2025年中考考前冲刺攻略教案：数学（一）（原卷版）

这是一份2025年中考考前冲刺攻略教案：数学（一）（原卷版），共44页。教案主要包含了阅读理解，知识应用，问题背景，素材呈现，问题解决，洗衣过程，洗衣目标，动手操作等内容，欢迎下载使用。

实数及其相关运算………………………………………………………………………01
代数式、因式分解、分式、二次根式…………………………………………………06
方程与方程组……………………………………………………………………………14
不等式与不等式组………………………………………………………………………25
统计与概率………………………………………………………………………………31
01实数及其相关运算
考查分值：分值在3分左右，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题﹑填空题和解答题均出现。
命题趋势：由单一的选择题考查，逐渐转变为语段综合（含字形、词语、病句）题，试题难度有所降低。
知识点1：实数的分类

知识点2：实数的相关概念
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.
（4）
8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为.
（3）.
高分技巧：
做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。
知识点3：实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
（2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
（3）差值比较法：
a-b＞0⇔a＞b;a-b=0⇔a=b;a-b＜0⇔a＜b
（4）平方比较法：
高分技巧：
个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较。
知识点4：实数的运算
1.数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
2．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
3．零次幂;a≠0，则a0=1
4.负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则.
5.-1的奇偶次幂：；
真题1（2024·甘肃兰州·中考真题）-2024的绝对值是（ ）
A．-2024B．2024C．-12024D．12024
真题2（2025·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．-3B．-3C．--3D．-32
真题3（2024·宁夏·中考真题）下列各数中，无理数是（ ）
A．-1B．13C．4D．π
真题4（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A．a>bB．a+bb+2D．a-1>b-1
真题5（2025·江苏南京·中考真题）比较大小：-23 -49（填“>”“0B．a-b>0C．ab>0D．ab>0
预测5 （2025·湖北·一模）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若水位升高3m时水位变化记作+3m，则水位下降3m时水位变化记作 m．
预测6 （2025·江苏淮安·一模）x+1和y-2互为相反数，那么x+y= ．
预测7 （2025·江苏苏州·一模）4的算术平方根是 ．
预测8 （2025·浙江嘉兴·一模）计算：-120+364--6．
押题1中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入100元记作+100元，则支出60元记作（ ）
A．+40元B．-40元C．+60元D．-60元
押题2实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b>-1B．b-c0D．a+c>0
押题3在标准大气压下，固态酒精、汞、冰、碘四种物质的熔点分别如下表：
其中熔点最低的物质为（ ）
A．固态酒精B．汞C．冰D．碘
押题4如图，直尺中2cm处对应的数轴上的数与6cm处对应的数轴上的数的和为（ ）
A．-2B．-32C．-1D．-12
押题5估计22-2的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
押题6我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．如果我们规定一个新数“i”使它满足i2=-1（即x2=-1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：i1=i，i2=-1，i3=i2⋅i=-i，i4=i22=-12=1，…，那么i2025=（ ）
A．iB．-iC．1D．-1
押题7M是一个四位数自然数M=abcd,M各个数位上的数互不相等且都不为0，若ab+cd=95，称M为95数，则最小的95偶数M是 ；已知知M为95数，若F(M)=ac+bd+49，当F(M)最大且是8的倍数时称M是最美95数，则最大的最美95数是 ．
押题8数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“-4”，“＋5”，“-6”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： 10+52=225．
(1)开始数字为-5，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果；
(2)开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为-27，求m的值．
02 代数式、因式分解、分式、二次根式
考查分值：分值10-20分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择、填空、解答题均有涉及。
命题趋势：①注重代数推理：单纯的逻辑推导不再是重点，而是将逻辑推理与计算紧密结合；②强化数形结合：几何问题中会融入代数元素，如函数图象与几何图形的交点、动点问题中的数量关系等；③强调跨学科融合；④紧密联系生活实际：生活场景会频繁出现在题目中；⑤增加开放探究题型：规律探究、条件或结论开放的题目逐渐增多。
知识点1：代数式
定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
知识点2：整式的相关概念
1.单项式
（1）定义:数与字母的乘积(单独的一个数或字母也是单项式)
（2）系数:单项式中的数字因数
（3）次数:单项式中所有字母的指数的和
2.多项式
（1）定义:几个单项式的和
（2）次数:多项式里次数最高项的次数
3.同类项
所含字母相同，且相同字母指数也相同的单项式
知识点3：整式加减运算
1.实质：合并同类项
2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3. 去括号
（1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c
知识点4：幂运算
（1）幂的乘法运算
口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（2）幂的乘方运算
口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (m,n都为正整数)
（3）积的乘方运算
口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （m,n为正整数）
（4）幂的除法运算
口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
知识点5：整式乘法运算
（1）单项式乘单项式
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
（3）多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
（4）乘法公式
①平方差公式：
②完全平方公式：
（5）除法运算
①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
知识点6：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.公因式
像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
4.提公因式与公式法综合
（1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（2）公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
5.十字相乘法
1. x²   p  qx  pq  （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的
一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与
a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ．
知识点7：分式的概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
3.分式有意义的条件：B≠0；
4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
知识8：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
知识点9：分式的运算
（1）同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；可用式子表为：.
