河南省周口市鹿邑县2024-2025学年高二下学期4月月考数学检测试题（附答案）

这是一份河南省周口市鹿邑县2024-2025学年高二下学期4月月考数学检测试题（附答案），共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(共8题，每题5分，共40分)
1．设A，B为两个事件，已知P（A）=，P（B|A）=，则P（AB）=（ ）
A. B. C. D.
2．若函数f（x）满足f（x）=x3-f′（2）x2-3x,则f′（2）的值为（ ）
A. -1 B. 2 C. 3 D. 4
3．随机变量X的概率分布为：
则E（5X+4）等于（ ）
A. 5 B. 15 C. 45 D. 与a有关
4．已知函数f（x）=2x-3lnx+2022，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
5．在（-）n（n∈N*）的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为（ ）
A. 32 B. -32 C. 0 D. 1
6．已知函数在x=a处取得极大值，则实数a的取值范围为（ ）
A. [1，+∞） B. （1，+∞）
C. （0，1） D. （0，1]
7．在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A. 420种 B. 360种 C. 540种 D. 300种
8．已知函数f（x）=aex+x+b,若函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=2x+3，则ab的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题(共3题，每题6分，共18分)
9．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是（ ）
A. 从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B. 从中任取3球，恰有两个白球的概率是
C. 从中任取3球，取得白球个数X的数学期望是1
D. 从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为
10．已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ）
A. 2，n,10成等差数列
B. 各项系数之和为64
C. 展开式中二项式系数最大的项是第3项
D. 展开式中第5项为常数项
11．已知函数 ，则
A. 的极大值为
B. 的最小值为
C. 当 的零点个数最多时， 的取值范围为
D. 不等式 的解的最大值与最小值之差小于
三、填空题(共3题，每题5分，共15分)
12．已知函数f（x）=2x2+1，则=_____．
13．已知随机变量X，Y满足Y=2X+1，且随机变量X的分布列如下：
则随机变量Y的方差D（Y）等于 _____．
14．（1+x）（1+2x）4的展开式中x3的系数为 _____．（用数字作答）
四、解答题(共5题，共77分)
15．(13分)（请写出必要的解题过程并用数字作答）
4名男生4名女生排成一排，分别求下列情形的排法：
（1）甲乙二人必须站在一起；
（2）甲乙二人不能站在一起；
（3）男女必须间隔而站；
（4）甲乙二人中间恰有1人．
16．(15分)已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，1]上的最大值；
（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．
17．(15分)已知（1+2x）6-（x-1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6．
（1）求a2的值；
（2）求a1+a2+a3+a4+a5的值；
（3）求a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6的值．
18．(17分)2020年10月4日，第29届全国中学生生物学奥林匹克竞赛，在重庆巴蜀中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
（2）若按照分层随机抽样从成绩在[80，90），（90，100]的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[90，100]的人数，求ξ的分布列和数学期望．
19．(17分)已知函数
讨论函数 的单调区间；
若 ，证明：关于 的不等式 有解.
高二下学期数学月考答案
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：B
4．答案：A
5．答案：D
6．答案：C
7．答案：A
8．答案：B
9．答案：BC
10．答案：ABD
11．答案：ACD
解析：
本题考查导数与函数的综合应用，，属于较难题.
当 或 时， ， 单调递增；
当 或 时， ， 单调递减.
故 的极大值为
，
所以 的最小值为 ， 正确， 错误.
零点个数最多为 ，此时 ， ，解得 ， 正确.
即 ，
只需证 ，令 ，
由 知 ， 两根分别位于 与 中，
因为 ， ，所以不等式 的解的最大值与最小值之差小于 ， 正确.
