山西省运城市盐湖区2024—2025学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山西省运城市盐湖区2024—2025学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版），共14页。试卷主要包含了本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 回形纹是一种古老的装饰纹样，因其形状像汉字的“回”字而得名．下面四幅含有回形纹元素的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中（ ）
A. 没有一个内角为钝角B. 三个内角都是锐角
C. 至少有一个内角为钝D. 至少有两个内角为钝角
5. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知四边形中，，点E是边上的点，连接，．若，则下列各角中与一定互余的是（ ）
A. B. C. D.
7. 不等式组中的两个不等式的解集表示在同一条数轴上正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上．若，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
9. 如图，在中，，，线段垂直平分线交于点E，垂足为D．若，则的长度为（ ）
A. 18B. C. D. 12
10. 如图，是等边三角形，点，分别在，边上，且，连接，交于点．若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 将不等式化为“”或“”的形式为________．
12. 在平面直角坐标系中，平移后，顶点的对应点的坐标为，则顶点的对应点的坐标为________．
13. 如图，在中，，将沿着射线的方向平移2个单位长度后，得到，连接，则的长为________．
14. 减速带也叫减速垄，是安装在公路上使经过的车辆减速的交通设施，一般设置在需要车辆减速慢行的路段和容易引发交通事故的路段，是交通安全的专用设施．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为30cm，减速块长度为50cm．在宽度为18的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，则最多可以安装减速块________块．
15. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E在边上，且，将绕点C顺时针旋转（旋转角小于），点D的对应点记作，点E的对应点记作，当直线直线时，点到点E的距离为________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
【任务1】①第一步依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容： ；
②上述求解过程中的第 步开始出错，具体错误是 ；
【任务2】该不等式的解集为 ．
【任务3】除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解不等式还需要注意的事项写一条反思．
17. 解不等式组并把该不等式组的解集在数轴上表示出来．
18. 如图，平面直角坐标系中，各顶点的坐标依次为．
（1）将先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到．
①请在图中画出；
②点的坐标可以看成是点的横坐标分别 、纵坐标分别 得到的；
③也可以看成是沿的方向一次平移 个单位长度得到．
（2）已知与关于原点中心对称．请在图中画出，并写出与的位置关系．
19. 世界读书日全称为“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”，1995年11月15日正式确定每年4月23日为世界读书日．为了营造浓郁的读书氛围，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，决定购买甲、乙两种书共100本，且两种书的总费用不超过3000元，如果甲种书的单价为25元，乙种书的单价为40元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？

20. 如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F．
（1）尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；
（2）若，求证：．
21. 近期，我国国产动画电影“哪吒之魔童闹海”票房突破了150亿，排全球影史票房榜第5位，展现出我国电影市场强大韧性．小斌班的几名同学也想一起去看这部电影，他们了解到附近的甲、乙两家电影院这部影片的票价都是50元，并且都有一定的优惠．甲电影院的优惠方案：先以60元购买一张优惠券，然后本次购买的每张电影票均可打七折；乙电影院的优惠方案：直接购买电影票，每张可打九折．请你通过计算分析，小斌和同学们本次看电影，选择哪家电影院更优惠？
22. 从已有定理出发，研究其逆命题是否成立，是我们发现数学结论的重要方法之一，请根据这一思路完成下列任务．
【任务1】逆向思考：我们已经证明过命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，请补充它的逆命题：在直角三角形中，如果 ，那么 ．
【任务2】推理证明：请根据如下思路证明任务1中的逆命题．
已知：如图1，在中，， ，
求证： ．
证明：延长到点D，使，连接．
……
【任务3】结论应用：如图2，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接的角平分线交于点F．若，则的度数为 ，线段的长为 ．
23 综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在中，，，，是的角平分线．
初步分析：（1）求线段的长；
深入探究：（2）如图2，将从图1的位置开始沿方向平移得到，当点的对应点落在边上，求平移的距离；
拓展延伸：（3）将从图1的位置开始绕点顺时针旋转，得到（点，的对应点分别是点，），旋转角为．在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使点到，两点的距离相等？若存在，请直接写出此时点到直线的距离；若不存在，说明理由．
