2025年中考考前冲刺攻略教案：数学（三）（解析版）

这是一份2025年中考考前冲刺攻略教案：数学（三）（解析版），共140页。教案主要包含了思维指引，知识迁移，方法推广，高分技巧，解题思路，探究发现，拓展延伸，操作发现等内容，欢迎下载使用。

几何图形的初步认识…………………………………………………………………………01
三角形…………………………………………………………………………………………20
四边形…………………………………………………………………………………………45
圆………………………………………………………………………………………………81
尺规作图………………………………………………………………………………………114
01几何图形的初步认识
考查分值：分值在3-9分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：几何初步知识是中考数学的基础考点，年年都会考查，预计 2025 年及今后各地中考仍会出现。
知识点1：几何体的展开图
几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形.
立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.
平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.
正方体展开图（共计11种）：
口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意,
2）“三个二”成阶梯,
3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如.
几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
4）体：几何体也简称体.
组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体.
知识点2：直线﹑射线和线段
重点：1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
知识点3：平行线
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补..
平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简称：同位角相等，两直线平行.
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简称：内错角相等，两直线平行.
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简称：同旁内角互补，两直线平行.
判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行．
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合.
平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
知识点4：角
1.角的分类：
2.角的表示方法：
3.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.
度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（160）′；1″=（13600）°
1周角=2平角=4直角=360°.
角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置；
2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较.
4.角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
②角平分线上的点到角两边的距离相等．
5.余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角.
6.补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角.
【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等.
真题1（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案．
【详解】
解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是
故选：B．
真题2（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A=110°，则∠D的度数是（ ）
A．40∘B．36∘C．35°D．30∘
【答案】C
【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°，∠D=∠DBC；
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=12×70°=35°．
∴∠D=35°．
故选：C
真题3（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点O有OB⊥AB，进而利用垂线段最短得到OA>OB即可解题．
【详解】解：∵过点O有OB⊥AB，
∴OA>OB，
即得到F1的力臂OA大于F2的力臂OB，
∴其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
真题4（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【答案】C
【分析】本题考查了钟面角，用30°乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是30°，根据时针与分针相距的份数，可得答案．
【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是30°×2=60°，
故选：C．
真题5（2024·江西·中考真题）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】B
【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
共有2种方法，
故选：B．
真题6（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
【答案】 12 144
【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答．
【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，
∵2,3的最小公倍数是6，
如图，
∴6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，
∴需图②的个数：6×2=12（个）；
同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体，
用4×3=12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，
此时需要：2×3×4×6=144（个）．
故答案为：12；144．
真题7（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
(1)直接写出ADAB的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【答案】(1)2；
(2)C；
(3)见解析．
【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，四边形EFNM是正方形，得到EM=EF，即AG=EF，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作10个正方体，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个正方体，每张型号Ⅰ卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，
∵四边形EFNM是正方形，
∴EM=EF，即AG=EF，
∴GH+AG=AE+FB+EF，即AH=AB，
∵AH=DH，
∴ADAB=AH+DHAB=2，
∴ADAB的值为：2．
（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
（3）解：
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：
∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则
10×2+2×3+1×1=27（个），
∴所用卡纸总费用为：
20×2+5×3+3×1=58（元）．
预测1（2025·陕西西安·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线BF与一束经过光心O的光线CD相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若∠ABF=145°，∠COE=30°，则∠DPF的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点P作GP∥AB，利用平行线的性质推出∠ABF+∠GPB=180°，∠CPG=∠COE，再利用角的和差和对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图，过点P作GP∥AB，
∵GP∥AB，
∴∠ABF+∠GPB=180°，
∴∠GPB=180°-∠ABF=180°-145°=35°，
∵GP∥AB，AB∥EF，
∴GP∥EF，
∴∠CPG=∠COE=30°，
∴∠BPC=∠GPB+∠CPG=35°+30°=65°，
∴∠DPF=∠BPC=65°．
故选：C．
预测2（2025·陕西商洛·一模）若∠A的度数为27°23'，则∠A的补角的度数为（ ）
A．152°37'B．152°77'C．62°37'D．62°77'
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个角的补角度数，角度的计算．根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
【详解】解：∵∠A的度数为27°23'，
∴∠A的补角的度数为180°-27°23'=152°37'．
故选：A
预测3（2025·河北石家庄·一模）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的度数是（ ）
A．35°B．50°C．85°D．90°
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，平行线的性质，理解图示，掌握方位角的含义，平行线的性质是关键．
根据题意，AD∥BE,∠DAC=50°,∠EBC=35°，如图所示，过点C作CF∥AD，则AD∥CF∥BE，则∠ACF=∠DAC=50°,∠BCF=∠EBC=35°，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，AD∥BE,∠DAC=50°,∠EBC=35°，
如图所示，过点C作CF∥AD，则AD∥CF∥BE，
∴∠ACF=∠DAC=50°,∠BCF=∠EBC=35°，
∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+35°=85°，
故选：C ．
预测4（2025·山东菏泽·一模）一副三角板按如图方式摆放，∠A=∠B=45°，∠C=60°，∠D=30°，若AB∥OD，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，由平行线的性质可得∠BED=∠D=30°，再根据三角形外角的性质∠1=∠B+∠BED即可得出答案．
【详解】解：∵ AB∥OD，
∴∠BED=∠D=30°，
∴∠1=∠B+∠BED=45°+30°=75°，
故选：D．
预测5（2025·山东临沂·一模）抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为F1和F2，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若∠1=20°,∠2=130°，则∠3的度数为（ ）
A．70°B．85°C．90°D．80°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，几何图形的角度运算，先根据两直线平行，同旁内角互补，得∠4=160°,再结合∠3+∠2+∠4=360°，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：
∵TY∥NG，
∴∠4+∠1=180°，
∵∠1=20°,
∴∠4=160°,
∵∠3+∠2+∠4=360°，∠2=130°，
∴∠3=360°-130°-160°=70°，
故选：A．
预测6（2025·河北唐山·一模）如图，正方体展开图的每个面上都有一个汉字，则原正方体的表面上，“心”字对面的字是（ ）
A．数B．学C．素D．养
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方体相对两面上的文字，熟记正方形的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形这一特性是解题的关键．正方形的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．
【详解】解：正方形的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“数”和“养”是相对面；“学”和“心”是相对面；“核”和“素”是相对面．
故选B．
预测7（2025·江西景德镇·一模）将边长为4的正方形做成如图1所示的七巧板，将图1中的七巧板拼成如图2所示的“天鹅”，则图2中AB的长为 ．