12．答案：8
解析：根据函数在某点处的导数的定义求解．
解：根据题意，f′（x）=4x,则f′（2）=8，
又=f'（2）=8．
故8．
13．答案：
解析：根据分布列中概率和为1可得a,再由期望、方差公式计算出D（X），最后利用D（aX+b）=a2D（X）计算可得答案．
解：因为，所以，
故，
，
所以．
故．
14．答案：56
解析：由二项式展开式的通项求解即可；
解：第一个括号内取x时，第二个为，
第一个括号内取1时，第二个为；
故展开式中x3的系数为32+24=56．
故56．
15．解析：（1）根据题意，将甲乙看成一个整体，与其余6人全排列，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，先将其余6人排好，再将甲乙安排在6人的7个空位中，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分析男生、女生之间的排法，再若男女间隔而站的情况，由分步计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，在其余6人中，选出1人，放在甲乙之间，再将三人看成一个整体，再与其他5人全排列，由分步计数原理计算可得答案．
解：（1）根据题意，将甲乙看成一个整体，与其余6人全排列，
有AA=10080种排法；
（2）根据题意，先将其余6人排好，再将甲乙安排在6人的7个空位中，
有AA=30240种排法；
（3）根据题意，男生之间的排法有A种，女生之间的排法有A种，
若男女间隔而站，有2种情况，
则男女必须间隔而站的排法有2AA=1152种；
（4）根据题意，在其余6人中，选出1人，放在甲乙之间，有CA种排法，
将三人看成一个整体，再与其他5人全排列，有A种情况，
则有CAA=8640种．
16．解析：（1）将a=1代入，求导，求出函数在[-2，1]上的单调性，进而求得最大值；
（2）求导，分a=0及a＞0两种情形讨论即可得出结论．
解：（1）当a=1时，f（x）=x3+x2-x+1，则f′（x）=3x2+2x-1=（x+1）（3x-1），
令f′（x）＞0，解得-2＜x＜-1或，令f′（x）＜0，解得，
∴函数f（x）在单调递增，在单调递减，
由于f（-1）=2，f（1）=2，故函数f（x）在区间[-2，1]上的最大值为2；
（2）f′（x）=3x2+2ax-a2=（x+a）（3x-a），令f′（x）=0，解得x=-a或，
当a=0时，f′（x）=3x2≥0，所以函数f（x）在R上递增，无极值；
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜-a或，令f′（x）＜0，解得，
∴函数f（x）在（-∞，-a），单调递增，在单调递减，
∴函数f（x）的极大值为f（-a）=a3+1，极小值为．
17．解析：（1）根据通项求解即可；
（2）令x=0求出a0，令x=1，求出a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，进而得到结果．
（3）对等式两边求导，令x=-1，求解即可．
解：（1）由题意得：．
（2）令x=0，则，
再令x=1，则，
又，
所以a1+a2+a3+a4+a5=729-2-64=663．
（3）两边同时求导得：
，
令x=-1，则．
18．解析：（1）根据频率分布直方图各个条形的面积之和等于1，即可解出a的值，再根据中位数的定义即可解决；
（2）用分层抽样分别计算出成绩在[80，90），（90，100]的两组中抽取人数，可以确定ξ取值为0，1，2，再对应的算出概率即可．
解：（1）由题意可知10×（0.012+0.024+0.04+a+0.008）=1，
解得a=0.016．
设中位数为m,则10×0.012+10×0.024+（m-70）×0.04=0.5，
解得m=73.5．即中位数为73.5．
（2）[80，90），（90，100]的两组的频率之比为：0.16：0.08=2：1，
故[80，90）组中抽取4人，（90，100]组中抽取2人，
故ξ取值为0，1，2，
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，
ξ的分布列为：
E（ξ）=0×+1×+2×=1．
19．答案：详情见解析
解析： 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
问题转化为 ，令 ，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，证明结论成立即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）= -a，
①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
②若a＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，令f′（x）＜0，解得：x＞ ，
故f（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减，
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，f（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减；
（Ⅱ）若a＞0，由（Ⅰ）知f（x）max=f（ ）=-（lna+1），
即证明-（lna+1）＞-a2- ，
令g（x）=-（lnx+1）+x2+ ，g′（x）=- +2x= ，
令g′（x）＞0，解得：x＞ ，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，
故函数g（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增，
故g（x）min=g（ ）= （ln2+ ）＞0，
故g（x）＞0恒成立，即原不等式有解．X
1
2
4
P
0.4
0.3
a
X
0
1
2
P
a
ξ
0
1
2
P