河南省驻马店市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份河南省驻马店市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数的定义可知定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值与之对应，
选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，选项B符合题意.
故选：B.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，解得且，
故函数的定义域为.
故选：C.
3. 下列各组函数中，表示同一函数的为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，它们的定义域不同，不是同一函数，A不是；
对于B，的定义域为，的定义域为，它们不是同一函数，B不是；
对于C，两个函数的定义域都是、且对应关系均相同，是同一函数，C是；
对于D，，，两个函数的对应关系不同，不是同一函数，D不是.
故选：C
4. 已知，，则（ ）
A. 27B. 9C. 3D.
【答案】A
【解析】因为，故.
故选：A.
5. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以.
故选：D.
6. “，”的一个充分条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】若函数在上恒成立，
则只需，
解得，即的取值范围是1,+∞，
故“，”的一个充分条件可以是“”.
故选：B
7. 已知函数是奇函数，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】因为是奇函数，所以，所以，
又，所以.
此时可知，满足，
所以奇函数，所以.
故选：C.
8. 已知实数x，y满足，则和的最大值分别为（ ）
A. 2，B. 2，1C. 4，D. 4，
【答案】D
【解析】因为，
所以
因为，所以，解得.
又因为，所以，
所以，即，
即，解得，所以，
所以，
故的最大值为4，的最大值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】由题意可得，，故，
则，，故A错误，B正确；
，故，故C错误；
，故，故D正确.
故选：BD.
10. 已知正数x，y满足，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，因为正数x，y满足，所以，因为，
所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，
当且仅当时取等号，故C错误；
对于D，，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：AD.
11. 已知函数满足对任意，都有，则（ ）
A. B. 可能为增函数
C. D. 为偶函数
【答案】ACD
【解析】
对于A：取，所以，
所以，所以，故正确；
对于B：令，则，令，则，
所以，所以不可能为增函数，故错误；
对于C：由B可知，成立，故正确；
对于D：因为，
故以代换可得，
再以代换可得，即，
所以，且定义域为关于原点对称，所以为偶函数，故正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为_____，否定后的命题是_____命题（填“真”或“假”）.
【答案】①. 存在正数的立方根不是正数 ②. 假
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“存在正数的立方根不是正数”，正数的立方根是正数所以是假命题.
故答案为：存在正数的立方根不是正数；假.
13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】为保证分段函数在整个定义域内单调递增，需同时满足，
解得，所以的取值范围是.
故答案为：
14. 已知函数，，且在定义域内恒成立，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】且，，
因为，所以，
所以，即，所以在上单调递增,
所以,,所以,
由对恒成立,得,,
故,
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知幂函数，.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）由幂函数的定义可得，解得，
则，故.
（2）易知在上单调递增，又，
所以，即，解得，故的取值范围为.
16. 近年来，国家发展改革委、国务院、工信部、生态环境部等有关部门纷纷出台污水处理领域指导、支持及规范类政策，该相关政策的落实不仅促进了环境保护，同时也带动了一批企业的发展.已知某企业每年生产某种智能污水处理设备的最大产能为100台，其年度总利润（单位：万元）与产能（单位：台）的函数关系为
（1）当产能不超过40台时，求每年生产多少台时，平均每台设备的年利润最大？
（2）当产能为多少台时，该企业所获年度总利润最大？最大利润是多少？
解：（1）因为当时，.
则平均每台设备的年利润为，
，当且仅当时取等号，
由于，，且，
故当生产14台时，平均每台设备的年利润最大.
（2）当时，，
对称轴为，
所以当时，取最大值，（万元）；
当时，
（万元），
当且仅当时等号成立.因为，
故当产能为35台时，所获年度总利润最大，最大利润为2050万元
17. 按照要求解答下列问题.
（1）已知函数在区间上不单调，求实数的取值范围；
（2）求函数，的最小值.
解：（1）根据题意得到，解得，
故的取值范围是.
（2）由题意可得，
当时，函数和单调递增，故函数在上单调递减，
故；
当时，函数在上单调递增，故；
当时，，可知.
综上可知的最小值为3.
18. 已知函数.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用定义法进行证明；
（3）证明：
（1）解：
（2）证明：在上单调递减.
取，，且，
因为
故，
即，，
则，
即，
故，即，
所以在上单调递减；
（3）证明：由（2）可得，
又因为，
故，故.
19. 已知函数的定义域为，给定，设，，若存在使得，则称为函数的一个“点”.
（1）若为R上的单调函数，证明：不存在“点”；
（2）若，讨论的“点”个数，并在存在“点”的前提下，求出所有的“点”；
（3）若，证明：“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”.
（1）证明：若在上单调递增，
则时，对，有，
则，不存在“点”；
若在上单调递减，则时，对，
有，则不存在“点”.
综上所述，不存在“点”.
（2）解：当时，在上单调递增，则不存在“点”；
当时，则使在时有解的的个数
即为的“点”的个数，
整理得，由得，故，即存在唯一“点”.
综上所述，当时，不存在“点”；
当时，存在唯一“点”，.
（3）证明：由题得在时有解，
即，等式两边平方后有，
即，又，
故等式两边平方得，且此时，
即“为函数的一个‘点’”的充要条件是“在时有解且满足”.
又在时，单调递增，故，解得，
由得，即，恒成立，故；
的正数解为且在此时成立，
得，解得，
则“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”.