河南省驻马店市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份河南省驻马店市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，，所以.
故选：A.
2. 命题：，的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，的否定为.
故选：D.
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
且函数在上单调递增，
故函数至多有一个零点.
，，
，
，∴函数的零点所在区间为.
故选：C.
4. 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除AC，
因为当时，，所以排除D.
故选：B.
5. 投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（ ）
A 与互斥B. 与对立
C. D. 与相互独立
【答案】D
【解析】对于AB，由题意可知当朝上的点数为6时，事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B既不互斥，也不对立，所以AB错误；
对于C，由题意可知，
所以，所以C错误；
对于D，因为，
所以，所以与相互独立，所以D正确.
故选：D.
6. 某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，则，
再经过8年，即时，，
所以再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的.
故选：C.
7. 记，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
综上可知：.
故选：A.
8. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，，，则不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
解得，所以，
是充要条件，A错；
是充分不必要条件，B对；
是既不充分又不必要条件，C错；
是必要不充分条件，D错.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验，其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目，已知该卫星连续7天内观测到的低轨行星数目分别为：9，13，12，12，14，10，14，则这组样本数据的（ ）
A. 极差是5B. 众数是12
C. 均值是12D. 50%分位数是12.5
【答案】AC
【解析】对于A，这7个数的极差为，所以A正确，
对于B，这7个数的众数为12和14，所以B错误，
对于C，这7个数的均值为，所以C正确，
对于D，这7个数从小到大排列依次为9，10，12，12，13，14，14，
因为，所以这组数的50%分位数是12，所以D错误.
故选：AC.
10. 已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】A选项，令，即，此时，故，
由题意得，
由基本不等式得，即，解得，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，，故，解得，
则，
故当时，取得最小值，最小值为，B错误；
C选项，，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，C正确；
D选项，因为，，所以，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ACD.
11. 设函数，对任意的非零实数x，y，恒有，且对任意的，有，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 单调递减
D. 的解集为
【答案】ABD
【解析】项，令，则，所以，故正确；
项，令，则，所以
令，则，所以，所以为偶函数，故正确；
C项，令，则，所以，
，即，
，所以在上单调递减，
又因为为偶函数，所以在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；
项，，即，
所以，所以或，解得或，
所以的解集为，故正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某高中一、二、三年级的学生人数分别为1000、2000、3000，为调查该校学生的身高情况，采用分层抽样的方法从全体学生中抽取30人，抽出的一、二、三年级学生的平均身高分别为、、，则估计该校学生的平均身高是_____.
【答案】169
【解析】由题意得所抽取的高中一、二、三年级的学生人数分别为
，
，
，
因为抽出的一、二、三年级学生的平均身高分别为、、，
所以这30人的平均身高为，
所以该校学生的平均身高约为169cm.
13. 如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是_____.
【答案】0.7424
【解析】根据题意可知电流能通过的概率为，电流能通过的概率为，
所以电流不能通过，且也不能通过的概率为，
所以电流能通过的概率为，
因为电流能通过的概率为，
所以电流能在E，F之间通过的概率为.
14. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】因为函数在定义域上递减，且值域为，
所以，即
，即，
所以，
所以，设，则，
由可得，
在上递增，所以，
所以实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算求值．
（1）计算；
（2）已知，求的值．
解：（1）由于，，，
，
因此原式．
（2）由条件，．
由，得，
所以，化简得，
所以，
得或（舍去），从而可得.
16. 已知函数，且的解集为．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上单调，求实数的取值范围；
（3）求在区间上的最小值．
解：（1）根据条件的解集为，则1，3为方程的两根，
所以，得，，
所以.
（2）由于的对称轴为，
因此若在区间上单调，则或，
解得，或，
即.
（3）因为在区间上单调递减，在上单调递增，
所以当时，区间上递增，
此时；
当，即时，；
当，即时，在区间上递减，
此时；
综上所述：即为所求．
17. 袋中有3个白球（标记，，）、2个黑球（标记为，），这5个球除颜色外完全相同，每次从中摸出一个球．
（1）若不放回地摸出2个球，写出该试验的样本空间；
（2）在（1）条件下，求两个球的颜色不相同的概率；
（3）若有放回地摸出2个球，求至少有一个白球的概率.
解：（1）该试验的所有可能结果为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
因此，该试验的样本空间为：
.
（2）由（1）可知，该试验的所有可能结果（样本点）共有个，
且每个结果出现的可能性相同，记“摸出的两个球的颜色不相同”为事件，
则
事件包含的样本点的个数为
则根据古典概型的概率求解公式得．
（3）若有放回地每次从中摸出一个球，则每次摸球彼此相互独立，
摸到白球（记为）的概率为，
摸到黑球（记为）的概率为，
记“摸出2个球中至少有一个白球”为事件，
则
．
18. 设函数（，且）．
（1）若为偶函数，求实数的值；
（2）若，求关于的不等式的解集；
（3）若的图像上仅存在两个不同的点关于原点对称，求实数的范围．
解：（1）因为，
所以，
因为为偶函数，所以，成立，
所以，
，所以，
因为对上式成立，所以，得．
（2）因，
由条件，则，，
因此等价于，
当时，由，得，则原不等式的解集为；
当时，由，得，则原不等式的解集为.
（3）不妨记
，
因为，
所以函数为偶函数．
则的图像上仅存在两个不同的点关于原点对称，
即在上有且仅有一个零点，且，
即，得且，
记，则此函数为偶函数，当，
因此原命题等价于函数（且）在区间只有一个零点．
分情况讨论：
当，即，
此时有唯一实根，
当时，，由，得不合题意，
当时，，此时的唯一实根满足题意；
当时，即，
若在只有一个零点，只需，解得，
综上所述，若的图像上仅存在两个不同的点关于原点对称，
实数的范围是即为所求．
19. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”．
（1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由；
（2）若集合是“封闭集”，且，求集合；
（3）设集合是“封闭集”，证明：当时，．
解：（1）集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”．
集合中，
因为，，，，，，
所以集合是“封闭集”.
（2）因为，且是“封闭集”，由于，
所以，则，所以，
又因为，所以，
则，，，，
由集合的元素互异性可知，，而，所以，
故集合.
（3）因为是“封闭集”，
所以，则，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，则，
由集合元素的互异性可知，
所以，，，，，
所以，
即①，
所以当时，②，
则①②为，
也即，命题得证．