2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若命题p：∀x>0，x2−3x+2≤0，则命题p的否定为( )
A. ∃x>0，x2−3x+2≤0B. ∃x≤0，x2−3x+2≤0
C. ∃x>0，x2−3x+2>0D. ∀x≤0，x2−3x+2>0
2.已知全集U=R，集合A={x|y=1 x+2+lg2(1−x)}，B={x|0b>c
4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|0，则cs2θ的取值范围是( )
A. (−1,12)B. (−1,79)C. (12,1)D. (19,12)
8.△ABC中，AB= 2，点P为△ABC平面内一点，且PB⋅BC=−12，PC⋅BC=12，O、P分别为△ABC的外心和内心，当tan∠BAC的值最大时，OH的长度为( )
A. 2− 22B. 3−2 22C. 22D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，错误的有( )
A. x+4x的最小值是4
B. “a>1”是“a2>a”的充分不必要条件
C. 直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
D. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
10.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a= 3，(a+b)(sinB−sinA)=c(sinB−sinC)，则( )
A. A=π6B. △ABC的周长的最大值为3 3
C. 当b最大时，△ABC的面积为 32D. 2b+c的最大值为3 3
11.如图，设x轴和y轴是平面内相交成θ角的两条数轴，其中θ∈(0,π)，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=a=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在夹角为θ的坐标系xOy中的坐标，记为a=(x,y)(θ)，则下列结论正确的是( )
A. 若a=(2,1)(2π3)，则|a|= 3
B. 若a=(1,2)(π3),b=(−1,1)(π3)，则a在b上的投影向量为12b
C. 若|λe1−5e2|(λ∈R)的最小值为5 32，则θ=π3
D. 若对任意的λ∈[−1,1]，恒有|2e1+λe2|≥|e1+2e2|，则θ∈[2π3,π)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm2−m−1，且在x∈(0,+∞)上是增函数，则实数m= ______．
13.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则|C1P|+|DP|的最小值为______．
14.如图，某景区有景点A，B，C，D.经测量得，BC=6km，∠ABC=120°，sin∠BAC= 2114，∠ACD=60°，CD=AC，则AD= (1) km，现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台．为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A、D的视角∠AMD=120°.为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为 (2) km．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设复数z1=1−ai(a∈R)，z2=2+i．
(1)在复平面内，复数z1+z2对应的点在实轴上，求z1z2；
(2)若z1z2是纯虚数，且z1是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的根，求实数b，c的值．
16.(本小题15分)
如图(1)所示，四边形O′A′B′C′为水平放置的四边形OABC的斜二测直观图，其中∠x′O′y′=45°，O′A′=4，O′C′=1，B′C′=2．
(1)在图(2)所示的直角坐标系中画出四边形OABC，并求四边形OABC的面积；
(2)若将四边形OABC以直线OA为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lg2(x2−ax+1)．
(1)当a=1时，求f(x)的最小值；
(2)若f(x)为偶函数，求a的值；
(3)设g(x)=4x−2x+1，若对于任意x1∈(0,1)，存在x2∈[−1,1]，使得不等式f(x1)≥g(x2)成立，求a的取值范围．
18.(本小题15分)
已知向量a=(sinx−sin(x−π3),csx)，b=(sinx,csx)，函数f(x)=a⋅b−34．
(1)求f(x)的解析式；并求当x=π6时，a在b方向上的投影向量；
(2)已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f(A)=14，a= 3，bc=2，求△ABC的BC边上的中线长；
(3)若f(α+π6)= 24,0