2024北京中考数学二轮专题复习 微专题 遇角平分线问题如何添加辅助线（课件）

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证明：过点P作PE⊥BA于点E，
例2　如图，∠ABP＝∠CBP，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠BAP＋∠BCP＝180°，求证：AB＋BC＝2BD.
∴∠PEA＝∠PDC.∵∠BAP＋∠BCP＝180°，∴∠PAE＝∠PCD.又∵∠ABP＝∠CBP，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∴BE＝BD，PE＝PD.∴△PEA≌△PDC.∴AE＝CD.∴AB＋BC＝BE－AE＋BD＋CD＝2BD.
如图，已知∠MON，点P是∠MON的平分线上一点．
方法一：过角平分线上的点向角两边作垂线．已知，PA⊥OM，添加辅助线：作PB⊥ON交ON于点B.
结论：PA＝PB，OA＝OB，∠APO＝∠BPO等．
方法二 作角平分线的垂线,构造等腰三角形
例3 　如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为____．
例4　如图，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，E是BC的中点，求证：DE＝ (AB－AC)．
证明：如解图，延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠FAD.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADF＝90°.∵AD＝AD，∴△ADC≌△ADF(ASA)，
∴CD＝DF，AC＝AF.∵点E是BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE＝ BF.∵BF＝AB－AF＝AB－AC，∴DE＝ (AB－AC)．
方法二：过角平分线上的点作角平分线的垂线，三线合一试试看．已知AP⊥OP，添加辅助线：延长AP交ON于点B.
结论：____________________________________________________
Rt△AOP≌Rt△BOP，OA＝OB，AP＝BP.
方法三 作边的平行线,构造等腰三角形
例5　如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长为_____．
例6　如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D.求证：AB＝AD＋BC.
证明：如解图，延长AE交BC的延长线于M，
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AD∥BC，∴∠1＝∠M＝∠2，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴BM＝BA，∠3＋∠2＝90°，∴BE⊥AM，
在△ABE和△MBE中， ∴△ABE≌△MBE，∴AE＝ME，在△ADE和△MCE中， ∴△ADE≌△MCE，∴AD＝CM，∴AB＝BM＝BC＋AD.
方法三：角平分线＋平行线⇒等腰三角形1. 过点P作PQ∥ON.
2. 若∠MON 为钝角，过点P作PQ∥ON.
结论：△OPQ为等腰三角形．
知二推三：①点P为∠AOB(或其外角)平分线上一点；②PQ∥OB；③△POQ为等腰三角形．知道其中任意两个条件，均可推出第三条结论．
方法四 作对称点构造对称图形
例7　如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝16，AD＝8，则线段BC的长为_____．
例8　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC.在BC上截取BE＝BA，延长BD到点F，使得BF＝BC，连接DE、CF.(1)依题意补全图形；
(1)解：补全图形如解图所示；
(2)求证：AD＋BD＝BC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝ (180°－100°)＝40°，∴∠ABD＝∠EBD＝ ∠ABC＝20°，∵BC＝BF，∠CBF＝20°，∴∠F＝∠FCB＝ (180°－∠CBF)＝80°，∴∠FCD＝80°－∠ACB＝40°，∴∠FCD＝∠ECD，∠F＝∠DEC，
在△DCE和△DCF中，∴△DCE≌△DCF(AAS)，∴DF＝DE＝AD，∴BC＝BF＝BD＋DF＝BD＋AD，∴AD＋BD＝BC.