【答案】4-2
【分析】题目主要考查正方形的性质，解三角形，理解题意，找出各边之间的关系是解题关键．
根据题意得出LG=KI=12HG=2，△IJK为等腰直角三角形，确定IJ=KJ=2，结合图形即可求解．
【详解】解：如图所示：根据题意得LG=KI=12HG=2，△IJK为等腰直角三角形，
∴IJ=KJ=2，
∴AB=LG+IK-IJ=2+2-2=4-2，
故答案为：4-2．
押题1如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A',D'对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．72°
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，折叠的性质推出∠AEF=∠FEA'=2∠2，利用平角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵长方形纸片ABCD
∴AB∥DC，
∴∠1=∠AEF，
由折叠的性质得出∠AEF=∠FEA'，
∵∠1=2∠2，
∴∠AEF=∠FEA'=2∠2，
∵∠AEF+∠FEA'+∠2=180°，
∴2∠2+2∠2+∠2=180°，
∴∠2=36°．
∴∠AEF=72°．
故选：D．
押题2淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西70°方向B．南偏东20°方向
C．北偏西20°方向D．北偏东70°方向
【答案】D
【分析】根据方向角的定义可得答案．
【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向．

故选D．
【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．
押题3下图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段CD的长度，其依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【分析】本题考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用．熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
根据垂线段最短作答即可．
【详解】他的跳远成绩是线段CD的长度，这样测量的依据是垂线段最短．
故选：A．
押题4如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“国”相对的面上的汉字是（ ）
A．诚B．信C．友D．善
【答案】B
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“诚”与面“友”相对，面“爱”与面“善”相对，面“信”与面“国”相对．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键．
押题5如图，CD是∠ECB的平分线，且CD ∥ AB，∠B=40∘，则∠ECD的度数为（ ）
A．30∘B．40∘C．50∘D．60∘
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
利用两直线平行内错角相等和角平分线的定义可解答．
【详解】解：∵CD是∠ECB的平分线，
∴∠ECD=∠BCD，
∵CD ∥ AB，∠B=40∘，
∴∠B=∠BCD=40∘，
∴∠ECD=40∘．
故选：B．
押题6如图所示，∠AOD=∠BOC，若∠AOB=100°，∠COD=40°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．40°C．30°D．25°
【答案】C
【分析】通过∠AOD=∠BOC得到∠AOC=∠BOD，计算求解即可．
【详解】解：∵∠AOD=∠BOC，
∴∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
∵∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD，
∴∠AOC+∠BOD=100°-40°=60°，
∴∠BOD=30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查角的计算，能够得到角度关系是解题关键．
押题7如图是8：00时的时针及分针的位置，则此时分针与时针所成的∠α= °．
【答案】120
【分析】利用钟表中各整数间隔将表盘平分，及刻度摆放位置，得到间隔数，计算得到圆心角．
【详解】8:00时，∠α的时针指到8，分针指到12，
∴ ∠α两边之间有4个间隔，
∵整个钟表有12个间隔，
∴∠α=412×360°=120，
故答案为120．
【点睛】本题考查钟表时刻中圆心角的计算，利用间隔均分和周角为360°，按照比例进行计算．
押题8七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，且边长为4，那么阴影部分面积为 ．

【答案】3
【分析】将正方形ABCD的面积分成16等份，看阴影部分占几份即可．
【详解】解：如图所示，正方形ABCD的面积可以分成16等份，

其中△BJE占1份，平行四边形HPFD占2份，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴ S正方形ABDF=42=16，
∴S阴影=S△BJE+S▱HPFD=1+216×16=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查七巧板相关的计算，解题的关键是根据图形得出阴影部分所占面积与正方形面积之比．
02 三角形
考查分值：三角形相关内容的分值大约在 15-25 分左右，占总分的 12.5%-20.8%。。
考查形式：选择题:通常有1-2道题考查三角形，每题分值3-4分，共3-8分。
填空题:可能有1-2道题与三角形有关，每题分值3-4分，共3-8分。
解答题:会有1-2道大题涉及三角形，分值一般在8-12 分左右。如果是综合性很强的压轴题分值可能会更高。
命题趋势：更加注重与实际生活的联系，以实际问题为背景，考查学生运用三角形知识解决实际问题的能力；强调知识的综合运用，将三角形与其他数学知识，如函数、方程、圆等进行深度融合，考查学生的综合分析和解决问题的能力；对学生的逻辑推理能力要求提高，在证明军答题中，需要学生具备严谨的逻辑思维，能够清晰地写出推理过程和证明步骤。
知识点1：三角形的性质
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
三角形三边关系定理及推论的应用：
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
知识点2：三角形的重要线段
知识点2：全等三角形的性质和判定
全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等.
2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
3）全等三角形的周长相等、面积相等．
全等三角形的判定
1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
常见的全等三角形模型（基础）
真题1（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S△ABC=12，则BE的长为（ ）
A．1.5B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据S△ABC=12和AD=4求出BC=6，根据AE是中线即可求解．
【详解】解：∵S△ABC=12×BC×AD=12，AD=4，
∴BC=6
∵AE是中线，
∴BE=12BC=3
故选：B
真题2（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（ ）
A．100°B．115°C．130°D．145°
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得∠C=180°-∠BAC2=25°，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠C=180°-∠BAC2=25°，
∵DA⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=115°．
故选：B
真题3（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45°B．39°C．29°D．21°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得∠EBC+∠DCB=180°，从而可得∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，即可求解．
【详解】解：∵l∥m，
∴∠EBC+∠DCB=180°，
即∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∵∠ABE=21°，
∴21°+60°+60°+∠ACD=180°，
∴∠ACD=39°，
故选：B．
真题5（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18B．92C．9D．62
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接AD，根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出△ADE≌△CDF，将四边形AEDF的面积转化为三角形ADC的面积再进行求解．
【详解】解：连接AD，如图：
∵∠BAC=90°，AB=AC=6，点D是BC中点，AE=CF
∴∠BAD=∠B=∠C=45°,AD=BD=DC
∴△ADE≌△CDF，
∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=12S△ABC
又∵S△ABC=6×6×12=18
∴S四边形AEDF=12S△ABC=9
故选：C
真题5（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF的长为 ．
【答案】35
【分析】本题考查了作图-基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断BF平分∠ABC，过F作FG⊥AB于G，再利用角平分线的性质得到GF=CF=3，根据勾股定理求出AG=AF2-FG2=52-32=4，证明Rt△CBF≌Rt△GBF，得出BG=BC，设BG=BC=x，则AB=4+x，AC=AF+CF=5+3=8，根据勾股定理得出82+x2=4+x2，求出x=6，根据勾股定理求出BF=CF2+BC2=32+62=35．
【详解】解：过F作FG⊥AB于G，
由作图得：BF平分∠ABC，FG⊥AB，∠C=90°，
∴GF=CF=3，
在Rt△AFG中根据勾股定理得：AG=AF2-FG2=52-32=4，
∵FG=CF，BF=BF，
∴Rt△CBF≌Rt△GBFHL，
∴BG=BC，
设BG=BC=x，则AB=4+x，AC=AF+CF=5+3=8，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
AC2+BC2=AB2，
即：82+x2=4+x2，
解得：x=6，
∴BC=6，
在Rt△BCF中根据勾股定理得：BF=CF2+BC2=32+62=35．
故答案为：35．
真题6（2024·山东德州·中考真题）如图，C是AB的中点，CD=BE，请添加一个条件 ，使△ACD≌△CBE．
【答案】AD=CE或∠ACD=∠B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键．
要使△ACD≌△CBE，已知AC=BC，CD=BE，则可以添加一对边AD=CE，从而利用SSS来判定其全等，或添加一对夹角∠ACD=∠B，从而利用SAS来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）．
【详解】解：∵C是AB的中点，
∴AC=BC，
∵CD=BE，
∴添加AD=CE或∠ACD=∠B，
可分别根据SSS、SAS判定△ACD≌△CBE（填一个即可，答案不唯一）．
故答案为：AD=CE或∠ACD=∠B．
真题7（2024·江苏镇江·中考真题）如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB．