2024-2025学年第二学期八年级期中学业质量监测
数学
注意事项：
1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 回形纹是一种古老的装饰纹样，因其形状像汉字的“回”字而得名．下面四幅含有回形纹元素的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
D、是中心对称图形，符合题意，选项正确；
故选：D．
2. 国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可．
【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下，
故，
故选：B．
3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边同时加、减、乘、除同一个数时，不等号方向的变化规律．
【详解】根据不等式的基本性质，对每个选项逐一分析判断．
A、已知，不等式两边同时加，根据不等式基本性质1可得，即，所以该选项错误；
B、已知，不等式两边同时乘2，根据不等式基本性质2，可得，所以该选项正确；
C、已知，不等式两边同时乘，根据不等式基本性质3，可得，所以该选项错误；
D、已知，不等式两边同时加，根据不等式基本性质1，可得，即，所以该选项错误．
故选：B．
4. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中（ ）
A. 没有一个内角为钝角B. 三个内角都是锐角
C. 至少有一个内角为钝D. 至少有两个内角为钝角
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．
【详解】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，
∴证明“一个三角形中至多有一个内角钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个内角为钝角．
故选：D．
5. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握利用数形结合的思想解决一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，结合函数图象即可解决．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，
∴关于的不等式的解集
故选：A．
6. 如图，已知四边形中，，点E是边上的点，连接，．若，则下列各角中与一定互余的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理逆定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，再结合平行线性质找互余角．
先通过三边长度关系判断的形状，得到角的关系，再利用平行的性质得出与互余的角．
【详解】， ，
．
是直角三角形，且，
．
，
，
，
又，
，
即与一定互余．
故选：C．
7. 不等式组中的两个不等式的解集表示在同一条数轴上正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等组的解法以及在数轴上表示不等式的解集．先分别解出每个不等式的解集，再在数轴上分别表示出不等式的解集即可．
【详解】解：，
解①式得：，
解②式得：，
故两个不等式的解集表示在同一条数轴上如下：
，
故选：B．
8. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，求出，根据求出，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，
，
，
，
，
故选D．
9. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，则的长度为（ ）
A. 18B. C. D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，勾股定理，所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．过点作交于点，
由题意得到，求出，根据勾股定理即可求出，即可得到，求出，即可得到，即可得到答案。
【详解】解：过点作交于点，
，，
，,
，线段的垂直平分线交于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选A．
10. 如图，是等边三角形，点，分别在，边上，且，连接，交于点．若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先过点作，根据等边三角形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，利用三角形外角的性质可求出，从而可得，所以可得，，利用直角三角形的性质和勾股定理可得：，，从而可求，根据等边三角形的性质可知的长度．
【详解】解：如下图所示，过点作，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，，
，
，
是的外角，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，，
，
，
．

故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据特殊三角形的边和角之间的关系求解．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 将不等式化为“”或“”的形式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变这一性质来求解．
利用不等式的基本性质，将不等式两边同时除以3，从而将其化为的形式．
【详解】对于不等式，根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，
在不等式两边同时除以3，即，计算可得．
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，平移后，顶点的对应点的坐标为，则顶点的对应点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化——平移，熟练掌握平移中点的变化规律是解题关键．