（2）异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.可用式子表为：.
（3）分式的乘除法运算
①分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即
②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
（4）分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.
知识点10：分式化简求值
（1）有括号时先算括号内的；
（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；
（3）进行乘除法运算
（4）约分；
（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项， 最终化为最简分式；
（6）带入相应的数或式子求代数式的值
（7）高分技巧：①熟记公式（平方差，完全平方等）；②先化简后求值；③注意定义域；④检查结果。
知识点11：二次根式
（一）二次根式的有关概念
①二次根式的定义:一般地，形如√ā(a≥0)的式子
②二次根式有意义的条件:被开方数为非负数
③最简二次根式:同时满足两个条件：
a.被开方数不含根号(分母不含根号).
b.b.被开方数不含能开方开得尽得因数或因式
c.
（二）二次根式的性质
（1）双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值)
（2）回归性: (主要用于二次根式的计算)

（3）转化性：
（三）二次根式的运算
①加减法:先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
②乘法:二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
③除法:二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
（四）估算
①对二次根式平方估值
②找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数
③对以上两个整数平方
④确定这个根式的值再开方后所得两个整数之间
真题1（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2m+n=2mnB．m6÷m2=m3
C．-mn2=-m2n2D．m2⋅m3=m5
真题2（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2+3=5B．2×5=10
C．2÷2=1D．(-5)2=-5
真题3（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为2cm、5cm，设其面积为Scm2，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2B．2和3C．3和4D．4和5
真题4（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m-n=1，则代数式m2n-mn2的值是 ．
真题5（2024·山东济宁·中考真题）已知a2-2b+1=0，则4ba2+1的值是 ．
真题6（2024·广东广州·中考真题）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR1+IR2+IR3．当R1=20.3，R2=31.9，R3=47.8，I=2.2时，U的值为 ．

真题7（2024·山东东营·中考真题）因式分解：2a3-8a= ．
真题8（2024·山东淄博·中考真题）若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ．
预测1（2025·湖北·一模）计算-3a2b2的结果是（ ）
A．-9a4b2B．9a4b2C．-6a2bD．-9a2b
预测2（2025·浙江台州·一模）若a+b=53，ab=12，则a-b的值为（ ）
A．51B．±51C．33D．±33
预测3（2025·内蒙古赤峰·一模）“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（ ）
A．a+ba-b=a2-b2B．a-b2=a2-2ab+b2
C．a+b2=a2+2ab+b2D．ab2=a2 b2
预测4（2025·湖南湘西·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和a+bn的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算a+b2025的展开式中第二项的系数为 ．
预测5（2024·北京西城·一模）分解因式：x2y-12xy+36y= ．
预测6（2025·山东济宁·二模）二次根式2x-8在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
预测7（2025·广东·一模）【阅读理解】已知F=k+3x+1，若F的值和x的取值无关，则k+3=0，k=-3．所以当k=-3时，F=k+3x+1和x的取值无关．
【知识应用】已知M=mx2-3x+7，N=2x2+nx-2．
(1)用含m，n，x的式子表示M+N；
(2)若M+N的值和x的取值无关，求mn的值．
预测8（2025·江苏苏州·一模）先化简，再求值：1-a-2a÷a2-4a2+a，其中a=-12．
押题1下列运算正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a5B．a2+a4=a6
C．-a4⋅-a3=-a7D．a-b2=a2-b2
押题2已知m-n=5，mn=3，则m+1n-1的值等于（ ）
A．-3B．2C．8D．7
押题3科技馆“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小聪在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ．
账号∶ shuǐ ishì jie
x20y2z5=2025
x2yz⋅x3y=521
[(x5)5y6z3÷x5y2]=密码
押题4如图，有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张．若拼一个长为a+4b、宽为a+3b的大长方形，则需要C类卡片的张数为 ．
押题5因式分解：a3-16ab2= ．
押题6若最简二次根式-2a-3与ba+1可以合并，则-ab= ．
押题7已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简3-a2+2-a的结果为 ．
03方程与方程组
考查分值：分值10-20分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择、填空、解答题均有涉及。
命题趋势：①综合化：方程与方程组会越来越多地与函数、不等式、几何等知识综合考查，以体现数学知识的整体性和综合性，突出对学生综合运用知识能力的考查；②情境化：更加注重联系实际生活，以生活中的热点问题、社会现象等为背景，考查学生运用方程与方程组解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
知识点1：一元一次方程
1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；
标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；
方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值
知识点2：等式的性质