(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB=70°，则∠CAB=__________°．
【答案】(1)答案见解析
(2)20
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）利用AAS即可证得△ABC≌△BAD；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠DBA的度数，再根据全等三角形的性质即可得出∠CAB的度数．
【详解】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
∠C=∠D=90°∠CBA=DABAB=BA，
∴△ABC≌△BAD(AAS)；
（2）解：∵∠DAB=70°，∠D=90°，
∴∠DBA=90°-70°=20°，
由（1）知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠DBA=20°，
故答案为：20．
真题8（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3．
(1)问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是______，AD与BE的位置关系是______；
(2)类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
【答案】(1)BE=3AD；AD⊥BE
(2)一致；理由见解析
(3)BE=3105
【分析】（1）延长DA交BE于点H，根据旋转得出CD=AC=1，CE=BC=3，∠ACD=∠ACB=90°，根据勾股定理得出AD=12+12=2，BE=32+32=32，根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠DAC=12×90°=45°，∠CBE=∠CEB=12×90°=45°，根据三角形内角和定理求出∠BHD=180°-45°-45°=90°，即可得出结论；
（2）延长DA交BE于点H，证明△ACD∽△BCE，得出ADBE=ACBC=13，∠ADC=∠BEC，根据三角形内角和定理得出∠EHN=∠DCN=90°，即可证明结论；
（3）过点C作CN⊥AB于点N，根据等腰三角形的性质得出AN=ND=12AD，根据勾股定理得出AB=12+32=10，证明△ACN∽△ABC，得出ANAC=ACAB，求出AN=1010，根据解析（2）得出BE=3AD=3105．
【详解】（1）解：延长DA交BE于点H，如图所示：
∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，
∴CD=AC=1，CE=BC=3，∠ACD=∠ACB=90°，
∴根据勾股定理得：AD=12+12=2，BE=32+32=32，
∴BE=3AD，
∵CD=AC，CE=BC，∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠DAC=12×90°=45°，∠CBE=∠CEB=12×90°=45°，
∴∠BHD=180°-∠ADC-∠CBE=180°-45°-45°=90°，
∴AD⊥BE．
（2）解：线段AD与BE的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下：
延长DA交BE于点H，如图所示：
∵将△CAB绕点C旋转得到△CDE，
∴CD=AC=1，CE=BC=3，∠ACD=∠BCE，∠DCE=∠ACB=90°，
∴ACBC=CDCE=13，
∴△ACD∽△BCE，
∴ADBE=ACBC=13，∠ADC=∠BEC，
∴BE=3AD；
又∵∠ENH=∠CND，∠HEN+∠ENH+∠EHN=180°，∠CND+∠CDN+∠DCN=180°，
∴∠EHN=∠DCN=90°，
∴AD⊥BE；
（3）解：过点C作CN⊥AB于点N，如图所示：
根据旋转可知：AC=CD，
∴AN=ND=12AD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3，
∴根据勾股定理得：AB=12+32=10，
∵∠ANC=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ACN∽△ABC，
∴ANAC=ACAB，
即AN1=110，
解得：AN=1010，
∴AD=2AN=105，
根据解析（2）可知：BE=3AD=3105．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
预测1（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、BF，若DE=3，则BF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，正确理解和运用相关的性质是解题的关键．先根据三角形的中位线得出DE=12AC，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出BF=12AC，最后得出BF=DE问题即可求解．
【详解】解：∵点D、E分别是边AB、BC的中点，
∴DE=12AC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点F是AC的中点，
∴BF=12AC，
∴BF=DE=3，
故选：A．
预测2（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，若BE=22，则AE=（ ）
A．22B．23-2C．4D．23
【答案】B
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理等知识，先求出ED=BD=2，再由勾定理求出AD=23，即可得出AE．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠BDE=90°
又∠EBC=45°，
∴∠BED=45°=∠EBC，
∵BE=22，
∴BD=ED=22BE=2
∵△ABC是等边三角形，且AD⊥BC，
∴BC=2BD=4,
∴AB=4，
∴AD=AB2-BD2=23，
∴AE=AD-ED=23-2,
故选：B．
预测3（2025·福建·一模）如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，E是BD的中点，连接CE，若S△BCE=2，则S△ABD= ．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．根据三角形中线的性质可得S△ABD=S△CBD，S△CBD=2S△BCE，由此即可得．
【详解】解：∵E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴S△BCE=S△DCE，
∵S△BCE=2，
∴S△CBD=S△BCE+S△DCE=2S△BCE=4，
∵在△ABC中，BD是AC边上的中线，
∴S△ABD=S△CBD=4，
故答案为：4．
预测4（2025·吉林四平·二模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交AB，BC边于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，若AB=12，AE=6，则△ADE的周长为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，根据题意得BE平分∠ABC，再根据平行线的性质求解．
【详解】解：由题意得：BE平分∠ABC，
∠ABE=∠CBE，
∵ED∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠BED，
∴DE=BD，
∴AD+DE+AE=AD+BD+AE=AB+AE=12+6=18，
故答案为：18．
预测5（2025·湖南岳阳·一模）如图，一根竖直的木杆在离地面1m的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为α，若α=30°，则木杆折断之前高度为 m．
【答案】3
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形，由题意可知∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1m，根据含30°角的直角三角形的性质得到AB=2m，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1m，
∴AB=2AC=2m，
∴木杆折断之前高度为：AC+AB=1+2=3m，
故答案为：3．
预测6（2025·江苏常州·一模）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知AB=DE，BF=EC，∠B=∠E．
(1)求证：AC=DF；
(2)分别连接AE、BD，则AE与BD的关系为________．
【答案】(1)见解析
(2)平行且相等
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，
（1）先证明BC=EF，再结合SAS证明△ABC≌△DEF即可得到结论．
（2）证明结合SAS证明△ABE≌△DEB，即可得出AE=DB，∠AEB=∠DBE，从而可得AE∥DB，由此可得结论．
【详解】（1）证明：∵BF=EC
∴BF+CF=EC+CF
∴BC=EF
在△ABC和△DEF中
AB=DE∠B=∠EBC=EF
∴△ABC≌△DEFSAS
∴AC=DF．
（2）如图，连接AE、BD，AE与BD的关系为平行且相等．
在△ABE和△DEB中
AB=DE∠ABE=∠DEBBE=EB
∴△ABE≌△DEBSAS
∴AE=DB，∠AEB=∠DBE，
∴AE∥DB
故AE与BD的关系为平行且相等．
预测7（2025·江苏无锡·二模）如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC=62°，求∠ACE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)59°
【分析】（1）根据SAS证明△ABC≌△ADE即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，AC=AE，进而可得∠ACE=∠AEC，再根据三角形内角和定理即可求出∠ACE的度数．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵在△ABC和△ADE中
AB=AD∠B=∠DBC=DE ，
∴△ABC≌△ADE(SAS)；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠BAC=62°，
∴∠ACE=12180°-62°=59°．
预测8（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题：
【思维指引】（1）如图1等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数.
解决此题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，连接P'P，借助旋转的性质可以推导出△PAP'是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=______∘；
【知识迁移】（2）如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，请判断EF，BE，FC的数量关系，并证明你的结论.
【方法推广】（3）如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=3，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，直接写出PA+2PB+PC的最小值.
【答案】（1）等边；150；（2）EF2=BE2+FC2，理由见解析过程；（3）19
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）根据旋转的性质可得AE'=AE，CE'=BE，∠CAE'=∠BAE，∠ACE'=∠B，∠EAE'=90°，再求出∠E'AF=45°，从而得到∠EAF=∠E'AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E'AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E'F=EF，再利用勾股定理列式即可得证；
（3）由旋转的性质可得PB=P'B,PC=P'C'，由等腰直角三角形的性质可得PP'=2PB，即PA+2PB+PC=PA+PP'+P'C'，则当A，P，P'，C'四点共线时，PA+2PB+PC取到最小值，最小值为AC'长，由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵△ACP'≌△ABP，
∴AP=AP'=3，CP'=BP=4，∠AP'C=∠APB，
依题意得旋转角∠PAP'=∠BAC=60°，
∴△PAP'为等边三角形，
∴PP'=AP=3，∠AP'P=60°，
∴PP'2+P'C2=32+42=25=52=PC2，
∴△P'PC为直角三角形，且∠PP'C=90°，
∴∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°；
故答案为：等边；150；
（2）EF2=BE2+FC2，理由如下：
如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'，
由旋转的性质得，AE'=AE，CE'=BE，∠CAE'=∠BAE，∠ACE'=∠B，∠EAE'=∠BAC=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠E'AF=∠CAE'+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠E'AF，
在△EAF和△E'AF中，
AE=AE'∠EAF=∠E'AFAF=AF，
∴△EAF≌△E'AFSAS，
∴E'F=EF，
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E'CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得，E'F2=CE'2+FC2，
即EF2=BE2+FC2；
（3）如图，在△ABC内部任取一点P，连接AP，BP，CP，
将△BPC绕点B顺时针旋转90°得到△BP'C'，
由旋转的性质得：PB=P'B,PC=P'C'，
∵∠PBP'=90°，
∴PP'=2PB，
∴PA+2PB+PC=PA+PP'+P'C'，
∴当A，P，P'，C'四点共线时，PA+2PB+PC取到最小值，最小值为AC'长，
如图，过点A作BC'垂线交C'B延长线于点D，
∵∠ABC=30°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=12AB=1，AD=AB2-BD2=3，
又∵BC'=BC=3，
∴C'D=BC'+BD=3+1=4，
∴AC'=AD2+C'D2=3+16=19．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
押题1如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且CQ=PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1B．32C．2D．52
【答案】B
【分析】作PF∥BC交AC于点F，利用等边三角形的性质和三线合一可得△APF是等边三角形、PE是△APF的中线，则有AE=EF=12AF、PA=PF=AF=CQ，根据∠AFP=∠ACB=60°可得∠PFD=∠QCD=120°，又∠FDP=∠CDQ可判定△PFD≌△QCD，则DF=DC=AC-AF2=3-AF2，代入DE=DF+EF即可求解．
【详解】作PF∥BC交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵PF∥BC，
∴∠APF=∠ABC=60°=∠ACB=∠AFP，
∴△APF是等边三角形，
∴PA=PF=AF，
又∵PE⊥AC，
∴PE是△APF的中线，
∴AE=EF=12AF，
∵CQ=PA，
∴PF=PA=CQ，
∵∠AFP=∠ACB=60°，
∴∠PFD=∠QCD=120°，
∵在△PFD和△QCD中，
∠FDP=∠CDQ∠PFD=∠QCDPF=QC
∴△PFD≌△QCDAAS，
∴DF=DC=AC-AF2=3-AF2，
∴DE=DF+EF=3-AF2+AF2=32．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质与判定、三线合一、全等三角形的性质与判定，解题关键是利用辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质判定全等后求DE的长．
押题2如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5．则EP+FP这个最小值是（ ）
A．9B．10C．53D．35
【答案】C
【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE、 E'P、PF，当E'、P、F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF=10，根据勾股定理即可求出 E'F的值，即EP+FP的最小值．
本题主要考查了将军饮马、垂线段最短、以及勾股定理。熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交AB于点F，交CD于点P，
连接PE，则PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
当E'、P、F三点共线，且E'F⊥AB时，EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4 ，
∴E'B=10，
在Rt△BFE'中，由勾股定理可得FE'=102-52=53
∴EP+FP的最小值=FE'=53
故选：C．
押题3如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE= ．

