山西省运城市稷山县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山西省运城市稷山县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版），共14页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上．
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．
1. 为培养学生利用现代信息技术解决数学问题的能力，某区数学教研室在本学期组织区内初中生开展了“运用几何画板，探寻美丽数学世界”的比赛活动．下列图形是部分参赛作品，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C D.
2. 若，则下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，将三角形沿着的方向平移一定的距离得到三角形．现有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4. 如图，已知在中，，垂直平分边，交边于点D，交边于点E．若，，的周长为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 14
5. 如图，的斜边轴，点B的坐标是，，则（ ）．

A. 8B. 6C. 4D. 3
6. 若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 哪吒为助力陈塘关振兴，自瑶池仙圃购得“混天仙桃”1000千克，收购价每千克10金．因东海龙族作祟，运输途中仙桃遭海水侵蚀，质量损耗．为保障陈塘关防务建设及民生改善，需确保至少的利润．设销售单价为金千克，则可列不等式为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在中，，，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
10. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径作弧，两弧分别交于E、F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，的面积为12，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，在中，，是边的中点．连接．若，则的度数为______．
12. 如图，将直角三角形沿方向平移后，得三角形．已知，四边形面积为60，则的长为______．
13. 如图，一次函数与交于点，则关于的不等式的解集是________．
14. 《国家学生体质健康标准》规定：体重指数 一个学生正常的体重指数为，则身高2米的小逸的体重m（千克）满足_______才算合格．
15. 如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结，则的周长为_________________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （1）解不等式组：3x-73+2x5；
（2）解不等式组3x+1>5x-1x-12≤2x-13，并把解集在数轴上表示出来．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答）
（1）画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______；
（2）将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______．
18. 如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足．
（1）求证：；
（2）若，，求的值并说明理由．
19. 年是“全运年”，第十五届全运会将于年月日日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．
20. 4月26日我校将迎来一年一度的科技节，科技节是我校为学生搭建科技创新平台，展现实中师生科技创新形象及科学素养的重大节日．数学组将组织开展“数学知识”竞赛，各班选派一名同学参加，其中某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于80分将有奖品赠送．如果皓皓想在本环节中获得奖品，则他至少需要答对多少道题？
21. 阅读与思考
下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“关联方程”的研究报告
智慧小组
研究对象：关联方程
研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明
研究内容：
【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组x-1>0x0x5x-1①x-12≤2x-13②，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解集是；
在数轴上表示为：
．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答）
（1）画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______；
（2）将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______．
【答案】（1）图见解析，；
（2）图见解析，．
【解析】
【分析】本题考查了作图旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点．
（1）延长到点，使，延长到点，使，依次连接，则即为所求；
（2）作出点，，以点为旋转中心逆时针旋转的对应点，，，依次连接、、，则即为所求．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
由图可知，点坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
由图可知，点的坐标为，
故答案为：．
18. 如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的值并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）6；理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用证明，即可作答．
（2）先得，因为是的外角，故，则，所以．
小问1详解】
证明：∵，
∴与都是直角三角形，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴
∴，
∵，
∴．
19. 年是“全运年”，第十五届全运会将于年月日日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．
【答案】（1），见解析；
（2）小亮跑的路线更短．
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出是直角三角形，即可求解；
（2）在中，由勾股定理求得的长度，求和的长度，比较即可求解；
【小问1详解】
解：．
理由如下：
由题意可知，，点在点的正东方处，
即．
，
是直角三角形，．
；
【小问2详解】
解：由题意可知，．
中，由勾股定理，得
．
．
而．
，
．
小亮跑的路线更短．
20. 4月26日我校将迎来一年一度的科技节，科技节是我校为学生搭建科技创新平台，展现实中师生科技创新形象及科学素养的重大节日．数学组将组织开展“数学知识”竞赛，各班选派一名同学参加，其中某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于80分将有奖品赠送．如果皓皓想在本环节中获得奖品，则他至少需要答对多少道题？
【答案】皓皓至少答对22道题
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，先设皓皓答对x道题，再根据“某一环节共有25道题，答对一题得4分，答错或不答每题扣2分，得分不低于80分将有奖品赠送”，列式，再解不等式，即可作答．
【详解】解：设皓皓答对x道题，
根据题意得：，
解这个不等式得，
为正整数，
的最小整数解为22．
答：皓皓至少答对22道题
21. 阅读与思考
下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“关联方程”的研究报告
智慧小组
研究对象：关联方程
研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明
研究内容：
【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，
所以称方程为不等式组的关联方程．
【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）．
任务：
（1）补全报告中横线处内容______．
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值．
【答案】（1）③ （2）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程，解一元一次不等式组，能理解关联方程定义是本题的关键．
（1）分别求出三个方程的解，再求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的定义即可判断；
（2）先求出一元一次不等式组的解集，找到整数解代入关联方程求解即可．
【小问1详解】
解：①，
；
②，
；
③，
，
，
；
解不等式组，得，
∵，
∴不等式组的关联方程是③；
小问2详解】
解：解不等式组，得．
因此不等式组的整数解为．
将代入关联方程，
得．
22. 某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下：
（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选取，两种食品各多少包？
（2）若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选取这两种食品？
【答案】（1）应选用A种食品3包，B种食品1包
（2）应选取A种食品3包，B种食品2包
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设每份午餐的总热量为，利用每份午餐的总热量每包A种食品的热量选用A种食品的数量每包B种食品的热量选用B种食品的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：，
解得，
答：应选用A种食品3包，B种食品1包；
【小问2详解】
解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包，
根据题意得：，
解得：．
设每份午餐的总热量为，则，
即，
∵，
∴w随m增大而减小，
∴当时，w取得最小值，此时．
答：应选取A种食品3包，B种食品2包．
23. 【尝试探究】
在中，，，将线段绕点按顺时针旋转得到线段，连接交射线于点．
（1）如图1，点为线段（不与重合）上一点，的度数是______；
（2）如图2，若点在的内部，其他条件不变，交射线于点，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，延长交于点，，若，其他条件不变，求线段的长．
【答案】（1）；（2）不变化，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）证明即可；
（2）证明即可；
（3）过点作于点，先导角得到，在中，由勾股定理得，可得，在中，，设，则，由勾股定理得，，解得：（舍负），则，在中，由勾股定理得，由上知：，而，故．
【详解】（1）解：由旋转得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：；
（2）解：不变化，理由见解析，
由旋转得，，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
即，
∴结论不变化；
（3）解：过点作于点，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：（舍负），
∴，
∵，
∴，
∴在中，，设，则，
∴由勾股定理得，
解得：（舍负），
∴，
∴在中，由勾股定理得，
由上知：，而，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键在于把握旋转的不变性和全等三角形的运用．