河南省部分学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份河南省部分学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以.
故选：.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题“，”的否定为“”.
故选：C.
3. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，解得，则，
若，则，所以解得故选：A
4. 若幂函数在0,+∞上单调递减，则实数的值是（ ）
A. -2B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】因为函数是幂函数，且在上单调递减，
所以，
由方程，解得或；由不等式，解得，
故.
故选：A.
5. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除A；
，排除B；，排除C.
故选：D.
6. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，是增函数，所以，因为，所以，所以，即.综上，.
故选：C
7. 已知函数，且）在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. （1，4）D.
【答案】B
【解析】因为在上单调递增，所以解得.
故选：B.
8. 已知是定义在R上的偶函数，其图象关于点1,0中心对称，且时，，则（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】C
【解析】因为的图象关于点1,0对称，所以，
将代入，可得，
由是偶函数，所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，为上的奇函数，在定义域内不单调，A错误；
对于B，的定义域为R，，该函数为奇函数，
当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递增，
函数在定义域R上单调递增，B正确；
对于C，的定义域为R，，是奇函数，
函数，均在R上单调递增，则在R上单调递增，C正确；
对于D，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，D错误.
故选：BC
10. 如果函数在区间上单调递减，且函数在区间上单调递增，那么称是区间上的“可变函数”，区间叫做的“可变区间”.已知函数，则下列区间为的可变区间的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为图象的对称轴为直线，所以在区间上单调递减，又在和上单调递增，
的单调递减区间和的单调递增区间的交集为，
故的可变区间应该是该集合的子集，A，C符合条件.
故选：AC.
11. 已知函数的定义域为，且是奇函数，函数，且在上单调递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. 在上单调递减
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】对于A，因为是奇函数，所以，故A正确；
对于B，因为，
所以的图象关于直线对称，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，故B正确；
对于C，因为，所以，
因为的图象关于直线对称，
所以，所以，故C正确；
对于D，因，且，
的图象关于直线对称，
所以，解得，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：_____.
【答案】
【解析】
.
故答案为：
13. 函数的定义域是_____.
【答案】
【解析】要使有意义，则，，解得.
要使有意义，则，，由函数是增函数，得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14. 已知，且，则的最小值是_____，此时_____
【答案】①. 5 ②.
【解析】解法一：因为，，，所以，
则，故，
当且仅当，即，时等号成立，此时.
解法二：由，得，因为，所以，
故，
当且仅当，即，时等号成立，此时.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）若且，求的取值范围；
（2）设：，：，若是的必要不充分条件，求的取值范围.
解：（1）因为且，
所以，即，
解得或，
因为，所以，
即的取值范围是；
（2）由已知，得，
，
因为是的必要不充分条件，所以，而，
所以，且等号不能同时成立，解得，
故的取值范围是.
16. 已知函数的图象与轴相交于点和，与轴相交于点.
（1）求的解析式；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题意得，解得，
所以；
（2）由，整理可得
由条件知当x∈0,+∞时，恒成立.
因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，即实数的取值范围是.
17. 锂是最轻的金属元素，被广泛应用于储能、化工、医药、冶金、电子工业等领域.某地有一处锂矿，探明的锂矿石储存量为吨，计划每年开采一些锂矿石，且每年的开采率（即当年开采量占该年年初储存量的比率）保持不变，到今年底为止，该锂矿已经开采了年，在此期间锂矿石开采的总量为吨.
（1）求该锂矿每年的开采率；
（2）为了避免破坏当地的生态环境，锂矿石至少要保留吨不进行开采，则该锂矿今后最多还能开采多少年?
解：（1）设该锂矿每年的开采率为，
锂矿石开采的总量为吨，则剩余的锂矿石为吨，
所以，即，
解得，
故该锂矿每年的开采率为；
（2）该锂矿今后继续开采年后，剩余的锂矿石为吨，
由题意知，，
得，
即，
因为是减函数，所以，得，
所以该锂矿今后最多还能开采年.
18. 已知是定义域为的奇函数.
（1）求的解析式；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为是定义域为的奇函数，
所以，所以
又，所以，
所以
因为，所以是奇函数，符合题意
（2）由（1）知.
任取，设，
因为是增函数，所以，所以，从而，
所以在R上单调递减.
因为为奇函数，
所以恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，解得.
所以的取值范围为
19. 已知函数.
（1）当时，求的值域.
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
（3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
令，则，，
所以的值域为；
（2）令，，则，，
因为在上单调递增，
所以要使在上单调递增，
只需在上单调递增，
①当时，在上单调递减，不符合题意；
②当时，的图象开口向下，不符合题意；
③当时，则需，解得，
所以实数的取值范围是；
（3）由是的图象的局部对称点，可得，，
代入整理得，①
令，则，，
代入①式得，，
当时，函数和均单调递增，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.