【答案】5
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到∠ADC=90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，点E为AC中点，
∴DE=12AC=5，
故答案为5．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
押题4如图△ABC≌△DEF，EF=BC，AB=DE，AD=20，FC=10，则AF=
【答案】5
【分析】根据全等三角形的性质可得AC=DF，进而可得AF=DC，进一步即可求出结果．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
∴AF=DC，
∵AD=20，FC=10，
∴AF=12AD-FC=12×20-10=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的性质是关键．
押题5如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米．
【答案】17
【分析】本题考查了勾股定理的应用，地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为132-52=12米，
则红地毯至少要12+5=17米长，
故答案为：17．
押题6如图，A、E、B、D在同直线上，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，AC∥DF.
求证：△ABC≌△DEF
【答案】见解析
【分析】欲证两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠CAB=∠D，条件找到，全等可证．
【详解】证明：∵AC∥DF，
∴∠CAB=∠D，
又∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
押题7（1）如图1，△ABC中，点D是边BC的中点，若AB=6，AC=4，求中线AD的取值范围．
解：∵点D是边BC的中点，∴BD=CD，
将△ACD绕点D旋转180°得到△EBD，
即得△ACD≌△EBD，且A，D，E三点共线，
在△ABE中，可得AE的取值范围是：
6-4AC．
(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB=DC；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）
【答案】(1)见详解
(2)62
【分析】（1）作∠BAC的角平分线和线段BC的垂直平分线相交于点D，即为所求．
（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形AEDF为正方形，设AE=AF=ED=DF=x，则BE=7-x，FC=5-x，以DB=DC为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出AD．
【详解】（1）解：如下图：AD即为所求．
（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，
则∠AED=∠AFD=90°，
又∵∠BAC=90°
∴四边形AEDF为矩形，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF为正方形，
∴AE=AF=ED=DF，
设AE=AF=ED=DF=x，
∴BE=AB-AE=7-x，FC=AC-AF=5-x，
在Rt△BED中，BD2=ED2+BE2=x2+7-x2，
在Rt△CFD中，CD2=DF2+FC2=x2+5-x2，
∵DB=DC
∴DB2=DC2
∴x2+7-x2=x2+5-x2
解得：x=6，
∴AD=AF2+DF2=62+62=62．
【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键．
真题4（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上．
(1)在图①中，四边形ABCD面积为2；
(2)在图②中，四边形ABCD面积为3；
(3)在图③中，四边形ABCD面积为4．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形ABCD即可．
（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形ABCD即可．
（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形ABCD即可．
【详解】（1）解：如图①：四边形ABCD即为所求；
（不唯一）．
（2）解：如图②：四边形ABCD即为所求；
（不唯一）．
（3）解：如图③：四边形ABCD即为所求；
（不唯一）．
真题5（2024·广东广州·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠B=90°．
(1)尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质；
（1）作出线段AC的垂直平分线EF，交AC于点O，连接BO，则线段BO即为所求；
（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论．
【详解】（1）解：如图，线段BO即为所求；
（2）证明：如图，
∵由作图可得：AO=CO，由旋转可得：BO=DO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形．
真题6（2024·广东·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°．