根据平移后的对应点的坐标为，可得平移规律，即向左平移了个单位长度，向上平移了个单位长度，由点即可推算出对应点的坐标．
【详解】解：平移后的对应点的坐标为，
，，
向左平移了个单位长度，向上平移了个单位长度，
点的坐标为，即．
故答案为：．
13. 如图，在中，，将沿着射线的方向平移2个单位长度后，得到，连接，则的长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查平移的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质得到，，证明是等边三角形，即可得到答案．
【详解】解：根据平移的性质得到，，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为：．
14. 减速带也叫减速垄，是安装在公路上使经过的车辆减速的交通设施，一般设置在需要车辆减速慢行的路段和容易引发交通事故的路段，是交通安全的专用设施．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为30cm，减速块长度为50cm．在宽度为18的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，则最多可以安装减速块________块．
【答案】34
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是根据减速带的总长度等于道路宽度，建立方程求解减速块的数量．
设最多可以安装减速块块，根据减速带由减速块和两端封堵块组成，其总长度等于道路宽度列出方程，进而求解．
【详解】因为，所以，
设最多可以安装减速块块，
根据总长度关系可列方程：．
，
由于减速块的数量必须为整数，所以最多可以安装34块．
故答案为：34．
15. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E在边上，且，将绕点C顺时针旋转（旋转角小于），点D的对应点记作，点E的对应点记作，当直线直线时，点到点E的距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理是解题的关键；连接，过点C作于点H，由题意得出，，由旋转的性质可知：，，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：如图，连接，过点C作于点H，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
【任务1】①第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容： ；
②上述求解过程中的第 步开始出错，具体错误是 ；
【任务2】该不等式的解集为 ．
【任务3】除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解不等式还需要注意的事项写一条反思．
【答案】任务1：①不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；②三；移项时，从不等式的右边移到左边，没有变号；任务二：；任务三：见解析
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，解不等式，熟练掌握解不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质和运算法则即可得到答案．
【详解】解：任务1：①不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
②三；移项时，从不等式的右边移到左边，没有变号；
任务二：
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以，得．
故答案为：；
任务三：两边同时除以负数时，要及时变号．
17. 解不等式组并把该不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查解不等式组，熟练掌握解不等式是解题的关键．将每一个不等式进行求解，即可得到不等式组的解集，在数轴上表示出即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解集为，
在数轴上表示该不等式组的解集如图所示
18. 如图，平面直角坐标系中，各顶点的坐标依次为．
（1）将先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到．
①请在图中画出；
②点的坐标可以看成是点的横坐标分别 、纵坐标分别 得到的；
③也可以看成是沿的方向一次平移 个单位长度得到．
（2）已知与关于原点中心对称．请在图中画出，并写出与的位置关系．
【答案】（1）①见解析；②减2，加2；③
（2）见解析，与的关于点中心对称
【解析】
【分析】本题主要考查平移，熟练掌握平移是解题的关键．
（1）①根据题意进行平移画出图形即可；
②根据平移的方式得到坐标的变化；
③根据网格以及勾股定理进行计算即可；
（2）根据原点对称的点的坐标特征画出，找到与之间的关系．
【小问1详解】
解：①
②点的坐标可以看成是点的横坐标分别减2、纵坐标分别加2得到的，
故答案为：减2，加2；
③也可以看成是沿的方向一次平移个单位长度得到；
故答案为：；
【小问2详解】
解：
与的关于点中心对称．
19. 世界读书日全称为“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”，1995年11月15日正式确定每年4月23日为世界读书日．为了营造浓郁的读书氛围，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动，决定购买甲、乙两种书共100本，且两种书的总费用不超过3000元，如果甲种书的单价为25元，乙种书的单价为40元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？

【答案】该校最多可以购买33本乙种书
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式解实际应用，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．设该校可购买本乙种书，则购买本甲种书，根据题意列出不等式进行计算即可．
【详解】解：设该校可购买本乙种书，则购买本甲种书，
根据题意，得，
解得，
为正整数，
的最大值为33，
答：该校最多可以购买33本乙种书.
