陕西省西安市雁塔区第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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这是一份陕西省西安市雁塔区第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：赵春鸣审题人：解颖聪
班级：__________ 姓名：___________
一、单选题(本题共八小题，每小题5分，共计40分)
1. 已知向量，则（）
A B. C. D.
2. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 若复数（为虚数单位），则的虚部为（）
A. B. C. D. 1
4. 已知是不共线的向量，且，则（）
A. 三点共线B. 三点共线C. 三点共线D. 三点共线
5. 在中，角的对边分别为，若，则的形状为（）
A 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
6. 已知，且关于的方程无实根，则向量与的夹角的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为等边三角形，点P为边BD上一动点，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共三小题，每小题6分，共计18分）
9. 在中，角，，所对的边分别为，，，则由下列条件解三角形，其中只有一解的是（）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
10. 已知是夹角为的单位向量，且，则（）
A. B. C. 与的夹角为D. 在方向上的投影向量为
11. 在中，角所对边分别为，则下列结论正确的是（）
A. 若，则为锐角三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则是等腰三角形
三、填空题（本题共三小题，每小题5分，共15分）
12. 设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于_______．
13. 如图，直角梯形中，，点在边上，且，则________．

14. 瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得瑞云塔顶部M的仰角为15°，瑞云塔的高度为______.
四、解答题（本题共五小题，15题13分，16题、17题各15分，18题、19题各17分，共计77分）
15. 已知复数（为虚数单位，）.
（1）若为实数，求的值;
（2）若为纯虚数，是关于的方程的一个根，求方程的另一根.
16. 已知向量，.
（1）若向量与平行，求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
17. 记内角的对边分别为，已知，
（1）求；
（2）若，求的面积．
18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
（1）设，，试用，表示；
（2）求；
（3）设，，求的最小值.
19. 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船.此时，走私船正以的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
（1）求线段的长度；
（2）求的大小；
（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多长时间?参考数值：，