(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）如图2，作DE⊥AB于E，由角平分线的性质定理可得DE=DC，由DE是半径，DE⊥AB，可证AB与⊙D相切．
【详解】（1）解：如图1，AD即为所作；

（2）证明：如图2，作DE⊥AB于E，

∵AD是∠CAD的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵DE是半径，DE⊥AB，
∴AB与⊙D相切．
预测1（2025·浙江·二模）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF．若AB=6，BC=7，则△ABF的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】A
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据尺规作图得到DE是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF=CF，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：由尺规作图可知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∵AB=6，BC=7，
∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=6+7=13，
故选：A．
预测2（2025·江苏苏州·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为6，则△ABD的面积是（ ）
A．6B．10C．12D．20
【答案】C
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，根据题意得∠DAC=∠GAC，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可．
本题考查了角的平分线的基本作图，三角形面积的性质，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键．
【详解】解：过点D作DG⊥AB于点G，根据题意，得AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠GAD，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴DG=DC，BD=2DG=2DC，
∴S△ACDS△ABD=12AC·CD12AC·BD=CDBD=12，
∵△ACD的面积为6，
∴S△ABD=2S△ACD=12，
故选：C．
预测3（2024·广东梅州·一模）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，大于12BF的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，BF=6，AB=4，则AE的长为 ．
【答案】27
【分析】如图：连接EF，根据尺规作图可得AB=AF，AE平分∠BAD，证明ABEF是菱形可得AE⊥BF,AE⊥BF,AO=OE=12AE,BO=OF=12BF=3，再运用勾股定理可得AO=25，进而可求出AE的长．
【详解】解：如图所示：连接EF，AE交BF于点O，
由题中作图可知：AB=AF，AE平分∠BAD，
∴∠FAE=∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠EAB=∠AEB，
∴AB=BE=AF，
∵AF∥BE
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF,AE⊥BF,AO=OE=12AE,BO=OF=12BF=3，
在Rt△AOB中，
∵AO2=AB2-OB2，
∴AO=AB2-OB2=42-32=7，
∴AE=2OA=27，
故答案为：27．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定、尺规作图、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线的尺规作图成为解题的关键．
预测4（2025·江苏连云港·一模）如图，四边形ABCD是平行四边形．
(1)尺规作图：作菱形AECF，使点E在线段BC上，点F在线段AD上（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若CE=5，sin∠ACB=35，求菱形AECF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）连接AC，作AC的垂直平分线，交线段BC于点E，交线段AD于点F，则四边形AECF即为所求作的线段；
（2）根据CE=5，sin∠ACB=35，解直角三角形求出OE=3，根据勾股定理求出OC=EC2-OE2=4，根据菱形的性质求出AC=2OC=8，EF=2OE=6，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：如图，菱形AECF即为所求作的四边形；
根据作图可知：EF垂直平分AC，
则AO=CO，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，∠FAO=∠ECO，
∴△AOF≌△COE，
∴EO=FO，
∴EF、AC互相平分，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形．
（2）解：∵∠EOC=90°，
在Rt△EOC中，sin∠ACB=OECE=35，
又∵CE=5，
∴OE=3，
在Rt△EOC中，OC=EC2-OE2=4，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC=2OC=8，EF=2OE=6，
∴S菱形AECF=12AC×EF=24．
【点睛】本题主要考查了基本作图，菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质．
预测5（2025·广东韶关·一模）已知如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．
(1)作∠B的平分线，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接DE，求证：△ADE≌△BDE．
【答案】(1)图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是作角平分线及线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，
（1）以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于12FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交AC于D，射线BD就是∠ABC的平分线；分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE,ED=ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．
【详解】（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵∠B=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12×60°=30°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD，
在△ADE和△BDE中，
AE=BEED=EDAD=BD
∴△ADE≌△BDESSS.
预测6（2025·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是AC的中点．