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
如果a=b，那么a±c=b±c;
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
如果a=b，那么ac=bc;
如果a=b，c0，那么；
知识点3:解一元一次方程
解一元一次方程的步骤：
1.去分母:两边同乘最简公分母
2.去括号
（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号
（2）乘法分配律应满足分配到每一项
3.移项
（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；
（2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ．
4. 合并同类项
（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax  b ”的形式（ a  0 ）；
（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．
5. 系数化为 1
（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数a，得；
（2）注意：分子、分母不能颠倒
知识点4：一元一次方程的应用
解一元一次方程应用题，遵循5个步骤
①审题；②设未知数:设未知数(通常为x)，并注明单位；③列方程；④解方程；⑤检验答案：将解代入原方程或实际问题，验证是否合理；⑥.写答句:完整写出答案，并注明单位。
知识点5:二元一次方程
1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．
2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
知识点6：二元一次方程组
1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组
2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
3.二元一次方程的解：同时满足方程组中各个二元一次方程左、右两边相等的未知数的值，是方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
知识点7：解二元一次方程组
（1）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（2）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
知识点8：二元一次方程（组）应用的解题步骤
知识点9： 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
知识点10： 一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏前面的性质符号。
知识点11：解一元二次方程
（一）直接开方
（1）如x²=p(p≥0)或(nX+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可直接采用直接开平方解一元二次方程。
（2）如果化成x²=p的形式，那么可得x=±；
（3）如果方程能化成(nX+m)=p(p≥0)的形式，那么nx+m=±,进而得出方程的根
（二）配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
（三）公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
（四）因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
知识点12：一元二次方程的判别式
对于一元二次方程的一般形式：，
(1) 方程有两个不相等的实数根
(2) 方程有两个相等的实数根
(3) 方程没有实数根
高分技巧：在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；
当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知
知识点13：一元二次方程的根与系数
若一元二次方程的两个根为，则有，
高分技巧：当问题中出现“方程的两个根是……”时，通常就要想其根与系数的关系了，若不能直接利用原公式，则结合完全公式，想其常用变形：


知识点14：一元二次方程的应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)．
4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分．
∴m = 12n（n－1）
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场．
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠．
∴m = n（n－1）
知识点15：分式方程的解法
1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
2.解分式方程基本步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式;
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程;3)解整式方程;
③验根，把整式方程的根代入最简公分母
高分技巧：
分式方程会无解的几种情况
①解出的x的值是增根，须舍去，无解
②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解
③同时满足①和②，无解
求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：
①让最简公分母为 0 确定增根；
②去分母，将分式方程转化为整式方程；
③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；
④解含参数字母的方程的解。
知识点16：分式方程的应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
与分式方程有关应用题的常见类型：
真题1（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0时，将它转化为(x+a)2=b的形式，则ab的值为（ ）
A．-2024B．2024C．-1D．1
真题2（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1-13x-1=-52-6x时，去分母变形正确的是（ ）
A．2-6x+2=-5B．6x-2-2=-5
C．2-6x-1=5D．6x-2+1=5
真题3（2024·山东日照·中考真题）已知，实数x1,x2x1≠x2是关于x的方程kx2+2kx+1=0k≠0的两个根，若1x1+1x2=2，则k的值为（ ）
A．1B．-1C．12D．-12
真题4（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程kxx-3-2=33-x无解，则k的值为（ ）
A．k=2或k=-1B．k=-2C．k=2或k=1D．k=-1
真题5（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
真题6（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的23．
【问题解决】
(1)问题一：求出A,B两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价13m元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
