湖南省岳阳市湘阴县城南区2024-2025学年九年级下学期3月联考数学试题（解析版）

这是一份湖南省岳阳市湘阴县城南区2024-2025学年九年级下学期3月联考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分)
1. 在，2，0，这四个有理数中，最小的是（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】A
【解析】，∴最小的数是，
故选：A
2. 下列几何体的三视图都相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. 圆台的主视图、左视图是等腰梯形，俯视图是两个同心圆，故不合题意；
B. 圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是一个圆，不合题意；
C. 圆锥的主视图、主视图都是等腰三角形，俯视图是一个圆，不合题意；
D. 球体的三视图都是圆，符合题意．
故选：D
3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】．
故选A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
5. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在中，为直径，
∴，
∵，
∴，
故选D．
6. 半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
故选D．
7. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意得，，
解得，，
故答案为：B．
8. 如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、B、有两组角对应相等的两个三角形相似，由此判定，故A、B不符合题意；
C、和，和不是对应边，不能判定，故C符合题意；
D、由，得到，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意；
故选：C．
9. 小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量（单位：度），结果如下：9，11，7，10，8．根据这些数据，估计她家6月份的用电量为（ ）
A. 180度B. 210度C. 240度D. 270度
【答案】D
【解析】∵这5天的日用电量的平均数为（度），
∴估计他家6月份日用电量为9度，
∴估计她家6月份的用电量为：（度），故D正确．
故选：D．
10. 已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积是1．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ③④
C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
，，
在和中，，
≌，
∴OE=OF，，
∴，
∴．
又∵OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵≌，
∴设BE=CF=x，则EC=2-x，其中，
在Rt△EFC中，，
在Rt△EFO中，，
∴，
∴，
，
∴当x=1时△OEF的面积取得最小值，故②正确；
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴BE=CF=或BE=CF=时，△ECF的周长是，
∴至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是，故③正确；
∵≌，
，
，
故④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在答题卡上的横线上．）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是_____．
【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是，
故答案为：．
12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_______．
【答案】且
【解析】是关于的一元二次方程，
故，则，
，，，
则，
解得：；
综上所述，可得且；
故答案为：且
13. 某数学兴趣小组设计用手电来测量某大厦的高度．如图，在点P处放一面水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，测得，那么该大厦的高度约为_____m．
【答案】39
【解析】根据题意得，
，，，
，，
，，
，即，
，
∴该大厦的高度是．
14. 若分式的值为0，则的值为_______．
【答案】
【解析】∵分式的值为0，
∴，且，∴．
15. 在中，若，，则____.
【答案】
【解析】设，则，
由题意得，，
解得，
∴，
故答案为：．
16. 如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为______．
【答案】
【解析】∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
17. 如图，是的角平分线．若，则的面积是______．
【答案】7
【解析】过点D作于H，
，，
是角平分线，，
，的面积，
故答案为：7．
18. 如图，是的直径，点E是的中点，过点E作弦．连接，．若点F是的中点，过点C作，垂足为点G．若的半径为2，则的长是________．
【答案】
【解析】如图，连接，
是的直径，，
，，，
是的垂直平分线，，，
点E是的中点，，
，
中，，，
，，
是等边三角形，，
，，
点F是的中点，，，
，
又，，，．
三、解答题：（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
解：原式．
20. 化简求值：，其中，．
解：原式，
当，时，原式.
21. 温州作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1800名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第；合格（），一般（），良好（），优秀（），制作了如下统计图（部分信息未给出）由图中给出的信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数是 °．
（3）这次测试成绩的中位数是 等级．（填写“合格”，“一般”，“良好”或“优秀”）
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？
解：（1）（人），
∴测试成绩为一般的学生人数为：（人）；
补全直方图如图：
（2），
故答案为：；
（3）本次抽取学生的人数一共200人，将成绩按照从小到大排序后，第100个数据和第101个数据均在的范围内，
即中位数落在良好等级；
故答案为：良好；
（4）（人）；
答：估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有990人．
22. 如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
（1）证明∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形，
∴．
23. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A、B两种配件．已知购进50件A配件和125件B配件需支出成本20000元；购进40件A配件和40件B配件需支出成本12400元．
（1）求A、B两种配件的进货单价；
（2）若该配件销售部门计划购进A、B种配件共400件，B配件进货件数不低于A配件件数的3倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件的售价比进价多20元，怎样安排A、B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
解：（1）设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元，
根据题意得：，解得：．
答：A配件的进货单价是250元，B配件的进货单价是60元；
（2）设购进m件A配件，则购进件B配件，
根据题意得：，
解得：，
设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，
则，即，
∵，∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时．
答：当购进100件A配件，300件B配件时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是10000元．
24. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．

（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，）
解：（1）过点作，垂足为，

结合题意得：，，
，
在中，米，
（米），
米，
（米），
点到地面的距离的长为0.2米；
（2）轿车能驶入小区.
理由：当，米时，
∵，，
米，（米），
在中，（米），
（米），
，轿车能驶入小区．
25. 如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为．
（1）求抛物线的解析式及B点坐标；
（2）求面积；
（3）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标．
解：（1）把，，代入得：，
解得，
∴抛物线的表达式为，
令，则或4，∴；
（2）∵，，，
∴，；
（3）设直线的解析式为，
∵，∴，解得，
直线的解析式为，
设，
∵轴，，
，
当时，，此时，
线段的最大值是4，此时点P的坐标为．
26. 【问题发现】
如图①，，矩形的顶点A在射线上移动，顶点B在射线上移动，．容易发现，在矩形移动过程中，的外接圆半径为定值．
理由如下：如图②，取的中点E，连接，
在中，，点E是斜边的中点，
∴，，
∴．
∴点O、A、B在以点E为圆心，2为半径的上．
即为的外接圆，其半径为2．
【深入探究】
在【问题发现】的条件下，连接，线段的长为 ，在矩形移动过程中，线段长度的最大值为 ；
【类比运用】
如图③，，矩形的顶点A在射线上移动，顶点B在射线上移动，．
（1）设的外接圆圆心为点E，半径为R，请判断在矩形移动过程中R的值是否发生变化，若不变，请求出R的值，若变化，请说明理由；
（2）直接写出在矩形移动过程中线段长度的最大值．
解：【深入探究】 由【问题发现】知，
，
，
当、、三点在同一直线上时，有最大值，
线段长度的最大值为；
故答案为：，．
【类比运用】：（1）不变．
连接、，则，
，
，
在中，，
，
；
（2）由（1）可知：点在以为弦，半径为的圆上，如图所示，
，
当在线段上时，此时有最大值，
过点作于点，交于点，
，
，
，，
的最大值为：．