(1)尺规作图：以线段BC为直径作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接PD，求证：PD是⊙O的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作BC的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可；
（2）连接OP，OD，CD．证明OD⊥PD即可．
【详解】（1）解：如图所示，⊙O，BD为所求

（2）证明：如图，连接OD，CD，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵P点为Rt△ADC斜边上的中线，
∴PC=PD，
∵∠3=∠4，
∴OC=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°，
∴OC⊥PC，
∴PD是⊙O的切线．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
预测7（2025·广东汕头·一模）如题图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E．
(1)过点C作CF⊥AD，垂足为F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)在（1）的条件下，求证：AE=CF．
【答案】(1)见解析
(2)证明如下
【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，限定工具作图，平行四边形的性质，
（1）①以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AD于点G；②分别以点D、G为圆心，大于12DG为半径作弧，两弧交于点H；③作射线CH交AD于点F，即可求出；
（2）根据平行四边形的性质得到AB=CD，∠B=∠D，证出△AEB≌△CFD(AAS)，根据三角形全等的性质即可求出．
【详解】（1）①以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AD于点G；
②分别以点D、G为圆心，大于12DG为半径作弧，两弧交于点H；
③作射线CH交AD于点F，
即如图所示，线段CF即为所求，使得CF⊥AD；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△AEB和△CFD中，
∠AEB=∠CFD∠B=∠DAB=CD
∴△AEB≌△CFD(AAS)
∴AE=CF．
预测8（2025·广东广州·一模）如图，△ABC中，∠ACB=90∘．
(1)尺规作图：作⊙O，使圆心O在边AC上，且⊙O与AB，BC所在直线相切（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AC=9，cs∠ABC=45，求⊙O的半径r．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）结合角平分线的性质以及切线的判定与性质，作∠ABC的平分线，交AC于点O，以点O为圆心，OC的长为半径画圆，则⊙O即为所求．
（2）设⊙O与AB相切于点D，连接OD，可得OC=OD，∠ADO=∠ACB=90°，进而可得∠AOD=∠ABC，则cs∠ABC=cs∠AOD=45.设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，OA=AC-OC=9-r，cs∠AOD=ODOA=r9-r=45，求出r的值即可．
【详解】（1）解：如图，作∠ABC的平分线，交AC于点O，以点O为圆心，OC的长为半径画圆，
则⊙O即为所求．
（2）设⊙O与AB相切于点D，连接OD，
∴OC=OD，∠ADO=∠ACB=90°，
∴∠AOD+∠A=∠ABC+∠A=90°，
∴∠AOD=∠ABC，
∴cs∠ABC=cs∠AOD=45．
设⊙O的半径为r，
则OC=OD=r，OA=AC-OC=9-r，
∴cs∠AOD=ODOA=r9-r=45，
解得r=4，
经检验，r=4是原方程的解且符合题意，
∴⊙O的半径为4．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、切线的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
押题1如图，△ABC中，AB+AC=15，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，射线AP交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，若DE=4，那么△ABC的面积是（ ）
A．10B．30C．24D．32
【答案】B
【分析】本题考查了尺规基本作图-作角平分线，三角形的面积，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
由作图可知AP是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质定理得出DE=DF=4，再根据△ABC的面积是△ABD和△ACD的面积之和计算即可．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
由作图可知AP是∠BAC的平分线，
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵DE=4，
∴DF=4，
∵AB+AC=15，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD
=12AB⋅DF+12AC⋅DE
=12AB×4+12AC×4
=2AB+2AC
=2AB+AC
=2×15
=30．
故选：B．
押题2如图，四边形ABCD是平行四边形，用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹），并解答问题：
(1)作图：作对角线AC的垂直平分线，与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF、CE；
(2)判断（1）中所得四边形AFCE的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形AFCE是菱形，证明见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得出AE=EC，AF=CF，从而得出∠EAC=∠ECA，再根据平行四边形的性质得出∠EAC=∠FCA，利用ASA证明△COE≌△COF，然后根据全等三角形的性质得出CE=FC，最后根据菱形的判定即可得证．
【详解】（1）解：如图，EF即为所求．
（2）解：四边形AFCE是菱形．
证明：∵MN垂直平分AC，
∴AE=EC，AF=CF．
∴∠EAC=∠ECA．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EAC=∠FCA．
∴∠ECA=∠FCA．
∵CO=CO，∠EOC=∠FOC=90°，
∴△COE≌△COFASA．
∴CE=FC．
∴CE=FC=AF=AE．
∴四边形AFCE是菱形．
【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定是解答本题的关键．
押题3（平面几何画法）是朱铣和徐刚合编的一本平面几何教材，该书包含了大量的绘图示例和练习．如图-1，该书“例题46”介绍了“画和定三角形等面积的矩形法”．
具体作法为：
①过B点和C点各作一条垂直于BC的直线；
②作出AB的中点D，过点D作平行于BC的直线，与①中所得两条垂线交于E，F两点，四边形BCFE即为所求的矩形．
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图-2中，作出与△ABC面积相等的矩形EBCF；（保留作图痕迹，不写做法）
(2)请你证明（1）中的S△ABC=S矩形EBCF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，作垂线，熟练掌握基本作图以及全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据题意作出矩形EBCF，即可求解；
（2）根据矩形的性质以及已知条件，证明△ADG≌△BDEAAS，△AGH≌△CFHAAS得出S△ADG=S△BDE，S△AGH=S△CFH即可证明S△ABC=S矩形EBCF．
【详解】（1）解：如图所示，矩形EBCF即为所求；
（2）证明：如图，过点A作AG⊥EF于点G，设AC,EF交于点H，
∵四边形EBCF是矩形，
∴∠E=∠F=90°，EB=FC
∴∠AGD=∠E，∠AGH=∠F
∵D是AB的中点，
∴AD=DB
又∵∠ADG=∠BDE
∴△ADG≌△BDEAAS
∴AG=EB，S△ADG=S△BDE
∴AG=FC
在△AGH,△CFH中，
∠AGH=∠F∠AHG=∠CHFAG=CF
∴△AGH≌△CFHAAS
∴S△AGH=S△CFH
∴S△ABC=S矩形EBCF
押题4如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)尺规作图：作∠CAB的角平分线AD，交线段BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）作出的图中，若AC=2，tan∠BAD=12，求AB的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)103．
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE=CD，进而可得AE=AC=2．根据tan∠BAD=DEAE=DE2=12，可得DE=CD=1．证明△DBE∽△ABC，可得BDAB=DEAC=BEBC，即BDAB=12=AB-2BD+1，即可得AB的长．
【详解】（1）解：如图，射线AD即为所求．
（2）解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD为∠CAB的平分线，∠ACB=90°，
∴DE=CD．
∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AEDHL，
∴AE=AC=2．
∵tan∠BAD=DEAE=DE2=12，
∴DE=1，
∴DE=CD=1．
∵∠BED=∠BCA=90°，∠DBE=∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴BDAB=DEAC=BEBC，即BDAB=12=AB-2BD+1，
∴AB=103．
押题5如图，已知⊙O和点P，按如下方式作图：
①连接OP，作线段OP的垂直平分线交OP于点A；
②以点A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B、D；
③连接PB，交OP的垂直平分线于点C．