真题7（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．
浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？
(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
真题8（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
预测1（2025·山东德州·一模）电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻R1、R2并联时，总电阻R满足1R=1R1+1R2，若R1=2R2，R=20Ω，则R1的值为（ ）
A．60ΩB．50ΩC．40ΩD．30Ω
预测2（2025·宁夏银川·一模）某铁路隧道被严重破坏，为抢修其中一段120米的铁路，施工队实际每天修铁路的效率比原计划提高了1倍，结果提前4天开通了列车，设原计划每天修x米，所列方程正确的是（ ）
A．120x+4=1202xB．1202x+4=120x
C．120x+4=120x+1D．120x-4=120x+1
预测3（2025·河北邯郸·一模）一元二次方程x2+2x-5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
预测4（2025·江苏泰州·一模）“洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息可得x+y= ．
预测5（2025·四川达州·模拟预测）若关于x的分式方程axx-2+22-x=3无解，则a的值为 ．
预测6（2025·浙江舟山·一模）解方程组：2x-y=54x+3y=-10．
预测7（2025·北京·一模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题：
(1)王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________ml；
(2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210ml，温度为40℃的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题）
押题1时间如白驹过隙，同学们初中三年的学习即将画上一个圆满的句号．我班某小组的同学决定每人给本小组其他成员赠送一张毕业纪念卡，全组送纪念卡共56张．设该小组有x人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．12xx-1=56B．xx-1=56
C．12xx+1=56D．xx+1=56
押题2设一元二次方程x2+2x-5=0的两个根为x1，x2，则x12+3x1+x2=（ ）
A．-7B．3C．5D．7
押题3《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（ ）
A．9x-27x=1B．17x-19x=1C．17x+19x=1D．9x-7x=1
押题4关于x的一元二次方程m-2x2+4x+2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
押题5定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如：[2.3]=2，[-0.32]=-1，[-2]=-2．则方程x2+3[x]=0的解为 ．
押题6方程x-1x-2-3x-2=3的解为 ．
押题7计算：aa2-b2-1a+b下面是某同学的解答过程：
解：原式=aa+ba-b-a-ba+ba-b…第一步
=aa2-b2…第二步
(1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________；
①分式的基本性质；②分式的加减法则；③分式的通分；④分式的约分法则．
(2)计算：x2+2x+1x2-1-2x-1．
押题8今年春节的动画电影《哪吒2》火爆影院，成为全民话题，其票房与文化影响力的双重爆发不仅印证了国漫的崛起，更通过角色成长与叙事内核传递了深刻的教育哲学．它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．《哪吒2》的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多50人．周末场人均票价比工作日场人均票价少10元，周末场和工作日场的票房收入均为6000元．求工作日场的观影人数是多少人？
04 不等式与不等式组
考查分值：分值5-10分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择、填空、解答题均有涉及。
命题趋势：不等式与方程、函数等知识的综合考查会有所加强，通过建立不等式模型来解决实际问题，如方案设计、利润最大化、资源分配等问题，同时可能会结合函数图象来分析不等式的解集，体现数学知识的整体性和综合性，考查学生的综合运用能力。
知识点1：不等式的定义
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
等都是不等式．
（2）常见的不等号有5种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．
知识点2：不等式的性质
高分技巧：
①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
②在计算的时候符号方向容易忘记改变．
知识点3： 一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
知识点4： 解一元一次不等式
解一元一次不等式的一般步骤是：
（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。
（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。
（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。
（4）合并同类项。
（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。
（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。
高分技巧：
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
知识点5： 一元一次不等式组的解集
知识点6： 解一元一次不等式组的步骤：
（1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解；
（2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分；
（3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。
知识点7：一元一次不等式组的应用
步骤如下：
（1）审：审清题意，找出已知量和未知量；
（2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）；
（3）找：找出反映题目数量关系的不等关系；
（4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组；
（5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集；
（6）写出答案（包括单位名称）。
真题1（2024·四川雅安·中考真题）不等式组3x-2≥42xb-2C．-a