20. 如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F．
（1）尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）过作的垂线交于，则即为所求；
（2）分别证明，，可得，可得，结合角平分线的性质可得， 可得．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求：
；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知是的高，即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是作垂线，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，角平分线的定义，熟练的利用等角对等边，角平分线的性质解题是关键．
21. 近期，我国国产动画电影“哪吒之魔童闹海”票房突破了150亿，排全球影史票房榜第5位，展现出我国电影市场的强大韧性．小斌班的几名同学也想一起去看这部电影，他们了解到附近的甲、乙两家电影院这部影片的票价都是50元，并且都有一定的优惠．甲电影院的优惠方案：先以60元购买一张优惠券，然后本次购买的每张电影票均可打七折；乙电影院的优惠方案：直接购买电影票，每张可打九折．请你通过计算分析，小斌和同学们本次看电影，选择哪家电影院更优惠？
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，解一元一次不等式，设有名同学去看电影，去甲电影院的总费用为元，去乙电影院的总费用为元，列出，关于的函数关系式，分别求出，，时的值或取值范围，进行判断即可．
【详解】解：设有名同学去看电影，去甲电影院的总费用为元，去乙电影院的总费用为元，
根据题意，得，
由得，，解得，
由得，，解得，
由得，，解得；
故当看电影的人数大于6个时，选择甲电影院购买更优惠；当看电影的人数小于6个时，选择乙电影院购买更优惠；当看电影的人数等于6个时，选择两家电影院的总费用相同．
22. 从已有定理出发，研究其逆命题是否成立，是我们发现数学结论的重要方法之一，请根据这一思路完成下列任务．
【任务1】逆向思考：我们已经证明过命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，请补充它的逆命题：在直角三角形中，如果 ，那么 ．
【任务2】推理证明：请根据如下思路证明任务1中的逆命题．
已知：如图1，在中，， ，
求证： ．
证明：延长到点D，使，连接．
……
【任务3】结论应用：如图2，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接的角平分线交于点F．若，则的度数为 ，线段的长为 ．
【答案】任务1：一条直角边等于斜边得一半；这条直角边所对的锐角等于；任务2：；；见解析；任务3：15；
【解析】
【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定等待，证明任务1中的逆命题是解题的关键．
任务1：把原命题题设和条件互换作为其逆命题的题设和结论即可得到其逆命题；
任务2：证明，得到，，则可证明是等边三角形，得到，据此可证明结论；
任务3：由线段垂直平分线的性质得到，则，由三角形外角的性质可得；过点F作于H，则，可得，则；由勾股定理得，证明，得到，则．
【详解】解：任务1：由题意得，原命题逆命题为在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边得一半，那么这条直角边所对的锐角等于；
任务2：由题意得，已知条件为，求证为；
证明：延长到点D，使，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
任务3：∵边的垂直平分线交于点D，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点F作于H，
∵的角平分线交于点F，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∵，的角平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在中，，，，是的角平分线．
初步分析：（1）求线段的长；
深入探究：（2）如图2，将从图1的位置开始沿方向平移得到，当点的对应点落在边上，求平移的距离；
拓展延伸：（3）将从图1的位置开始绕点顺时针旋转，得到（点，的对应点分别是点，），旋转角为．在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使点到，两点的距离相等？若存在，请直接写出此时点到直线的距离；若不存在，说明理由．
【答案】（1）的长为；（2）平移的距离为；（3）存在点到，两点距离相等的点的时刻，点到直线的距离为或
【解析】
【分析】（1）过点作于点，利用勾股定理，求出值，利用角平分线的性质，得，设，通过构建一元一次方程，解方程即可求解；
（2）连接，利用平移的性质推得、，设，根据构建一元一次方程，解方程，即可求解．
（3）存在点到，两点距离相等的点的时刻，需分类讨论：当绕点顺时针旋转，得到，过点作于点，过点作于点，①通过等腰三角形的性质“三线合一”得，利用矩形的性质，推得，结合勾股定理求出的值，通过即可求解；②同理可得第二种情况的，通过即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点作于点，
在中，，且，，
，
是的角平分线，且，，
，
，
设，则，
，，
，解得：．
．
（2）如图，连接，
沿方向平移得到，
根据平移的性质，得：，，
，
，
由（1）得：，，且，
设，，
，
，
，解得：．
平移的距离为．
（3）存在点到，两点距离相等点的时刻，理由如下：
①如图，当绕点顺时针旋转，得到，
过点作于点，过点作于点，
由（2）得：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
绕点顺时针旋转，得到，
，
在中，，
，
；
②如图，当绕点顺时针旋转，得到，
过点作于点，过点作于点，
由（2）得：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
绕点顺时针旋转，得到，
，
在中，，
，
．
综上所述，存在点到，两点距离相等的点的时刻，点到直线的距离为或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，解一元一次方程，平移的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，理解题意、分类讨论是解题关键．
解：去分母，得．……第一步
去括号，得……第二步
移项，得……第三步
合并同类项，得……第四步
两边都除以，得．……第五步
解：去分母，得．……第一步
去括号，得……第二步
移项，得……第三步
合并同类项，得……第四步
两边都除以，得．……第五步