(1)请依据题意完成作图；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)①试判断PB与⊙O的位置关系，并给出证明；
②若OB=5，OP=13，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)①PB是⊙O的切线，见解析；②11924
【分析】（1）根据步骤作图即可；
（2）①连接OB，由直径所对圆周角为直角即可得出∠OBP=90°，即可证明PB是⊙O的切线．
②连接OC，由勾股定理求出BP=12，设BC=x，则OC=PC=12-x，在Rt△BOC中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图，
（2）①证明：连接OB，
∵OP是⊙A的直径，
∴∠OBP=90°，即PB⊥OB于点B，
∵OB是半径，
∴PB是⊙O的切线，
②连接OC，
∵OB=5，OP=13，∠OBP=90°，
∴BP=132-52=12，
∵AC为OP的垂直平分线，
∴OC=CP，设BC=x，则OC=PC=12-x，
在Rt△BOC中，
∴12-x2=x2+52，
解得：x=11924，
∴BC=11924．
【点睛】本题考查作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，圆周角定理的推论，切线的判定．熟练掌握上述知识是解题关键．
押题6如图，四边形ABCD为平行四边形．
(1)尺规作图：作∠ABC的角平分线BE，BE交AD于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接CE，若AB=5，∠BEC=90∘，求线段BC的长．
【答案】(1)图见解析
(2)10
【分析】（1）①以B为圆心，适当长为半径画弧，交AB于M，BC于N，②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于G，③作射线BG，交AD于E即可；
（2）延长CE交BA的延长线于F，根据全等三角形的性质得到BC=BF，根据平行线的性质得到∠AEB=∠EBC，求得∠ABE=∠AEB，得到AB=AE，求得AF=AB=5，于是得到BC=AF=10．
【详解】（1）解：如图，线段BE即为所求；
（2）解：延长CE交BA的延长线于F，
∵∠FBE=∠CBE，∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE，
∴ △FBE≌△CBE(ASA)，
∴BC=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵∠F+∠ABE=∠FEA+∠AEB=90°，
∴∠F=∠FEA，
∴AF=AE，
∴AF=AB=5，
∴BC=AF=10．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
押题7如图，在ΔABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）条件下，垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AC=2BC=8，求AD的长．
【答案】(1)作图见解析；
(2)AD的长为5．
【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据尺规作图的方法步骤即可求解；
（2）由垂直平分线的性质可得AD=BD，则有AC=AD+CD=BD+CD，再求出BC=4，设BD=AD=x，则CD=8-x，然后通过勾股定理得 BD2=CD2+BC2，代入求值即可．
【详解】（1）解：如图，作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，
∴点D即为所求；
（2）解：由作图可知，线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴AC=AD+CD=BD+CD，
∵AC=2BC=8，
∴BC=4，
设BD=AD=x，则CD=8-x
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD2=CD2+BC2，
即x2=(8-x)2+42，
解得x=5，
∴AD的长为5．
押题8 2024年4月10日上午，深圳市上空出现日晕景观，某兴趣小组观察完后，将日晕和云彩用⊙O和线段BC直观地表示出来，为进一步研究圆中的线段，该兴趣小组提出了以下问题：如图，点C在以AB为直径的⊙O上， 若AB=10cm， AC=6cm．
(1)尺规作图：作∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：△ABD是等腰直角三角形．
【答案】(1)图见解析；
(2)详见解析．
【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，圆周角定理，弦、弧、圆心角的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据作角平分线的方法即可；
（2）连接OD，由AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，通过作图可知∠ACD=∠BCD=45°，则有∠AOD=∠BOD=90°，从而有AD=BD，所以AD=BD，然后根据等腰三角形的定义即可求证．
【详解】（1）解： 如图，CD即为所求；
（2）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由作图可知：∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠AOD=∠BOD=90°，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∴△ABD 是等腰直角三角形．考点
考情分析
几何体的展开图
考查的题型多样化，在选择题、填空题和解答题均会出现。题目会越来越多地以实际生活中的物体为背景。
直线﹑射线和线段
考查的题型多样化，在选择题、填空题和解答题均会出现。在选择题常考查对直线、射线、线段概念的理解；填空题中可能会涉及根据线段的长度关系求某条线段的长度；在解答题中，通常会与三角形、四边形等其他几何图形结合。
相交线与平行线
考查的题型多样化，在选择题、填空题和解答题均会出现。选择题常考查对基本概念的理解和简单应用；填空题可能涉及根据相交线所成角的关系求角度，或者利用平行线的性质求线段长度、角度等。
解答题一般不会单独作为大题考查，通常会与三角形、四边形等其他几何图形结合，在证明或计算过程中运用到相交线与平行线的相关性质和判定定理。
角
考查的题型多样化，在选择题、填空题和解答题均会出现。角的知识会越来越多地与其他几何知识(如三角形、四边形、圆、相似形等)以及代类知识(如函数、方程等)综合考查，形成综合性较强的题目，考查学生的综合运用能力
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°
角的表示
图例
适用范围
注意事项
用三个大写字母表示
记作：∠ABC或∠CBA
任何情况都适用
表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字母写在两侧.
用一个大写字母表示
记作：∠O
1）以这个字母为顶点的角只有一个；
2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示.
用一个数字表示
任何情况都适用
在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写的希腊字母
用一个希腊字母表示
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
30×40
20×80
80×80
单价（单位：元）
3
5
20
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
需卡纸的数量（单位：张）
1
3
2
所用卡纸总费用（单位：元）
58
考点
考情分析
三角形的基本概念和性质
选择题常考查对三角形基本概念的理解；填空题可能涉及三角形的重要线段(如中线、高线、角平分线)的性质应用，以及根据三角形的性质求线段长度或角度；解答题常与其他几何知识综合考查。
全等三角形
选择题常考查对三角形基本概念的理解；填空题可能涉及三角形的重要线段(如中线、高线、角平分线)的性质应用，以及根据三角形的性质求线段长度或角度；解答题常与其他几何知识综合考查，如三角形与四边形、圆的结合，或在实际问题中运用三角形的性质进行求解。
勾股定理及逆定理
选择题常考查对勾股定理及其逆定理的基本理解和简单应用；填空题可能涉及利用勾股定理求线段长度，或根据勾股定理逆定理判断三角形形状后求相关度等；解答题常与其他几何知识综合考查，如与三角形全等、相似、四边形等知识结合。也会在实院问题情境中，要求考生运用勾股定理及逆定理来解决问题，如
重要线段
概念
图形
性质
三角形
的高
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
∵AD是∆ABC中BC边的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
三角形
的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线
∵AD是∆ABC中BC边的中线
∴BD=CD S△ABD=S△ADC
C∆ACD-C∆ABD=AC-AB
三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠DAC=12 ∠BAC
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
∵DE是∆ABC的中位线
∴AD=DB AE=EC
DE=12 BC DE∥BC
重心
三角形三条中线交点
1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3) 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
垂心
三角形三条高交点
1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外；
2）锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
3）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆.
4）锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短.
常见的全等三角形模型（基础）
平移模型
模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．
对称模型
模型分析：所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等．
一线三垂直/一线三等角
模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角

