
（3）的取值范围是
【解析】
【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值；
（2）根据函数的奇偶性求参数即可；
（3）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围．
【小问1详解】
，由于恒成立，
所以函数的定义域为，
又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为；
【小问2详解】
若为偶函数，则，
所以，
即恒成立，所以；
当时，函数定义域为，满足，
故若为偶函数，则；
【小问3详解】
若对于任意，存在，使得不等式成立，
则恒成立，
令，当时，，
所以，所以当时，，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，则在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是．
18. 已知向量，，函数．
（1）求的解析式和当时在方向上的投影向量；
（2）已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边上的中线长；
（3）若，，求．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由平面向量数量积的坐标表示及两角差的正弦公式，正余弦的二倍角公式化简，再由投影向量的定义计算可得；
（2）首先求出，再利用余弦定理求出，最后根据数量积的运算律计算可得；
（3）由求得，再由两角差的余弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以
所以
，
，
所以；
当时，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为；
【小问2详解】
因为，所以，
又，所以，所以，则，
由余弦定理，又，，
所以
设的边上的中线为，则，
所以
，
所以，所以的边上的中线长为；
【小问3详解】
因为，可得，
即，又，则，
所以，
所以.
19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若，求实数的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据倍角公式得到，由正弦定理得到，从而；
（2）设，在，，中由余弦定理得关于的方程，再由解出，最后由面积公式求解即可；
（3）设，由得，在三个小三角形中分别用余弦定理表示出，再结合得到，从而由均值不等式得，从而得到的最小值.
【小问1详解】
由，
得，
得，
得，
得，即，
所以为直角三角形，.
【小问2详解】
由（1）知，所以的三个角都小于，
因为点为的费马点，
所以，设，

在中，，
在中，，
在中，，
因为，
所以，解得，
由，
得
【小问3详解】
由（2）知.
设，
由得.
由余弦定理得：
在中，，
在中，，
在中，，
因为，所以，
整理得.
因为，当且仅当时等号成立，
所以，整理得，
解得或者（舍去），
所以实数的最小值为.
【点睛】思路点睛：在本题中，给出了当的三个内角均小于时，确定费马点的方法，即“满足的点为费马点”，由（1）知为直角三角形，再结合点是的费马点知，从而解决（2）（3）两个小题.