旋转模型
模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：
①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角；
②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角．
考点
考情分析
多边形及其内角和
选择题常考查多边形内角和公式、外角和定理的直接应用，或者结合正多边形的性质，求多边形的边数、内角度数或外角度数等；填空题可能会涉及根据多边形内角和与外角和的关系，求多边形的边数;或者在一些几何图形的组合中，利用多边形内角和定理求某个角的度数；解答题:一般不会单独考查，通常会与三角形、四边形等其他几何图形综合出现。
平行四边形
选择题:常考查平行四边形的基本性质；填空题可能涉及利用平行四边形的性质求线段长度、角度大小或面积等；解答题通常会与三角形全等、相似、解直角三角形等知识综合考查。
特殊平行四边形
选择题常考查特殊平行四边形的基本性质和判定定理的直接应用；填空题可能涉及利用特殊平行四边形的性质求线段长度、角度大小或面积等；解答题通常会与三角形全等、相似、解直角三角形以及函数等知识综合考查。
考点
考情分析
垂径定理
选择题常直接考查垂径定理的基本应用；填空题可能会结合勾股定理，通过给出圆的相关线段长度，让考生计算弦长、半径或圆心到弦的距离等；解答题常与其他几何知识综合考查。
圆心角和圆周角
选择题常考查圆心角和圆周角的基本概念﹑性质及它们之间的关系；填空题可能会结合圆的其他性质，如垂径定理、圆的对称性等，来计算圆心角或圆周自数，或者根据已知的圆心角或圆周角度数，求相关线段的长度；解答题常与三角形、四边形等几何图形综合考查。
切线的性质与判定
选择题常考查切线的基本概念、性质及判定条件的直接应用；填空题可能会结合圆的其他性质，如垂径定理、圆心角定理等，来考查切线的性质与判定；解答题常与三角形、四边形等几何图形综合考查，是圆的综合题中的重要考点。
正多边形与圆
选择题常考查正多边形与圆的基本概念、性质及简单计算；填空题可能结合圆的性质，考查正多边形的内角、外角、边长、半径、边心距等；解答题通常与其他几何知识综合考查，难度适中或偏上。
弧长和扇形面积
选择题常以基础题形式出现，考查弧长和扇形面积；填空题可能结合圆的其他性质，如垂径定理、切线性质等，考查弧长和扇形面积的计算；解答题:通常作为圆的综合题的一部分出现，难度适中或偏上。
定义
线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
性质
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明．
判定
1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.
3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，
1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；
3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．
定义
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．
三角形外接圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
圆心的名称
圆心的确定方法
图形
圆心的性质
外心
三角形三边中垂线的交点
1)OA=OB=OC
2)外心不一定在三角形的内部．
内心
三角形三条角平分线的交点
1)到三边的距离相等；
2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3)内心一定在三角形内部．
正多边形概念
各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
正多边形的半径
正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的中心角
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
正多边形的边心距
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
边长
an=2Rn⋅sin1800n （Rn为正多边形外接圆的半径）
周长
Pn=n⋅an
外角/中心角度数
360°n
面积
Sn=12an⋅rn⋅n
对角线条数
n(n-3)2
边心距
rn=Rn⋅cs1800n
内角和
（ n-2 ）×180°.
内角度数
（n-2）×180°n
n边形的边数
（内角和÷180°）＋2
an、Rn、rn的关系
Rn2=rn2+an24 （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解.）
扇形弧长公式
l=nπR180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
扇形面积公式
S扇形= nπR2 360 = 12lR
圆锥侧面积公式
S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥全面积公式
S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
圆锥的高h，圆锥的底面半径r
r2+h2=l2
图形
公式
S阴影 = S扇形ABC
S阴影 = S△ABC
S阴影 = S四边形ABCD = ab
图形
面积计算方法
图形
面积计算方法
S阴影=S△ACB−S扇形CAD
S阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′−S半圆AB
S阴影=S△AOB−S扇形COD
S阴影=S半圆AC+S半圆BC−S△ACB
S阴影=S半圆AB−S△AOB
S阴影= S扇形BAD−S半圆AB
S阴影=S扇形EAF−S△ADE
S阴影=S扇形之和=nπR2 360=πR2 2
图形
公式
S阴影=S扇形AOC+S△BOC
S阴影=S△ODC-S扇形DOE
S阴影=S扇形AOB-S△AOB
S阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD
图形
公式
S阴影= S△AOB
S阴影= S扇形BOC
S阴影=S矩形ACDF

S阴影= S正方形PCQE
图形
公式
S阴影= S扇形COD
图形
公式
S阴影=S正方形BCFE
S阴影=S矩形ABHG
图形
公式
S阴影=S扇形BOE
S阴影= S扇形BOD
S阴影= S扇形ABE-S扇形MBN
图形
公式
S阴影=S△ACD
S阴影= S扇形CDE
S阴影= S△OBC=14 S正方形ABCD
S阴影= S扇形ACB- S△ACD
考点
考情分析
尺规作图
题目类型主要是解答题，也有选择题，部分地区还出现了简述题和纠错题。
类型
图示
作图依据
作一条线段等于已知线段
圆上的点到圆心的距离等于半径.
作一个角等于已知角
1)三边分别相等的两个三角形全等；
2)全等三角形的对应角相等；
3)两点确定一条直线.
作一个角的平分线
作一条线段的垂直平分线
1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
2)两点确定一条直线.
过一点作已知直线的垂线
1)等腰三角形“三线合一”；
2)两点确定一条直线.
类型
图示
已知三角形的三边，求作三角形
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
已知三角形的两角及其夹边，求作三角形
已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形
类型
图示
过不在同一直线上的三点作圆
（即三角形的外接圆）
作三角形的内切圆